三维Minkowski空间中常挠率运动生成曲面的贝克隆变换

徐传友, 曹锡芳

(1.阜阳师范学院 数学与统计学院, 安徽 阜阳 236041;2.扬州大学 数学科学学院, 江苏 扬州 225009)



三维Minkowski空间中常挠率运动生成曲面的贝克隆变换

徐传友1*, 曹锡芳2

(1.阜阳师范学院 数学与统计学院, 安徽 阜阳 236041;2.扬州大学 数学科学学院, 江苏 扬州 225009)

在三维Minkowski空间中,得到了由常挠率曲线运动生成的曲面及其贝克隆变换.该文主要考虑了如下三类运动曲线: 类时运动曲线;主法向量是类时的类空曲线; 主法向量是类时的类空曲线, 并且,运动曲线的曲率由散焦mKdV方程或者mKdV方程得到. 其结果可以看成是负mKdV方程或者mKdV方程的贝克隆变换在几何方面的应用.

贝克隆变换; 曲线运动; 类时曲线; Minkowski空间

总所周知,在物理、化学和生物等学科出现的非线性现象都可以由曲线和曲面以及曲线和曲面的演化等图形的动力系统所刻画,这些非线性现象在计算方面和镜像进展方面有着特别重要的应用[1].大量的非线性演化方程与不同几何中的曲线运动有着密切关系,这些情况已为许多数学家所熟知.例如,Hasimoto[2]证明了薛定谔方程来自于三维欧式空间E3中的曲线运动;而Langer和Perline[3-4]则得到了薛定谔方程序列.利用Hasimoto变换,Lamb则从E3中的曲线运动中得到了mKdV方程和sine-Gordon方程.Nakamaya[5-6]表明了与四维闵科夫斯基空间E3,1中双曲面的曲线运动有关的可积方程有自然的偶对.Beffa[7-8]则考虑了黎曼几何中的曲线运动;Ding[9]研究了三维闵科夫斯基空间E2,1中曲线运动与第二AKNS序列之间的关系.Chou和Qu[10-12]等人则详细研究了克莱因几何中的曲线运动,并且从相应地几何中的平面曲线运动得到了大量的可积方程.Goldstein等人[13]考虑了E3中平面曲线的运动,并由mKdV方程的解构造了相应的曲线.Rogers和Schief[14-15]研究了E3中曲线仅沿副法向量运动,得到了Razzaboni曲面的贝克隆变换,而Razzaboni曲面与可积方程的互逆变换有关.Xu和Cao[16]研究了E2,1中三类曲线沿着副法向量运动,并得到了相应可积方程生成曲面的贝克隆变换.

本文将要讨论E2,1中三类曲线的运动,并根据mKdV方程和负mKdV方程的贝克隆变换,得到由方程的解生成的类时和类空曲面的贝克隆变换.

1 准备知识

本文将要考虑带有不定度量ds2=dx2+dy2-dz2的三维闵科夫斯基空间E2,1中的曲线和曲面.设u=(u1,u2,u3),v=(v1,v2,v3)∈E2,1,则两向量的内积定义为〈u,v〉=u1v1+u2v2-u3v3.设u=(u1,u2,u3)∈E2,1,如果〈u,u〉>0或者u=0,则称向量u为类空的;如果〈u,u〉<0,则称向量u为类时的;如果〈u,u〉=0,则称向量u为类光(幂零)的.两向量的向量积定义为u×v={u2v3-u3v2,u3v1-u1v3,u2v1-u1v2}.

(1)

(2)

αs=κt+ε1ε2βτ;βs=κγ-τα;γs=τt-ε1ε2κβ.

(3)

(4)

λs-ε1ε2κμ=0;μs+λκ-ε2ε3ντ=α;νs+μτ=β.

(5)

对于常挠率空间曲线来说,如果去τ=1,μ=-κs,ν=2κ,则由(5)式和(3)式的第二个方程得到

并且(3)式的第三个方程约化为了恒等式,而(3)式的第一个方程则化为:

(6)

很明显,如果运动曲线是主法向量是类空的类空曲线时,方程(6)化为修正的KdV(mKdV)方程

(7)

势mKdV方程

的贝克隆变换最早是由Lamb[17]得到的,该变换等价于mKdV方程(7)的贝克隆变换[15].

引理1设κ是mKdV方程(7)的解,则

(8)

也是mKdV方程(7)的解,其中ρ是任意非零实数,ξ是如下可积系统的解

(9)

如果运动曲线是类时曲线或者主法向量是类时的类空曲线时,则方程(6)化为散焦mKdV方程

(10)

对于散焦mKdV方程(10),同样有相应的贝克隆变换.

定理1设κ是散焦mKdV方程(10)的解,则

(11)

也是散焦mKdV方程(10)的解,其中ρ是任意非零实数,ξ是如下可积系统的解

(12)

2 由运动曲线生成的曲面的贝克隆变换

本小节讨论闵科夫斯基空间中的常挠率曲线运动和贝克隆变换.所有要讨论的曲线运动都由mKdV方程(6)和散焦mKdV方程(10)控制.考虑如下3种类型:1) 类时的运动曲线;2) 主法向量是类时的类空运动曲线;3) 主法向量是类空的类空运动曲线.由于这3种类型的证明是相似的, 故只需要详细证明第一种类型, 而对于另外两种类型, 只给出主要定理, 而略去证明过程.

2.1 类时曲线

对于类时曲线, 有

散焦mKdV方程(10)的Lax对是

取矩阵

(13)

由文献[14]中定理28,取矩阵P∈SU(1,1),即P*g0P=g0及detP=1,其中P*为P的共轭转置,g0=diag(1,-1).李群SU(1,1)的李代数su(1,1)是由形如

的2×2矩阵构成的.

李群SO(1,2)是由行列式为1的三阶矩阵M构成,其中M满足MTg1M=g1,MT为M的转置,g1=diag(-1,1,1).李群SO(1,2)的李代数so(1,2)是由形如

的3×3矩阵构成的.李代数su(1,1)和李代数so(1,2)之间的同构对应是

由李代数su(1,1)和李代数so(1,2)之间的同构对应,得到李群SU(1,1)和李群SO(1,2)之间的映照.

引理2取矩阵P∈SU(1,1)由(13)定义,则

是李群SU(1,1)和李群SO(1,2)之间的覆盖同态.

由文献[14]中定理28和引理2,取引理2中的矩阵P为：

P=

则可以得到类时运动曲线的Frenet标架之间的变换.下面这个定理可以看成是散焦mKdV方程(10)的贝克隆变换的几何实现.

(14)

其中，

即 (1) 和(2)在变换 (11) 和(14)下保持不变,并且

-A11s=A22s=(κ′+κ)A12,

A12s=(A22+1)(κ′+κ)= -(A11+1)(κ′+κ),

A13s=A23(κ′+κ)/2,A23s=A13(κ′+κ)/2,

所以有

所以有

定理2得证.

2.2 主法向量是类时的类空曲线

对于主法向量是类时的类空曲线, 有

散焦mKdV方程(10)的Lax对如上节给出.考虑矩阵达布变换中的形如(13)的矩阵.取矩阵P∈SU(1,1),李群SU(1,1)的李代数su(1,1)由上节给出.

李群SO(1,-1,1)是由行列式为1的三阶矩阵M构成,其中M满足MTg2M=g2,MT为M的转置,g2=diag(1,-1,1).李群SO(1,-1,1)的李代数so(1,-1,1)是由形如

的3×3矩阵构成的.李代数su(1,1)和李代数so(1,-1,1)之间的同构对应是

由李代数su(1,1)和李代数so(1,-1,1)之间的同构对应,得到李群SU(1,1)和李群SO(1,-1,1)之间的映照.

引理3取矩阵P∈SU(1,1)由(13)定义,则

是李群SU(1,1)和李群SO(1,-1,1)之间的覆盖同态.

由文献[14]中定理28和引理3,取引理3中的矩阵P为：

(0<ρ2<1)

则可以得到主法向量是类时的类空运动曲线的Frenet标架之间的变换.下面这个定理也可以看成是散焦mKdV方程(10)的贝克隆变换的几何实现.

(15)

其中,0<ρ2<1且

即 (1) 和(2)在变换 (11) 和(15)下保持不变,并且

2.3 主法向量是类空的类空曲线

对于主法向量是类时的类空曲线, 有

mKdV方程(7)的Lax对由文献[14,18]给出.考虑矩阵达布变换中的形如(13)的矩阵.取矩阵P∈SU(1,1),李群SU(1,1)的李代数su(1,1)由上节给出.

李群SO(2,1)是由行列式为1的三阶矩阵M构成,其中M满足MTg3M=g3,MT为M的转置,g2=diag(1,1,-1).李群SO(2,1)的李代数so(2,1)是由形如

的3×3矩阵构成的.李代数su(1,1)和李代数so(2,1)之间的同构对应是

由李代数su(1,1)和李代数so(2,1)之间的同构对应,得到李群SU(1,1)和李群SO(2,1)之间的映照.

引理4取矩阵P∈SU(1,1)由(13)定义,则

是李群SU(1,1)和李群SO(2,1)之间的覆盖同态.

由文献[14]中定理28和引理3,取引理4中的矩阵P为：

(0<ρ2<1)

则可以得到主法向量是类空的类空运动曲线的Frenet标架之间的变换.下面这个定理可以看成是mKdV方程(7)的贝克隆变换的几何实现.

(16)

其中,0<ρ2<1且

即 (1) 和(2)在变换 (8) 和(16)下保持不变,并且

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Bäcklund transformations on surfaces swept out by moving curves with constant torsion in Minkowski 3-space

XU Chuanyou1, CAO Xifang2

(1.School of Mathematics and Statistics, Fuyang Teachers College, Fuyang, Anhui 236041;2.School of Mathematical Science, Yangzhou University, Yangzhou, Jiangsu 225009)

We obtain Bäcklund transformation on surfaces which are swept out by moving curves with constant torsion in Minkowski 3-space. Our discussion is divided into three different cases, i.e., the parent curve being timelike, spacelike with timelike principal normal, and spacelike with spacelike principal normal. The curvature of the moving curve discussed in this paper is governed by the negative modified KdV equation or modified KdV equation. Our result can be regarded as geometric realization of the Bäcklund transformation for the negative modified KdV equation or modified KdV equation.

Bäcklund transformation; motion of curve; timelike curve; Minkowski space

2014-06-18.

国家自然科学基金项目(11401104,11101352);安徽省高等学校省级自然科学研究项目(KJ2014A196,KJ2013Z263);阜阳师范学院研究项目(FSB201301010).

1000-1190(2015)01-0014-07

O186

A

*E-mail:xuchuanyou2008@163.com.