Dn中与正则元有关的两类半群的结构

周绍艳，张朝元

（大理学院数学与计算机学院，云南大理 671003）

非负n×n实矩阵D称为双随机矩阵，如果D的每行、每列的元素之和为1；每行、每列只有一个非零元1的双随机矩阵称为置换矩阵。全体n×n双随机矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成一个半群，称为双随机矩阵半群，记为Dn〔1〕；所有 n×n 置换矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成一个群，称为置换群，记为Pn。在本文中P′是指P的转置矩阵，E(Dn)是指Dn中所有幂等元构成的集合，它不构成半群。如果非空集合G⊆E(Dn)构成半群，则称G为带。

半群S中的元a称为正则元，如果存在x∈S，使得axa=a成立；如果半群S中的所有元均为正则元，则S称为正则半群。半群S中的元x称为a∈S的逆元，如果axa=a与xax=x均成立；如果S是正则半群，且S中的每一个元都有唯一逆元，则S称为π-逆半群。

文献〔1〕与〔2〕系统研究了Dn中的幂等元，不仅给出了幂等元的结构、形式及幂等元之积仍是幂等元的充要条件，还给出了Dn带的结构等结论，从中易得如下引理。

引理1 若Dn中两幂等元A与B之积AB不是幂等元，则AB中的某行、某列至少存在不相等的两个非零元。

引理2 A∈Dn是正则元当且仅当存在E∈E(Dn)及 P、Q∈Pn，使得 A=PEQ〔3〕。

引理3 如果 A∈Dn是正则元，那么 A′是它唯一的逆元〔4-5〕。

1 主要结果

定理1 A∈Dn是正则元当且仅当存在P∈Pn及E、F∈E(Dn)，使得 A=EP=PF。

证明：（必要性）A∈Dn是正则元，由引理2知存在 PA、QA∈Pn及 EA∈E(Dn)，使得A=PAEAQA。

记PAEAPA′为E；PAQA为P。

由文〔2〕及 Pn是群知：E∈E(Dn)，P∈Pn。

故A=PAEAQA=(PAEAPA′)PAQA=EP。

同 理 ：A=PAEAQA=PAQA(QA′EAQA)=PF ，显 然F=QA′EAQA∈ E(Dn)。

即：若A∈Dn是正则元，则A=EP=PF。

（充 分 性）显 然 EP·P′E·EP=E3P=EP ，且P′E ∈Dn。

即EP与PF均为Dn的正则元。

由该定理及置换矩阵的性质显然可得出以下两结论。

定理2 A∈Dn是正则元当且仅当A的每行、每列的非零元均相等。

定理3 Dn的所有正则元的集合为：{EP,QF|E、F∈E(Dn)，P、Q∈Pn}。

定理4 若非空集合G⊆E(Dn)是带，则G是正则半群，从而G为π-逆半群。

证明：因为幂等元显然是正则元。

故若G是带，则G是正则半群，从而为π-逆半群。

定理5 设R={EP=PF|E、F∈G⊆E(Dn)，P∈H}，H={Q|Q∈Pn且对∀E∈G，QEQ′∈G}，则 R 是正则半群当且仅当G是带，H是半群。

证明：（必要性）由R是半群知R中的元是封闭的，即：对∀A、B∈R，AB∈R。

设 A=PAFA，B=EBPB，其中EB、FA∈ G，PA、PB∈ Pn。则AB=PAFAEBPB=PA(FAEB)PB。

若FAEB∉G，即G不是带。

则由引理1、定理2及置换矩阵的性质知AB不是正则元，这与R是正则半群矛盾。

因此G是带。

下证H是半群。

对∀P、Q∈H及∀E∈G，有PEP′∈G，QEQ′∈G。

所以 PQE(PQ)′=PQEQ′P′=P(QEQ′)P′∈G 。

即PQ∈H。所以H是半群。

（充分性）∀A、B∈R，则 A=PAFA，B=EBPB，其中 EB、FA∈G ，PA、PB∈H 。

由G是带知FAEB∈G，记为EAB。

即 AB=PAEABPB=(PAEABPA′)PAPB=EP ，其 中PAEABPA

′=E ，PAPB=P 。由条件知E∈G，P∈H。

即∀A、B∈R有AB∈R，乘法封闭。

由定理3知R是正则半群。

定理6 设R={EP=PF|E、F∈G⊆E(Dn)，P∈H}，H={Q|Q∈Pn且对∀E∈G，QEQ′∈G}，则 R 是 π- 逆半群当且仅当G是带，H是子群。

证明：（必要性）因为π-逆半群是正则半群，由定理5得G是带，H是半群。

由R是π-逆半群知对∀A∈R，A′∈R。设A=EP，其中E∈G，P∈H。则A′=(EP)′=P′E ∈R。

即P′∈H是P∈H唯一的逆元。

再由H是半群得PP′=I∈H是Pn的单位元，故H是Pn的子群。

（充分性）由定理5知R正则半群。由引理3知要证R是π-逆半群，只需证对∀A∈R有A′∈R。

因为对∀A∈R，A=EP，其中E∈G，P∈H。由 H 是子群知 P′∈H ，故 P′E∈R ，而 P′E=(EP)′=A′，即 A′∈ R 。

〔1〕Zhou Shaoyan，Zhang Ronghua.The Semilattice of Semi⁃group of Doubly Stochastic Matrices Dn〔J〕.Journal of Ap⁃plied Algebral and Discrete Structures，2003，1（2）：119-133.

〔2〕Zhou Shaoyan，Zhang Ronghua.A Relation of Idempotent Matrices in Dn〔J〕.Journal of Mathematical Study，2003，36（4）：384-387.

〔3〕周绍艳，张荣华.Dn中Clifford半群的结构〔J〕.西南大学学报：自然科学版，2008，30（6）：7-9.

〔4〕Berman A，Plemmons R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Science〔M〕.New York：Academic Press，1979.

〔5〕邓建平，肖体俊，梁进.关于C正则半群的一个生成问题〔J〕.云南师范大学学报：自然科学版，1997，17（3）：1-5.