分数布朗运动模型下复合期权的定价

林 汉 燕

(桂林航天工业学院 理学部, 广西 桂林 541004)



分数布朗运动模型下复合期权的定价

林 汉 燕*

(桂林航天工业学院 理学部, 广西 桂林 541004)

在市场股价满足分数布朗运动模型的条件下,采用风险中性定价法推导出有红利支付的标的看涨期权的看跌期权及另外3种复合期权的定价公式,所得结果类似于标准布朗运动模型下的情形.

分数布朗运动; 复合期权; 风险中性定价

复合期权是一类以期权为标的资产的期权,其研究起源于Black和Scholes关于期权定价的工作. 复合期权主要有四种类型:标的看跌期权的看跌期权、标的看跌期权的看涨期权、标的看涨期权的看跌期权、标的看涨期权的看涨期权. 复合期权有两个到期日和两个执行价格. 复合期权的理论及应用的研究一直被学者们关注.目前,复合期权理论已广泛应用于资产价值评估、企业战略决策和激励机制设计等方面.

复合期权定价一般采用风险中性定价法,1979年Geske提出的定价法[1]为后来复合期权定价的研究奠定了基础. 由于该模型基于Black-Scholes假设,存在一定局限性,所以很多学者对该模型进行了推广,以获得更广泛的应用.Buraschi等放松了标的资产遵循标准布朗运动的假设,研究标的资产遵循一般扩散过程的复合期权定价[2]. 张学超等改变Geske定价法中利率和波动率都是常数的情形,推导出具有随机利率和波动率的复合期权定价公式[3]. 赵建国等在跳-扩散模型下研究复合期权的定价问题[4]. 分数布朗运动模型由于自身具有的相似性和长期相关性,使得在描述股票的运动时能较好地反映运动规律. 本文在分数布朗运动模型下,应用风险中性定价法推导复合期权的一般定价公式.

1 基本模型

设(Ω,F,Ft,P)是一个具有σ-流的概率空间,其中Ft是由Hurst参数为H的分数布朗运动BH(t)生成的σ-流. 现假定在分数Black-Scholes市场仅有两种资产,一种是无风险资产,其价格A(t)满足

dA(t)=rA(t)dt,A(0)=1.

另一种是风险资产,其价格S=S(t)服从分数布朗运动

dS(t)=(u-q)S(t)dt+σS(t)dBH(t),

S(0)=S0,

其中,t∈[0,T],标的资产的瞬间期望收益率μ、无风险利率r、红利率q和瞬间波动率σ均为常数,且σ>0,μ>r>0.

引理2[6]设函数f满足E[f(BH(t))]<∞,则对任意t∈[0,T],

2 主要结论及证明

考虑一个标的看涨期权的看跌期权. 设T1、K1分别为复合期权的到期日和执行价格,T(T1

定理1标的看涨期权的看跌期权在任意时刻t∈[0,T1]的价格为:

PC(t,S)=-S(t)e-q(T-t)N2(-a1,b1;-ρ)+Ke-r(T-t)N2(-a2,b2;-ρ)+K1e-r(T1-t)N(-a2),

其中,

是相关系数为ρ的二元标准正态分布累积概率;这里,

a1=

b1=

证明设标的看涨期权在t∈[0,T]时刻价格为C(t,S),由文献[6]知在T1时刻有

C(T1,S(T1))=

S(T1)e-q(T-T1)N(d1)-Ke-r(T-T1)N(d2),

其中,

由引理1知在t∈[0,T1]时刻,

下面分别计算I1、I3和I2.由引理2得

I1=

K1e-r(T1-t)N(-a2)，

其中,

上式中，

所以令

得

I2=

-S(t)e-q(T-t)N2(-a1, b1;-ρ)，

其中,

定理1得证.

同理可得其它3种复合期权的定价公式.

定理2标的看涨期权的看涨期权在任意时刻t∈[0, T1]的价格为:

CC(t,S)=S(t)e-q(T-t)N2(a1,b1;ρ)-

Ke-r(T-t)N2(a2,b2;ρ)-K1e-r(T1-t)N(a2).

定理3标的看跌期权的看涨期权在任意时刻t∈[0, T1]的价格为:

CP(t,S)=-S(t)e-q(T-t)N2(-a1,-b1;ρ)+

Ke-r(T-t)N2(-a2,-b2;ρ)-

K1e-r(T1-t)N(-a2).

定理4标的看跌期权的看跌期权在任意时刻t∈[0, T1]的价格为:

PP(t,S)=S(t)e-q(T-t)N2(a1,-b1;-ρ)-

Ke-r(T-t)N2(a2,-b2;-ρ)+

K1e-r(T1-t)N(a2).

定理2～4中T1、K1分别为复合期权的到期日和执行价格,T (T1

[1] Geske R. The valuation of compound options[J]. Journal of Financial Economics, 1979, 7(1): 63-81.

[2] Buraschi A, Dumas B. The forward valuations of compound option[J]. Journal of Derivatives, 2001, 9(1): 8-17.

[3] 张学超,宣国良. 具有随机利率和波动率的复合期权定价[J].华东交通大学学报, 2006, 23(4): 153-156.

[4] 赵建国, 师 恪. 跳-扩散模型下的复合期权定价公式[J]. 新疆大学学报:自然科学版, 2006, 23(3): 257-263, 276.

[5] Elliott R J,Van D H J. A general fractional white noise theory and applications to finance[J]. Mathematical Finance, 2003, 13(2): 301-330.

[6] Necula C. Option pricing in a fractional Brownian motion environment[J]. Pure Mathematics, 2002, 2: 63-68.

Compound option pricing in a fractional Brownian motion environment

LIN Hanyan

(Department of Science, Guilin University of Aerospace Technology, Guilin, Guangxi 541004)

Based on the underlying driven by a fractional Brownian motion, formulas of pricing put option on a call option and other three kinds of compound options paying dividend are derived by risk neutral valuation. They are similar to the results based on the standard Brownian motion model.

fractional Brownian motion; compound option; risk neutral valuation

2014-05-30.

广西自然科学基金项目(0991091);广西教育厅科研项目(YB2014436).

1000-1190(2015)01-0007-04

O211.6

A

*E-mail: linhanyan2006@163.com.