一种新的多重权值复杂网络模型的建立与同步控制

张 莉，安新磊

（1.兰州工业学院基础学科部，甘肃兰州730050；2.兰州交通大学数理学院，甘肃兰州730070）

一种新的多重权值复杂网络模型的建立与同步控制

张 莉1，安新磊2

（1.兰州工业学院基础学科部，甘肃兰州730050；2.兰州交通大学数理学院，甘肃兰州730070）

考虑复杂网络边上多个权值的情况，建立了一种新的具有多重权值的复杂网络模型.同时根据网络拆分的思想，将含有多重权值的复杂网络拆分为若干个单权值的子网络.根据Lyapunov稳定性理论，研究了多重权复杂网络的全局同步.通过Matlab数值仿真，验证了该结论的有效性.

多重权值；复杂网络拆分；子网络；网络同步

0 引言

由于我们生活中存在着大量的复杂网络，促使我们去研究这些复杂网络的行为［1－5］.在现实生活中有各种各样的网络，如交通网、信息网、金融网等，这就需要我们深入研究和更深刻地理解这些复杂网络的拓扑结构、运行机制、动力行为、同步能力、抗干扰能力等.在有关复杂网络的研究中，网络同步由于其应用广泛而备受关注［6－8］.

在已有的大部分文献中，很大一部分研究成果还是集中在对无权网络或单个权值的复杂网络进行研究［9－10］，对于具有多重权值的复杂网络的研究工作还很少［11－12］，而关于多重权值复杂网络同步的研究工作几乎还没有.在现实生活中，很多网络如通信网、人际关系网、生物网、交通网等都可以看做由多种不同性质的权值构成的多重权复杂网络.例如，以一地区各城市作为网络节点，两城市间有车通行则有连边，在这样的交通网中，两城市之间存在多种交通方式，如公路、铁路、公交车等，假如把不同车辆的运营时间作为权值，则在上述交通网中的边上则有若干种不同的权值，这样具有多个属性的权值的复杂网络与单个权值的复杂网络相比，它的拓扑结构特征以及动力学特性会更加丰富，同时它也能更好地刻画出交通网的性能.

本文首先建立一个多重权值复杂网络模型（即每条边上的权值个数可以大于1），然后按照网络拆分原则，令原网络中的节点加上同一类型的权值组成多个单权值的子网络，建立一种新的多重权值的复杂网络模型，并以此为研究对象，根据Lyapunov稳定性理论分析了网络的全局同步问题，给出了网络达到同步的条件.最后，利用Matlab软件进行数值仿真，验证了理论描述的正确性.

1 新的多重权值复杂网络描述

考虑由N个相同节点组成的复杂网络模型，有

其中：f：Rn→Rn是连续动力学函数为复杂网络节点动力学系统；ε＞0为网络强度系数；H为网络中节点之间的内部耦合函数.矩阵表示网络的拓扑节构，又称外部耦合矩阵，并且满足一般耗散条件，其中aij的含义：在复杂网络边上赋予一个常数aij＝aji，定义为权重，它描述了此边上两节点间的关系，若两节点间没有边相连，则aij＝aji＝0.这里矩阵的对角元定义为

本文在上述单权值复杂网络的基础上，在网络的边上定义多个不同属性的权值，同时按照权值的不同，将其拆分为若干个单权值的网络的结合.例如，在一个具有N个相同节点的复杂网络中，在每条边上赋予M个性质不同的权值，并将每条边上同一类型的权值作为拆分依据进行拆分.按照上述思想，可以将一个含有N个节点和三重权值的复杂网络进行拆分（见图1）.

对于N个节点l重权值的复杂网络，假设每条边上的权值为（a1ij，a2ij，…，alij），其中alij表示节点i和j之间的第l个权值.将l重权值复杂网络按照网络拆分的原则拆分为l个子网络，整个动态网络的状态方程为

式中s（t）为节点方程˙x＝f（xi（t））的一个达到同步的解.系统（1）的同步定义如下：

定义1 令式的解，是连续可微的，其中Ω⊆Rn.如果存在一个非空子集Λ⊆Ω，并且那么对所有的t≥t0和1≤i≤N，xi（t；t0，X0）∈Ω都成立，且有

式中x0⊆Ω.由此可知，（1）式所描述的系统就达到同步，并且Λ×…×Λ被称为动态网络系统的同步域.

定义误差变量为ei（t）＝xi（t）－s（t），那么控制器vi的目标就是引导控制（1）式趋于同步，即，令（3）式减去˙s＝f（s，t）得到误差系统

式中：

下面给出定理中所需的假设与引理.

假设1 假设存在非负常数α，满足∀t∈R＋，有

假设2 假设存在非负常数βl，满足∀t∈R＋，有

假设3 假设多重权值复杂网络中每条边的所有权值均非负.

引理1

2 同步准则

定理1 若假设1和假设2成立，选取控制器为

其中d是正常数.

证明考虑如下的Lyapunov函数

对V进行求导，并将（3）式和（4）式代入得

由假设1可得

于是

由于gmij＝gmji（i≠j），可得

从而

由于d＞0，σm＞0，gmij≥0（i≠j），于是˙V（t）＜0，根据Lyapunov稳定性定理可得

于是系统（1）式在（4）式的作用下趋于同步.

3 数值仿真

考虑N＝3，l＝3的复杂网络，其拓扑结构见图1.对于图2所描述的公交线路网，设

同时

选取Lorenz混沌系统为节点的动力学方程，假设H1＝H2＝diag（1，1，1），由（1）式得：

当i＝1时，

当i＝2时，

当i＝3时，

在控制器v1，v2，v3的作用下，初值取，系统（1）在控制器v1，v2和v3的作用下趋于同步.误差的仿真图如图（2）所示.

4 结论与展望

本文在单权值复杂网络的基础上，建立了一个多重权值复杂网络模型，在网络的边上，可以有多个不同性质的权值.接着利用网络拆分的思想，根据权值性质的不同，将多重权值复杂网络拆分为若干个单权值的子网络.最后以Lorenz系统为例，研究了多重权值复杂网络的全局同步问题.这种网络在现实生活中有很大的应用前景，其应用将在以后的文章里继续研究.

［1］ 王树国，姚洪兴.拓扑结构时变的多时滞耦合供应链复杂网络的牵制控制［J］.江苏大学学报，2012，33（2）：239－243.

［2］ 冯存芳.时滞混沌系统的同步及复杂网络上的动力学行为［D］.甘肃：兰州大学，2009.

［3］ 张宏巍，张文娟，贾宏光.飞行器控制系统双CAN网络混合调度策略设计［J］.东北师大学报：自然科学版，2013，45（1）：65－70.

［4］ 纪勇，张伟华，张证崎，等.复杂数据通信网络风险评估研究［J］.东北师大学报：自然科学版，2013，45（3）：57－61.

［5］ 张宏巍，张文娟.控制局域网中媒体访问延时研究与网络优化设计［J］.东北师大学报：自然科学版，2014，46（4）：61－65.

［6］ LIAO FEIXIONG，ARENTZE THEO，TIMMERMANS HARRY.Application of supernetworks in modelling activity－travel behaviour［J］.J University of Shanghai for Science and Technology：English Edition，2011，33（3）：279－286.

［7］ 刘兴伟，张仲荣，张建刚，等.复杂网络同步理论在常规公交调度中的应用［J］.兰州交通大学学报，2011，30（1）：135－138.

［8］ 陈守刚.一类复杂网络同步及生活服务研究［D］.重庆：重庆师范大学，2010.

［9］ 王亮.加权复杂动态网络自适应控制与同步［D］.河北：河北工业大学，2009.

［10］ 郑海青，井元伟，刘晓平.一类时滞加权动态网络的牵制控制［J］.东北大学学报：自然科学版，2010，31（8）：1065－1069.

［11］ 兰旺森，赵国浩.基于双重加权网络的股票强相关性分析［J］.数学的实践与认识，2011，41（13）：45－51.

［12］ 吴润秀，孙辉.双权复杂网络数据分布优化策略［J］.南昌水专学报，2003，22（2）：9－13.

Modeling and synchronization control of a new multi－weights complex network model

ZHANG Li1，AN Xin－lei2
（1.Department of the Basic Courses，Lanzhou Institute of Technology，Lanzhou 730050，China；2.School of Mathematics and Physics，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China）

Considering the case of the multiple edge weights in complex networks，this paper establishes a new complex network model with multiple weights，and according to the method of network split，splits the multi－weights complex network into several different single weighted complex networks.Then by using Lyapunov stability theory，investigates the globally adaptive synchronization of the multi－weights complex networks.Finally，the Matlab simulation shows the effective of the conclusion.

multi－weights；complex network split；sub－networks；network synchronization

O 231.5 ［学科代码］ 120·1020 ［

］ A

（责任编辑：石绍庆）

1000－1832（2015）01－0053－06

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.011

2013－09－29

国家自然科学基金自助项目（61364001）；教育部科技研究重点项目（212180）.

张莉（1982—），女，讲师，主要从事非线性系统建模和非线性动力学研究；通讯作者：安新磊（1983—），男，讲师，主要从事非线性与复杂网络研究.