一个双参数恒Lyapunov指数的超混沌系统及电路仿真

王 宏， 马朝华

(1.郑州轻工业学院 建筑环境工程学院， 郑州 450002； 2.郑州职业技术学院， 郑州 450000)



王 宏1*， 马朝华2

(1.郑州轻工业学院 建筑环境工程学院， 郑州 450002； 2.郑州职业技术学院， 郑州 450000)

提出了一个四维自治超混沌系统，该系统含有两个参数.分析表明，随着参数的变化该系统呈现周期、伪周期、混沌和超混沌运动.在一定参数范围内，超混沌系统的4个Lyapunov指数保持恒定，不随参数的改变而改变.而且系统的两个正的Lyapunov指数都比较大，尤其是第2个Lyapunov指数较已有的超混沌系统都要大，因此，该系统具有更显著的超混沌特征.最后，设计了模拟电路，电路实验结果表明，在电路中分别呈现的周期、伪周期、混沌和超混沌特性与数值仿真完全一致．

超混沌； 混沌电路； Lyapunov指数； 分岔图

Rossler在1979年提出超混沌的概念并最终提出了超混沌Rossler系统[1].与混沌系统相比，超混沌系统具有2个甚至2个以上正的Lyapunov指数，相轨迹在多方向上进行分离，其动力学行为更为复杂.文献[2]研究表明，具有一个正Lyapunov指数的混沌信号在作为保密通讯中的加密信号时容易被破译，所以简单混沌信号不适宜作为加密信号，复杂的超混沌信号可以提高混沌保密通信和混沌信息加密的安全性.因此，超混沌系统的生成和分析将是信息工程领域中混沌应用的一个重要课题. 目前，超混沌的设计还没有系统的方法.近年来，研究工作者通过在三维自治系统中加入状态反馈控制器设计了一些超混沌系统[3，5].这些超混沌系统都具有复杂的动力学特性.但研究表明它们的两个正的Lyapunov指数都比较小.文献[3]提出的超混沌系统的两个正的Lyapunov指数分别在0.5和0.2左右;文献[4]提出的超混沌系统的最大Lyapunov指数在[0.5，1]之间，第2大Lyapunov指数却小于0.2.文献[5]提出的超混沌系统的最大Lyapunov指数在0.5左右，第二大Lyapunov指数小于0.1.文献[6]提出了一个大范围超混沌系统，其最大Lyapunov指数基本上大于或等于3，第二大Lyapunov指数最大时也仅为0.5.文献[7]提出的超混沌系统的最大Lyapunov指数小于0.8，第二大Lyapunov指数最大时也仅为0.2.文献[8]提出的超混沌系统，但其最大Lyapunov指数为19.4521，而第2大Lyapunov指数也仅为0.228581.文献[9]提出了一个只有一个非线性项的超混沌系统，系统结构简单，电路容易实现，但其最大Lyapunov指数不到0.15，第2大Lyapunov指数最大时也仅为0.05．

本文提出的新四维超混沌系统的两个正的Lyapunov指数在最大时均超过1，尤其是系统的第2个正的Lyapunov指数比以往提出的超混沌系统的第2个Lyapunov指数都要大;系统的Lyapunov指数随参数e的变换保持恒定;随着参数d变换，系统不仅呈现出周期、伪周期、混沌及超混沌的特性，而且，在一定范围内，随参数d的变换系统的Lyapunov指数也保持恒定．

1 一个双参数恒Lyapunov超混沌系统

本文构造的超混沌系统如下.

(1)

式中，x，y，z，w∈R4，d，e是可变参数.当参数取值为d=230，e=3.5，系统的Lyapunov指数分别为λ1=1.812403，λ2=1.202030，λ3=0.019056，λ4=-26.464075，此时系统呈现出超混沌行为.超混沌吸引子如图1所示．

图1 超混沌系统(1)的相轨迹Fig.1 Hyper-chaotic attractor

2 超混沌系统基本特性

2.1 耗散性和吸引子的存在性

对系统(1)有

(2)

系统(1)是耗散的，且以下列指数形式收敛

(3)

即体积元V0在t时刻收缩为体积元V0e-23.5.意味着当t→∞时， 系统的轨迹最终以指数速率渐近地收缩到一个特定的零体积的极限集中，并最终被固定在一个吸引子上，这说明了吸引子的存在性．

2.2 参数变化对系统的影响

1) 固定参数e=3.5，改变d，d∈(0，230).新系统的Lyapunov指数谱如图2所示.当d∈(0，4)时新系统的Lyapunov指数均为负值，系统为不动点;当d∈(4，14.5)时，新系统的Lyapunov指数1个为零，另外3个负值，系统是周期的;d∈(14.5，16.5)时，新系统的Lyapunov指数有3个为零，1个负值，系统是伪周期的;d∈(16.5，26.5)时;新系统的Lyapunov指数有1个正值，1个为零，2个负值，系统是混沌的;d∈(26.5，112)时，新系统的Lyapunov指数有2个正值，1个为零，1个负值，系统是超混沌的;d∈(112，162)时，系统的最大Lyapunov指数不断地碰撞零值，致使系统在周期和伪周期之间切换;d∈(162，230)时，新系统的Lyapunov指数有2个为正，1个为零，1个负值，系统是超混沌的.而且，d∈(165，180)和d∈(190，230)时，新系统的Lyapunov指数保持恒定(恒Lyapunov指数谱分别如图3和图4所示).以上分析表明，当参数d变化时，该系统出现周期、伪周期、超混沌的特征，而且系统处于超混混沌的参数范围大，第2大Lyapunov指数较之前提到的超混沌系统都大，其超混沌特性更加显著.而且系统出现了恒Lyapunov指数的特征．

图2 系统(1)随参数d变化的Lyapunov指数谱Fig.2 Lyapunov exponent spectrium with the increasing d

2)固定参数d=230，改变e，e∈(2.6，3.6).新系统的Lyapunov指数谱如图5所示.由图5知，当参数e变化时，该系统的Lyapunov指数均保持恒定，都是λ1=1.812403，λ2=1.202030，λ3=0.019056，λ4=-26.464075，系统始终处于超混沌状态．

图3 系统(1)参数d∈(165，180)的Lyapunov指数谱Fig.3 Lyapunov exponent spectrium with d∈(165，180)

图4 系统(1)参数d∈(190，230)的Lyapunov指数谱Fig.4 Lyapunov exponent spectrium with d∈(190，230)

图5 系统(1)随参数e变化的Lyapunov指数谱Fig.5 Lyapunov exponent spectra with the increasing e

3 超混沌系统(1)的电路实现

针对超混沌系统(1)，本文采用线性电阻、线性电容、运算放大器(LM741)、模拟乘法器(AD633)设计了模拟电子电路，如图4所示.由于篇幅所限，各元件参数如图6所示.调整电路中R8的阻值，当R8取不同的阻值时，用示波器观察该系统的各种轨迹如图7所示．

图6 系统(1)的电路实现Fig.6 Circuitry realization of the hyperchaotic system (1)

图7 系统(1)电路实现的示波器相轨迹图

4 结论

本文提出了一个新的四维超混沌系统，具有以下显著的特征:

1) 系统处于超混沌的参数范围较大，超混沌态的两个正的Lyapunov指数都较大，尤其是系统的第二个Lyapunov指数比文中提到的超混沌系统都要大，最大时大于1，说明系统的超混沌特征显著;

2) 系统含有两个参数d和e，当参数d∈(0，230)范围内变化时，系统出现周期、伪周期、混沌、超混沌运动.而且，当参数d∈(165，180)和d∈(187，230)范围时，随着d的变化，系统的4个Lyapunov指数均保持恒定;当参数e∈(2.6，3.6)时，随着e的变化，系统的4个Lyapunov指数也保持恒定.这是有别于以往所提出的超混沌系统的显著特征.基于这样的特征，将该系统称为双参数恒Lyapunov指数超混沌系统．

[1] Rossler O E. An equation for hyperchaos[J]. Physics Letters A， 1979， 71(2-3): 155-157．

[2] Perez G， Cerdeira H A. Extracting messages masked by chaos [J]. Physical Review Letters， 1995， 74(11): 1970-1973．

[3] Li Y， Tang W， Chen G. Hyperchaos evolved from the generalized Lorenz equation [J]. Int J Circ Theor Appl， 2005， 33: 235-251．

[4] Gao T G， Chen C Z， Cang S. The generation and circuit implemention of a new hyper-chaos based upon Lorenz system[J]. Physics Letters A， 2007， 361(1-2):78-86．

[5] 仓诗建， 陈增强， 袁著祉. 一个新四维非自治超混沌系统的分析与电路实现[J]. 物理学报， 2008， 57(3):1493-1501．

[6] 贾红艳， 陈增强， 袁著祉. 一个大范围超混沌系统的生成和电路实现[J]. 物理学报， 2009， 58(7): 4469-4476．

[7] 李春来， 禹思敏. 一个新的超混沌系统及其自适应追踪控制[J].物理学报， 2012， 61(4): 040504(1-7)．

[8] 于春雨， 朱建良， 郭建英.四维混沌系统及其在信号加密中的应用[J]. 电机与控制学报， 2012， 16(3): 96-100．

[9] 周 平， 危丽佳， 程雪峰. 只有一个非线性项的超混沌系统[J]. 物理学报， 2009， 58(8): 5201-5208．

A double parameters hyperchaotic system with invariable Lyapunov exponent spectrum and its circuit implementation

WANG Hong1， MA Chaohua2

(1.School of Building Environment Engineering， Zhengzhou University of Light Industry， Zhengzhou 450002;2.Zhengzhou Technical College， Zhengzhou 450002)

In this paper， a four-dimensional hyperchaotic system was constructed. This new system contains two system parameters. Numerical simulations and theoretical analysis showed that this four-dimensional system will take on periodic， quasi-periodic hyperchaotic dynamical behaviours as paremeters vary. When the given parameter varies in a broad range， the Lyapunov exponent spectrum kept invariable.Moreover， two positive Lyapunov exponent of the new system was bigger. Especially， the second Lyapunov index was the biggest among the existing hyperchaotic systems. Finally， an electronic diagram was designed for demonstrating the existence of the hyperchaos. The experiment results showed that various attractors of the hyperchaotic circuit， including periodic attractor， quasi-periodic attractor， chaotic attractor， hyperchaotic attractor， were consistent with the simulation results．

hyperchaos; Lyapunov exponent; chaotic circuit; bifurcation analysis

2015-01-12.

河南省2014年科技发展计划项目(142300410246); 郑州轻工业学院博士基金资助项目(2013BSJJ027)．

1000-1190(2015)03-0378-05

TP273; TM132; TN914

A

*E-mail:wanghong@zzuli.edu.cn.