一个包含Euler函数方程的正整数解

张四保, 杜先存

(1.喀什大学 数学与统计学院, 新疆 喀什 844006; 2.红河学院 教师教育学院, 云南 蒙自 661199)



一个包含Euler函数方程的正整数解

张四保1*, 杜先存2

(1.喀什大学 数学与统计学院, 新疆 喀什 844006; 2.红河学院 教师教育学院, 云南 蒙自 661199)

主要利用初等方法研究了方程φ(xyz)=3(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性问题,给出了该方程的所有的正整数解,其中φ(n)为Euler函数.

Euler函数; 不定方程; 整数解

定理1方程

φ(xyz)=3(φ(x)+φ(y)+φ(z))

(1)

有正整数解：

(x,y,z)=(14,2,2),(18,2,2),(5,3,3),(8,3,3),(10,3,3),(3,3,3),(6,3,3),(13,3,4),(13,4,3),(5,3,6),(5,6,3),(3,3,6),(3,6,3),(2,2,14),(2,14,2),(2,2,18),(2,18,2),(3,3,5),(3,3,8),(3,3,10),(3,4,13),(3,6,5),(4,3,13),(6,3,5),(3,5,3),(3,8,3),(3,10,3),(3,13,4),(3,5,6),(4,13,3),(6,5,3).

1 主要引理

引理2[13]设n是整数,且n≥2,则φ(n)

引理3[12]对任意正整数n,p为素数,则

2 定理的证明

由于φ(xyz)=3(φ(x)+φ(y)+φ(z)),则有

φ(x)φ(y)φ(z)≤

3(φ(x)+φ(y)+φ(z)).

从而有φ(x)φ(y)φ(z)≤3(φ(x)+φ(y)+φ(z)),即

φ(x)φ(y)φ(z)-3φ(x)=

(φ(y)φ(z)-3)φ(x)≤3(φ(y)+φ(z)).

(2)

下面将φ(y)φ(z)的值分以下两种情况分别加以讨论.

2.1 φ(y)φ(z)≤3

此时,φ(y)φ(z)≤2,则y,z有如下一些可能取值:

(y,z)=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,6),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(6,1),(6,2).

显然,当(y,z)=(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)时,方程(1)无正整数解.

当(y,z)=(1,4),(4,1)时,有φ(4x)=3(φ(x)+3)=3φ(x)+9.由于

由此可知,此时方程(1)无正整数解.

当(y,z)=(1,6),(6,1)时,有φ(6x)=3(φ(x)+3)=3φ(x)+9.由于

由此可知,此时方程(1)无正整数解.

当(y,z)=(2,2)时,有φ(4x)=3(φ(x)+2)=3φ(x)+6.由于

此时,当4φ(x)=3φ(x)+6,从而φ(x)=6,则x=14,18. 因而,方程(1)有正整数解(14,2,2,),(18,2,2,).

当(y,z)=(2,3),(3,2)时,有φ(6x)=3(φ(x)+3)=3φ(x)+9.根据以上φ(6x)的讨论可知,此时方程(1)无正整数解.

当(y,z)=(2,4),(4,2)时,有φ(8x)=3φ(x)+9.由于

因而,此时方程(1)无正整数解.

当(y,z)=(2,6),(6,2)时,有φ(12x)=3φ(x)+9.由于

因而,此时方程(1)无正整数解.

2.2 φ(y)φ(z)>3

此时,有φ(y)φ(z)≥4.

1)φ(y)φ(z)=4 此时,有

这8种情况.

因而,此时方程(1)无正整数解.

因而,此时方程(1)无正整数解.

因而,此时方程(1)无正整数解.

因而,此时方程(1)无正整数解.

因而,此时方程(1)无正整数解.

因而,此时方程(1)无正整数解.

2)φ(y)φ(z)=6 此时,有

3)φ(y)φ(z)=8 此时,有

4)φ(y)φ(z)=10 此时,有

仿φ(y)φ(z)=4情况的讨论可得,此时方程(1)无正整数解.

5)φ(y)φ(z)>10 由于φ(y),φ(z)均为正整数,所以有(φ(y)-1)(φ(z)-1)≥0,即φ(y)φ(z)+1≥φ(y)+φ(z). 由(2)有

所以,φ(x)=1,2,4.

(I)φ(x)=1

此时,有φ(y)φ(z)=φ(x)φ(y)φ(z)≤φ(xyz)=3(1+φ(y)+φ(z)),于是有

(φ(y)-3)(φ(z)-3)≤12.

当(φ(y)-3)(φ(z)-3)≥0时,此时有(φ(y)-3)(φ(z)-3)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

当(φ(y)-3)(φ(z)-3)=0时,则φ(y),φ(z)至少有一个等于3,此时方程(1)无正整数解.

当(φ(y)-3)(φ(z)-3)=1时,有

此时3(1+φ(y)+φ(z))均为奇数,因而方程(1)无正整数解.

当(φ(y)-3)(φ(z)-3)=2时,有

此时方程(1)无正整数解;

当(φ(y)-3)(φ(z)-3)=3时,有

此时3(1+φ(y)+φ(z))亦均为奇数,因而方程(1)无正整数解;

当(φ(y)-3)(φ(z)-3)=4时,有

当(φ(y)-3)(φ(z)-3)=5时,有

此时3(1+φ(y)+φ(z))亦均为奇数,因而方程(1)无正整数解;

当(φ(y)-3)(φ(z)-3)=6时,有

此时φ(y),φ(z)中有一个不成立,因而方程(1)无正整数解;

当(φ(y)-3)(φ(z)-3)=7时,有

此时3(1+φ(y)+φ(z))为奇数,因而方程(1)无正整数解;

当(φ(y)-3)(φ(z)-3)=8时,有

此时φ(y),φ(z)中至少有一个不成立,因而方程(1)无正整数解;

当(φ(y)-3)(φ(z)-3)=9时,有

此时3(1+φ(y)+φ(z))为奇数,因而方程(1)无正整数解;

当(φ(y)-3)(φ(z)-3)=10时,有

此时φ(y),φ(z)中至少有一个不成立,因而方程(1)无正整数解;

当(φ(y)-3)(φ(z)-3)=11时,有

由于φ(x)=14无解[14],故而此时方程(1)无正整数解;

当(φ(y)-3)(φ(z)-3)=12时,有

此时φ(y),φ(z)中至少有一个不成立,因而方程(1)无正整数解.

(II)φ(x)=2

此时,有

2φ(y)φ(z)=φ(x)φ(y)φ(z)≤

φ(xyz)=3(2+φ(y)+φ(z))<

4(2+φ(y)+φ(z)),

于是有(φ(y)-2)(φ(z)-2)<8.

当(φ(y)-2)(φ(z)-2)=0时,则φ(y),φ(z)中至少有一个等于2.当φ(y)=2时,方程(1)有正整数解(3,3,5),(3,3,8),(3,3,10),(3,3,3),(3,3,6),(3,4,13),(3,6,5),(3,6,3),(4,3,13),(6,3,3),(6,3,5).

从而,此时方程(1)有正整数解(3,3,5),(3,3,8),(3,3,10),(3,3,3),(3,3,6),(3,4,13),(3,6,5),(3,6,3),(4,3,13),(6,3,3),(6,3,5),(3,5,3),(3,8,3),(3,10,3),(3,6,3),(3,13,4),(3,5,6),(4,13,3),(6,5,3).

当(φ(y)-2)(φ(z)-2)=1时,有

此时(1)无正整数解;

当(φ(y)-2)(φ(z)-2)=2,3,5,6,7时,φ(y),φ(z)中至少有一个不成立;

当(φ(y)-2)(φ(z)-2)=4时,有

此时方程(1)无正整数解.

(III)φ(x)=4

此时,方程(1)可化为:

4φ(y)φ(z)=φ(x)φ(y)φ(z)≤

φ(xyz)=4(4+φ(y)+φ(z)),

于是有0≤(φ(y)-1)(φ(z)-1)≤5.

当(φ(y)-1)(φ(z)-1)=0时,有φ(y)=1或φ(z)=1,此时方程(1)无正整数解.

当(φ(y)-1)(φ(z)-1)=1时,有φ(y)=2,φ(z)=2,此时方程(1)有正整数解(5,3,3),(5,3,6),(5,6,3),(8,3,3),(10,3,3).

当(φ(y)-1)(φ(z)-1)=2,4时,φ(y),φ(z)中至少有一个不成立,因而此时方程(1)无正整数解;

当(φ(y)-1)(φ(z)-1)=3时,有

此时方程(1)无正整数解;

当(φ(y)-1)(φ(z)-1)=5时,有

此时方程(1)无正整数解.

对上述正整数解进行归纳可得本文结论.证毕.

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The positive integer solutions of an equation involving the Euler function

ZHANG Sibao1， DU Xiancun2

(1.School of Mathematics and Statistics， Kashgar University， Kashgar， Xinjiang 844006;2.College of Teacher Education， Honghe University， Mengzi， Yunnan 661199)

The solvability of the equationφ(xyz)=3(φ(x)+φ(y)+φ(z))isstudiedbyelementarymethodsinthispaper，andallpositiveintegersolutionsoftheequationareobtained，whereφ(n)istheEulerfunction．

Euler function; Diophantine equation; integer solutions

2014-12-26.

江苏省教育科学“十二五”规划课题项目(D201301083);新疆维吾尔自治区高校科研计划重点项目(XJEDU2008I31);喀什大学校内课题项目(112390).

1000-1190(2015)04-0497-05

O156< class="emphasis_bold">文献标识码： A

A

*E-mail: sibao98@sina.com.