四元数射影空间中的全实伪脐子流形

周俊东，宋卫东，徐传友

（1.阜阳师范学院数学与统计学院，安徽阜阳236037；2.中国科学技术大学数学科学学院，安徽合肥230026；3.安徽师范大学数学与计算机科学学院，安徽芜湖241000）

四元数射影空间中的全实伪脐子流形

周俊东1，2，宋卫东3，徐传友1

（1.阜阳师范学院数学与统计学院，安徽阜阳236037；2.中国科学技术大学数学科学学院，安徽合肥230026；3.安徽师范大学数学与计算机科学学院，安徽芜湖241000）

研究了四元数射影空间中的全实伪脐子流形的刚性，运用活动标架法和S.T.Yau广义极值原理，得到了关于第二基本形式模长平方、截面曲率的刚性定理，推广了已有理论的相关结果.

四元数射影空间；伪脐子流形；截面曲率

0 引言

具有常四元数截面曲率c的四元数黎曼流形被称为四元数空间形式.若c＞0，我们称之为四元数射影空间，记为QP（c）.设Mn是等距浸入在四元数射影空间QP（c）中的子流形，若Mn上每个2－维切空间被映射成QP（c）中的全实平面，则称Mn是全实子流形.四元数射影空间中全实子流形的研究是个热门课题，一直被许多学者所关注.文献［1］研究了QPm（c）中紧致全实极小子流形，获得关于数量曲率和截面曲率的一些刚性定理.文献［2］得到了一些刚性定理，并改进了文献［1］中的一些结果.文献［3］继续研究了QPn（c）中紧致全实极小子流形，进一步改进了文献［2］中的一些结果.文献［4］研究了QPn（c）中完备全实极小子流形，得到一个刚性定理.伪脐子流形是极小子流形的推广，文献［5－6］研究了QPn（c）中紧致全实伪脐子流形，给出一些关于截面曲率和Ricci曲率的Pinching定理.文献［7］获得了QPm（c）中全实子流形Ricci曲率的上确界.

以上发表的论文主要研究了4n维四元数射影空间QPn（c）中的全实子流形，而本文研究了4（n＋p）维的四元数射影空间QPn＋p（c）中的全实伪脐子流形，外围空间维数增加了，这对计算子流形第二基本形式模长平方的Laplacian算子增加了一定困难.我们通过使用活动标架法，利用文献［8］的广义极值原理以及文献［9－10］不等式等，得到一些刚性定理，推广了文献［3－4］中相关的结果.

1 基本概念和公式

四元数射影空间QPn＋p（c）具有近四元数结构｛I，J，K｝，满足IJ＝－JI＝K，JK＝－KJ＝I，KI＝－IK＝J，I2＝J2＝K2＝－Id.设Mn是QPn＋p（c）中的n维全实子流形，则对每一点p∈Mn处，切空间TpM垂直于I（TpM），J（TpM），K（TpM）.我们在QPn＋p（c）中选取标准正交标架场：

当标架场限制在Mn上时，e1，…，en是Mn上切向量场.本文采用下面的指标约定：设ωA和ωAB是QPn＋p（c）上的对偶标架场和联络形式，QPn＋p（c）的结构方程为：QPn＋p（c）的结构方程限制在Mn上，则有（参见文献［1］）：

其中：Rijkl，Rαβkl是Mn的曲率张量和法曲率张量（c）的曲率张量.记Mn的第二基本形式h＝，平均曲率向量，平均曲率H＝‖ξ‖.Mn的第二基本形式的模长平方为.局部对称流形中子流形关于S的Laplacian计算（参见文献［1，6，11］），有以下公式成立：

设TMn，T⊥Mn分别为Mn的切空间和法空间，记V＝φ（TMn），显然V是T⊥Mn中的3n维的子空间，可选取为V的基向量场.以V⊥表示T⊥Mn中V的正交补空间，选取为V⊥的基向量场.

引理1.1 设Mn是QPn＋p（c）中全实伪脐子流形，若Mn的平均曲率向量ξ是平行的，则ξ完全位于V⊥，即ξ∈C∞（V⊥）.

证明设ξ＝ξ1＋ξ2，其中ξ1∈C∞（V），ξ2∈C∞（V⊥），在QPn＋p（c）上选取规范正交标架场，使ξ1＝由于Mn是伪脐的，可得

此式等价为

由ξ是平行的，即

由此式可得

对（1.7）式外微分，并把（1.5）和（1.6）式代入可得：

引理1.2［12］设A1，A2，…，Am（m≥2）为对称（n×n）矩阵.则

引理1.3［8］设M是一个完备黎曼流形，若M的Ricci曲率有下界，那么对于任何有上界的函数f∈C2（M），∀ε＞0，总存在一点p∈M使得函数f满足

supf＜f（p）＋ε，｜gradf（p）｜＜ε，▽f（p）＜ε.

引理1.4［9－10］设B1，…，Bm是对称（n×n）矩阵，则

2 主要定理及证明

定理2.1 设Mn是QPn＋p（c）中紧致全实伪脐子流形，若平均曲率ξ∈C∞（V⊥），

则Mn是全脐的或者Mn具有常平均曲率和常数量曲率.

证明由于φ（ξ）总是法于Mn，不失一般性，可以选取en＋1＝ξ／H.又由于Mn是伪脐的，所以

由（1.1）和（2.1）式可以推出

由于Mn是伪脐的，从引理1.2可得

在（1.4）式中，令a＝－1，并将（2.2）—（2.8）式代入计算可得

定理2.2 设Mn是QPn＋p（c）中完备全实伪脐子流形，若Mn具有平行平均曲率向量，则Mn是全脐的或者Mn的数量曲率

证明由于Mn具有平行平均曲率向量，根据引理2.1可得χ∈C∞（V⊥）.令τ＝S－nH2，由（2.9）式可得

因为平均曲率向量ξ是平行的，所以平均曲率H是常数.根据（1.2）式和伪脐条件计算Ricci曲率

即Ricci曲率有下界.固定任一正常数a＞0，对于Mn上具有上界的光滑函数由引理1.3得出：∀ε＞0，总存在一点p∈M使得函数F满足▽

另一方面，我们有

即在以上所提到的p点处有

现在令ε→0，由（2.10）和（2.11）式得出

所以supτ＝0，Mn是全脐的.

注文献［4］讨论了QPn（c）中完备全实极小子流形，本文把外围空间设为QPn＋p（c），讨论了完备全实伪脐子流形，得到类似结论，在一定意义上推广了文献［4］的结果.

定理2.3 设Mn是QPn＋p（c）中紧致全实伪脐子流形，若ξ∈C∞（V⊥）且Mn的截面曲率

则Mn是全脐的.

证明由Mn是伪脐的条件和引理1.4得出

因为（tr（HαHβ））是对称的（3n＋4p）×（3n＋4p）的矩阵，我们选择合适的法向量场，使得tr（HαHβ）＝trH2αδαβ，所以有

设RM为Mn的截面曲率的下界，则

当0≤a＜1时，把（2.1）—（2.7），（2.12）—（2.14）式代入（1.4）式计算得出

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Totally real pseudo－umbilical submanifolds in a quaternion projective space

ZHOU Jun－dong1，2，SONG Wei－dong3，XU Chuan－you1

（1.School of Mathematics and Statistics，Fuyang Normal College，Fuyang 236037，China；2.School of Mathematical Sciences，University of Science and Technology of China，Hefei 230026，China；3.School of Mathematics and Computer Science，Anhui Normal University，Wuhu 241000，China）

In this paper，the authors study totally real pseudo－umbilical submanifolds in a quaternion projective space.By using the moving－frame method and the Yau’s maximum principle，some rigidity theorems on the sectional curvature and the squared length of the second fundamental form are obtained，which generalize some results in the relevant literatures.

quaternion projective space；pseudo－umbilical submanifolds；sectional curvature

O 186.1 ［学科代码］ 110·2745 ［

］ A

（责任编辑：陶理）

1000－1832（2015）01－0031－06

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.007

2013－10－09

国家自然科学基金资助项目（11101352）；安徽省教育厅自然科学基金资助项目（KJ2013Z263；KJ2014A196）；国家特

色专业教研项目（TS11496）；阜阳师范学院科研项目（2014FSKJ12）.

周俊东（1983—），男，讲师，主要从事微分几何研究；宋卫东（1958—），男，教授，主要从事微分几何研究.