探究一类运动问题

☉江苏省如东县马塘中学 蔡月红

探究一类运动问题

☉江苏省如东县马塘中学 蔡月红

纵观这几年的中考题，发现压轴题都趋向于对动态问题的研究.此类题既能考查学生基础知识的掌握情况，又能考查学生的综合能力，是综合性很强的一类题.学生遇到这种问题，总是犯难，感觉无从下手.笔者对运动中的最值和运动路径问题进行了整理.

一、利用三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短求运动问题中的最值

1.利用三角形的两边之和大于第三边求最小值

例1如图1，已知菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一动点，则PM+PN的最小值= _________.

图1

本题利用菱形的轴对称性，作出点M（或者点N）关于BD的对称点E，再连接NE或ME，交BD于点P，由三角形的两边之和大于第三边可知，PM+PN的最小值即为NE或ME的长度.

2.利用三角形的两边之差小于第三边求最大值

例2如图2，抛物线y=-x2+bx+c与 x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，点Q在该抛物线的对称轴上运动，当点Q运动到何处时，使得QB-QC的绝对值最大？

图2

本题利用抛物线的轴对称性，连接CA，并延长CA交抛物线的对称轴于点Q，利用三角形的两边之差小于第三边可知，此时的QB-QC的绝对值最大，最大值即为QC的值.

3.利用垂线段最短求最小值

例3（1）如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3， AC=4，点D是边AC上的一个动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求EF的最小值.

图3

利用矩形的对角线相等，可知求EF的最小值就是求AD的最小值，由于点A是定点，所以当AD⊥BC时，AD最短.然后利用等面积法就能求出AD的最小值了.

（2）如图4，在△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，点D为BC边上的动点，连接AD，过点A作AE∥DC，且AE=DC，求DE的最小值.

图4

根据题意，四边形ADCE为平行四边形，所以DE= 2OD，求DE的最小值就是求OD的最小值，点O为定点，因此当OD⊥BC时，OD最短.

图5

根据条件，PQ2=OP2-OQ2，OQ是圆的半径，它是固定值，只要OP最小，PQ就最小，当OQ⊥AB，即点P位于点C时，OP最小，PQ也就最小.

二、利用相似或全等来确定动点的运动轨迹、路径长

图6

1.利用相似求动点的运动路径长

首先，需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如图7所示.利用相似三角形可以证明.其次，如图8所示，利用△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即为点B运动的路径长.

图7

图8

由相似求出点B运动的路径长，可以大幅度简化计算，但这要求学生有一定的空间想象能力和分析问题的能力.

2.利用全等探究动点的运动轨迹

图9

例5如图9，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形.当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）.

（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图9），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？

（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图像的解析式.

由△AOC≌△ABP，可知点P在过点B且与AB垂直的直线上，要求点P所在函数图像的解析式，只要求出点P的一个特殊位置，即当点C移动到使点P在y轴上时，得点P的坐标为（0，-3），再将B、P两点的坐标代入就可以求出解析式了.

图10

例6如图10，△ABC和△EFC都是等边三角形，在△ABC中，AD是高，AB=2a，若点E在直线AD上运动，连接DF，则在点E运动过程中，线段DF的最小值是多少？

由于△AEC≌△BFC，所以∠CBF=∠CAE=30°，当点E在直线AD上运动时，点F在过点B且与CB的夹角为30°的直线上运动.再利用垂线段最短，可求出DF的最小值.

三、利用圆的知识先确定点的运动路径，再求值

1.利用90°的圆周角所对的弦是直径来确定动点的运动轨迹

图11

例7如图11，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于点H，连接AH，则AH的最小值是多少？

因为CH始终垂直于BD，所以点H在以CB为直径的圆上运动，再利用两点之间，线段最短，可知当点H运动到线段AO上时，AH最小.

2.利用“到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”来确定动点的运动轨迹

例8（2014年江西中考题改编）已知AC=4，AB=3，当∠C最大时，求CB的长度.

因为AB=3，所以点B在以点A为圆心，3为半径的圆上运动.当CB与圆A相切时，∠C的度数最大，这时就可以利用勾股定理求出CB的长度了.

通过以上这些例子，我们可以看出，运动问题是一个复杂的动态问题，具有较强的灵活性和思考性.遇到此类问题千万不能绕开走，只有要求学生多摸索，在不断尝试的过程中注意总结，在运动变化中寻找规律，这样才能有助于解题能力的提高.H