一种阵列天线赋形波束综合优化方法

何保荣, 李晓歌

(河南牧业经济学院 信息工程系， 郑州 450011)



何保荣*, 李晓歌

(河南牧业经济学院 信息工程系， 郑州 450011)

基于前后向矩阵束研究了阵列天线的方向图赋形问题，提出了一种阵列天线赋形波束综合优化方法.在该方法中，首先确定适当的阵元数目，然后再优化设计激励幅度和阵元位置，最后设计出需要的赋形方向图.在此过程中，先由期望方向图的均匀采样数据构造Hankel-Toeplitz矩阵；然后再对它进行奇异值分解，舍弃不重要的奇异值，得到此矩阵的低秩逼近矩阵；最后基于广义特征值分解求得重构阵列的阵元位置和激励.同时，采用特殊的前后向矩阵来约束极点分布，以保证重构赋形波束方向图的精度可控.仿真实例验证了该方法的快速性和有效性.

阵列天线; 赋形波束方向图; 奇异值分解

赋形波束方向图综合是一种用于设计满足特定辐射要求的天线方向图以达到实际需求的方法.近几十年来，赋形波束方向图的设计和应用已在雷达、通信和航空监测系统等领域受到广泛关注[1-2].

目前，关于天线波束赋形综合存在许多优化方法，但这些方法主要针对均匀分布的线性阵列.尽管这些技术已成功应用，但采用综合均匀分布的阵列来达到赋形波束方向图特性，需要较多的阵元数目[3]；有文献表明：使用非均匀分布的阵列来达到赋形波束方向图的特性，不仅可以减少阵元数目，降低天线系统的成本，而且在满足方向图性能要求的前提下，还可以进一步简化后端信号处理系统的复杂性[4].

综合阵元位置、激励和相位是一个包含多个未知量的高度非线性优化问题[5]，本文基于前后向矩阵束[6-7]，研究赋形波束方向图综合，使用尽可能少的阵元数目来达到赋形波束方向图特性，从而提出了一个阵列天线赋形波束综合优化方法.该方法首先由期望方向图的采样点数据得到Hankel-Toeplitz矩阵，然后再对矩阵奇异值分解(SVD)以得到对应较少阵元的低秩逼近矩阵；最后采用前后向矩阵束方法重构阵列的阵元位置和激励.前后向矩阵束方法能够在极值点施加非常重要的约束，这个约束并不是所有极值点都在单位圆上的充分必要条件，但是可以得到更加准确的综合结果，尤其是对非对称方向图的综合效果更明显.

1 阵列天线方向图

图1 阵元的参考坐标Fig.1 Reference coordinates of array element

图1表示在三维空间任意排列的阵列， 其中，位于(ri，θi，φi)中第i个单元的激励记为Ri，每个阵元均为全向辐射元.由M个阵元组成的线阵的方向图为：

(1)

其中，Ri是位于di的第i个阵元的激励，u=cosθ，αi为第i个阵元的相位角，k=2π/λ，λ为波长.

前后向矩阵束方法主要思想就是使用尽可能少的阵元来逼近期望的赋形波束方向图.因此，构建其最优化问题的数学公式如下.

(2)

2 最小阵元数目估计

首先，对赋形波束方向图从u=-1到u=1进行均匀采样.令un=nΔ=n/N，n=-N，…，0，…，N，共2N+1个采样点，任一采样点处的值为

(3)

其中,zi=ejkdiΔ=ejkdi/N.根据Nyquist采样定理，必须满足条件Δ≤λ/(2dmax)，dmax=max(di).

然后，由采样点数据构造Hankel-Toeplitz矩阵[6]Yfb，即：

(4)

其中，*表示复共轭，yl=[yl，yl+1，…，y2N-l+1]T，并且yl=fM(l-N).参数L应满足条件M≤L≤2N-M.

最后，对矩阵Yfb进行奇异值分解，即：

Yfb=U∑VH,

(5)

其中,U∈C2(2N-L+1)×2(2N-L+1)，V∈C(L+1)×(L+1)为酉矩阵.{σi}为矩阵Yfb的奇异值，∑=diag{σ1，σ2，…，σP:σ1≥σ2≥…≥σP}，P=min{2(2N-L+1)，L+1}.

在实际的阵列综合中，Q值通过下式确定[5]：

(6)

式中，ε是一个很小的正数，ε的选择取决于重构方向图和期望赋形波束方向图的逼近程度.

(7)

其中，∑Q=diag{σ1，σ2，…，σQ，0，…，0}，酉矩阵U和V等同于式(5)的U和V.

3 求解阵元位置和激励

(8)

(VQ，t-zVQ，b)v=0,

(9)

式中，VQ，t和VQ，b是由VQ分别去掉第一行和最后一行得到，VQ是取式(5)的前Q列.

求得正确的特征值后，就可根据式(3)推导出阵元位置：

(10)

通过求解下式的最小二乘解[5]

(11)

可得到阵元激励：

R=(ZHZ)-1ZHfM,

(12)

式中，

fM=(fM(-N)，fM(-N+1)，…，fM(N))T.

(13)

(14)

4 实例仿真

以CSTMicrowaveStudio仿真软件为基础进行了仿真实验.在该实验中，设置采样点参数N=2M.参数L的值在2N/3～4N/3之间.通常的，选择正确的L值可以提高重构赋形波束方向图的精确度.设置L的值为2N/3、N和4N/3，然后再确定符合最佳结果的L值.为了方便描述，实验中把传统矩阵束方法[1](由于篇幅有限，有兴趣的读者具体请参阅文献1)简称MPM，本文中将前后向矩阵束方法简称为FBMPM.

实验1综合宽波束赋形方向图

在文献[3]中描述了一个由15个等间隔分布的阵元形成宽波束赋形方向图，方向图如图2实线所示.具体过程如下：首先对赋形波束方向图进行采样，共有2N+1=61个采样点.然后由这些采样点构造Hankel-Toeplitz矩阵，参数L=4N/3=40.由式(6)可知，当ε=10-2所需的阵元数为Q=11，当ε=10-4所需的阵元数为Q=12.为重构更加准确的赋形波束方向图，选择Q=12，可以节省20%的阵元.最后在最下二乘准则的约束下求得稀布线阵的阵元位置和激励.图2给出了采用FBMPM和MPM所得到的方向图结果比较，从图中可以看出，采用FBMPM得到的方向图比MPM得到的方向图精确度高得多.图3给出了两种方法所得极值点分布，从它可以看出采用MPM得到的大多数极点都未分布于单位圆之上，这说明了为什么采用该方法所得到的方向图较差.表1给出了经MPM和FBMPM优化后的阵元激励和相位.

图2 采用FBMPM和MPM所得方向图结果比较(一)Fig.2 Compared results 1 of direction figure by FBMPM and MPM

图3 采用FBMPM和MPM优化后的极点分布(一)Fig.3 Improved pole location 1 by FBMPM and MPM

表1 经MPM和FBMPM优化后的阵元激励和相位

实验2文献[4]的综合赋形波束方向图

本例重构文献[4]中的非对称方向图.该图使用了遗传算法(GA)，由16个等间隔分布的阵元组成，方向图如图3实线所示.具体过程如下：首先对赋形波束方向图进行采样，共有2N+1=65个采样点.然后由这些采样点构造Hankel-Toeplitz矩阵，参数L=4N/3=43.按照例1的步骤求得重构阵列的阵元位置和激励.与文献[6]相比，都只需要13个阵元便可精确重构期望方向图，但此例可节省相位变换.图4为采用FBMPM和MPM所得到的方向图的比较结果，它表明采用FBMPM得到的方向图比MPM得到的方向图精确度高.图5给出了两种方法所得极值点分布，从它可看出，采用MPM得到的大多数极点大多都未分布于单位圆之上.表2给出了经MPM和FBMPM优化后的阵元激励和相位.

图4 采用FBMPM和MPM所得方向图的比较结果(二)Fig.4 Compared results 2 of direction figure by FBMPM and MPM

图5 采用FBMPM和MPM优化后的极点分布(二)Fig.5 Improved pole location 2 by FBMPM and MPM

在上述两个实验中，图2和图4都表示FBMPM和MPM优化后阵元响应同理想响应相接近的情况，其中黑色实线表示理想中的阵元响应，红色虚线表示FBMPM优化后的阵元响应，蓝色点划线表示MPM优化后的阵元响应.从这两个图可以看出，采用FBMPM优化的阵元响应最接近理想响应，而采用MPM优化的阵元响应距理想响应却有一定的差距，这说明FBMPM得到的方向图的精度比MPM得到的方向图的精确度高.

表2 经MPM和FBMPM优化后的阵元激励和相位

5 结束语

基于前后向矩阵束，论文研究了阵列天线的方向图赋形问题，提出了一个阵列天线赋形波束综合优化方法.该方法利用特殊的前后向矩阵结构来约束极点分布，大大提高了重构赋形波束方向图的精度，尤其对非对称方向图的效果更加明显.通过前后向矩阵束，可以优化阵元激励和相位，达到使用尽可能少的阵元逼近期望方向图的目的.前后向矩阵束也能够用来优化非均匀分布的阵列，使其达到最佳的优化效果.本文的研究推进了前后向矩阵束综合不同形状方向图的能力，为其在工程应用中提供了有价值的参考.

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Array antenna shaped-beam pattern synthesis optimization method

HE Baorong, LI Xiaoge

(Department of Information Engineering， Henan University of Animal Husbandry and Economy， Zhengzhou 450011)

In order to improve the problem of array antenna shaped-beam pattern， a new method based on forward-backward matrix pencil was proposed to reduce the number of elements， to solve the element locations and to design the excitations. Firstly， the shaped-beam pattern was sampled to form a discrete data set. Secondly， a Hankel-Toeplitz matrix was built and the singular value decomposition was performed. By discarding the insignificant singular values， an optimal low-rank approximation of the matrix which corresponds to sparse antenna array was obtained. Finally， the generalized eigen-decomposition was employed to calculate the sparse linear array locations and excitations. Meanwhile， the proposed method placed a necessary restriction on the poles which can guarantee to obtain more accurate result. Simulation results were presented to demonstrate the efficiency of the proposed method.

array antenna; shaped-beam pattern; singular value decomposition

2015-01-17.

河南省重大科技专项项目(121100111000).

1000-1190(2015)03-0368-05

TN 820.1

A

*E-mail: hbrhuahe@163.com.