关于亚纯函数φ(z)f(z)M[f]的值分布

金 瑾, 李 里

(1.毕节学院 数学系, 贵州 毕节 551700; 2.贵州电力职业技术学院 管理工程系, 贵阳 550003)



关于亚纯函数φ(z)f(z)M[f]的值分布

金 瑾1*, 李 里2

(1.毕节学院 数学系, 贵州 毕节 551700; 2.贵州电力职业技术学院 管理工程系, 贵阳 550003)

设k和n0,n1,…,nk为任意的非负数,函数f(z)是复平面上超越亚纯函数,函数φ(z)为f(z)的小函数,且φ(z)≡ /0.超越函数M[f]=(f(z))n0(f′(z))n1…(f(k)(z))nk.该文讨论了超越亚纯函数φ(z)f(z)M[f]值分布,提出一个新的定理,并进行了较为详细的证明.

超越亚纯函数;Nevanlinna理论; 值分布

1 引言与主要结果

195 9年,Hayman证明了下面的著名定理.

定理A[1]设f(z)为超越亚纯函数,n为正整数,如果n≥3,则fn(z)f′(z)取每一个非零有穷复数无穷多次.

Hayman在文献[2]中还猜测:定理A的结论对n=1和n=2也成立.1979年,Mues在文献[3]中解决了n=2的情形.1995年,Bergweiler和Eremenko[4],陈怀惠和方明亮[5]独立地解决了n=1的情形,并得到如下定理.

定理B[4-5]设f(z)为超越亚纯函数,则f(z)f′(z)取每一个非零有穷复数无穷多次.

Sons,Steinmetz,杨重俊,杨乐,王跃飞等做了大量的工作并得到了许多重要的结果[6-11].

199 9年,庞学诚和Zalcman得到如下结果.

定理C[9]设f(z)为超越整函数,k和n为正整数,f(z)的所有零点的重数至少为k,则fn(z)f(k)(z)取每一个非零有穷复数无穷多次.

200 4年,张占亮对函数f(k)(z)-afn(z)进行了研究,并得到了如下结论.

定理D[15]设f(z)为平面内的超越亚纯函数,a为非零有穷复数,则当n≥k+3时,函数f(k)(z)-afn(z)有无穷多个零点.

200 6年,王建平和仪洪勋在文献[16]中证明了定理E和定理F.

定理E[16]设f(z)为超越亚纯函数,k正整数(k≥2),f(z)的所有零点的重数至少为n,则对每一个k(k≥2),f(z)f(k)(z)取每一个非零有穷复数无穷多次.其中,当2≤k≤4时n=k+1;当k=5时,n=5;当k≥6时,n=6.

定理F[16]设f(z)为超越亚纯函数,f(z)的所有零点的重数至少为n,则f(z)f(n)(z)取每一个非零有穷复数无穷多次.至多除去3个可能的例外正整数n=2,3,4.

200 6年,邹温林和张庆德将上述结果改进得到下面结果.

200 7年,江秀海和高凌云得到如下结论.

定理H[18]设f(z)为平面内的超越亚纯函数,a为任意非零复数,对任意的正整数m,i0,i1,…,in,λ=i0+i1+…+in,Δ=i1+2i2+…+nin,则当m≥λ+Δ+2时,

wm+awi0(w′)i1(w″)i2…(w(n))in

可取无穷多个零点.

200 8年,方明亮又研究了f(z)+a(f′(z))n的值分布,得到下面结论.

定理I[19]设f(z)为平面内的超越亚纯函数,a为非零复数,对任意的正整数n≥2,函数f(z)+a(f′(z))n取每一个有穷复数无穷多次.

本文利用亚纯函数的Nevanlinna值分布理论和技巧,进一步探讨亚纯函数的值分布,得到如下结论.

这个结论改进了文献[18-19,33-34]中的相关结论.

2 引理及其证明

证明因

M[f]=(f(z))n0(f′(z))n1…(f(k)(z))nk,

且n0,n1,…,nk都是正整数.l=n0+n1+…+nk,所以

引理2设f(z)为复平面上的超越亚纯函数,φ(z)为f(z)的不恒为零的小函数,φ(z)≡/0,M[f]=(f(z))n0(f′(z))n1…(f(k)(z))nk,k为正整数,n0,n1,…,nk为全为零的非负数.l=n0+n1+…+nk.则

证明首先证明φ(z)fn(z)P[f]不恒为常数.

假设φ(z)f(z)M[f]为常数,则可设φ(z)f(z)M[f]=C(C为常数),显然C≡/0,且

由此可得

故

这与f(z)为复平面上的超越亚纯函数矛盾,即φ(z)fn(z)P[f]不恒为常数.

又由引理1及

可得

因此

(1)

记

(2)

(3)

设z0为f(z)的p级零点,为φ(z)的t级极点,而且

则当p≤k,则z0为(φfM[f])′的至少为p+n0-t-1级零点;若t≥p,则z0至少为φ2(z)的极点.故

(4)

由(1)～(4)式可得

因此

成立.

引理3[32]设f(z)为复平面上的超越亚纯函数,k为任意正整数,则

引理4[32]设f(z)为复平面上的超越亚纯函数,则

引理5设f(z)为复平面上的超越亚纯函数,n和k为任意正整数,则

证明由引理2、引理3和引理4可得

所以

3 定理的证明

所以

即

因此

由此得到φfM[f]取每一个非零有穷复数无穷多次.定理1证毕.

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The value distribution of the meromorphic functionφ(z)f(z)M[f]

JIN Jin1, LI Li2

(1.Department of Mathematics, Bijie University, Bijie, Guizhou 551700;2.Department of Management Engineering， Guizhou Electric Power Vocational and Technical College， Guiyang 550003)

Let kandn0,n1,…,nkbe positive integers,f(z) be a transcendental meromorphic function in the complex plane,φ(z) be small function off(z), andφ(z) ≡ /0. The transcendental meromorphicM[f]=(f(z))n0(f′(z))n1…(f(k)(z))nk. In this paper, the value distributions of transcendental meromorphic functionφ(z)f(z)M[f] are discussed, and a new theorem and the detail proof are presented.

transcendental meromorphic function; Nevanlinna theory; value distribution

2014-11-16.

贵州省科学技术基金项目 (2012GZ10526);贵州省毕节地区科研基金项目(201102).

1000-1190(2015)04-0483-05

O174.5< class="emphasis_bold">文献标识码： A

A

*E-mail: jinjin62530@163.com.