[0,1]-拓扑空间中T*分离性的非标准分析方法研究

2015-03-21马春晖史艳维翟美娟

华中师范大学学报（自然科学版） 2015年2期

关键词：拓扑学非标准单子

马春晖, 史艳维, 翟美娟

(1.西安建筑科技大学理学院, 西安 710055; 2.西安培华学院基础部, 西安 710125)

[0,1]-拓扑空间中T*分离性的非标准分析方法研究

马春晖1*, 史艳维2, 翟美娟1

(1.西安建筑科技大学理学院, 西安 710055; 2.西安培华学院基础部, 西安 710125)

非标准扩大模型; 准分离; 模糊集的邻域; 模糊集的单子

1 预备知识

在一般拓扑学[1]中,许多深刻的结果都是要求拓扑空间具有某种分离性,对于[0,1]-拓扑空间而言,情形也是一样,因此对[0,1]-拓扑空间中的分离性进行深入研究是非常有必要的.自1968年,C. L. Chang[2]以L. A. Zadeh[3]的模糊集理论为骨架创立[0,1]-拓扑学以来,模糊分离性就成为了[0,1]-拓扑学的研究热点之一.1975年和1977年,B. Hutton先后提出了模糊正则性[4]和模糊完全正则性[5]的概念,这些分离性及其特征刻画与一般拓扑学中一种传统的方法是平行的.1980年蒲保明和刘应明[6]在研究模糊点的邻近结构时,基于模糊点的重域,首次提出了准T0,T0,T1和T2分离性的概念,并对这些分离性进行了系统地讨论.之后,王国俊在文献[7-8]中利用模糊点的远域重建了T分离性.在一般拓扑学中,分离性有多重不同的等价形式,但在[0,1]-拓扑学中以这些熟知的分离性为蓝本来建立的模糊分离性却不等价,于是从不同角度来推广一般拓扑学中的同一分离性可以得到不同的模糊分离性.在文献[7-8]中,王国俊在T分离性的基础上,建立了一套系统的T*分离性,这种分离性有别于T分离性,也是一种“好的推广”(good extension).

为行文方便,先来回顾一些非标准分析和[0,1]-拓扑学中的基本概念,详细内容可以参见文献[8-11].

如果S≠ø满足以下条件:(1) 对于任意的x∈S,x≠ø;(2) 对于任意的x∈S,y∉x(∀y∈S),则称S是个体集.对于个体集S,归纳定义:

V0(S)=S;Vn+1(S)=Vn(S)∪2Vn(S),

n=0,1,2,…,

定义1设个体集S是无限集,如果映射*:V(S)→V(*S)满足以下条件:

(1)*ø=ø;

(2) 对于任意的s∈S,*s=s;

(3) 转换原理成立,即|=α当且仅当*|=*α,其中,α是LV(S)中的有界量词语句,*α是将α中的常量c替换为*c得到的LV(*S)中的有界量词语句;

(4) 共点原理成立,即对于任意的V(S)中的共点关系r,存在y∈V(*S),使得〈*x,y〉∈*r(∀x∈dom(r)),

则称V(*S)是个体集S的非标准扩大模型.

本文总假设X是无限集,[0,1]是单位闭区间,X∪[0,1]⊆S,且V(*S)是S的非标准扩大模型.

关于模糊点的单子有如下性质,详细的证明可以参见文献[12].

2 主要结果

定义4设(X,δ)是[0,1]-拓扑空间,对于任意X上的模糊点xλ,yμ,当xλ与yμ准分离时:

定理1设(X,δ)是[0,1]-拓扑空间:

证明仅证(3),结论(1)和(2)类似可证.

由转换原理可得,如下有界量词语句在V(S)中成立,

可见,模糊集的单子是模糊点的单子的推广,关于模糊集的单子,也有类似于引理1的结论:

证明考虑如下V(S)中的二元关系

由转换原理可得如下V(*S)中的有界量词语句成立,

[1]KelleyJL.GeneralTopology[M].NewYork:VanNostrand, 1955.

[2]ChangCL.Fuzzytopologicalspaces[J].JMAA, 1968, 24:182-190.

[3]ZadehLA.Fuzzysets[J].InformationControl, 1965, 8: 338-353.

[4]HuttonB.Normalityinfuzzytopologicalspaces[J].JMAA, 1975, 50:74-79.

[5]HuttonB.Uniformitiesonfuzzytopologicalspaces[J].IBID, 1977, 58:559-571.

[6]PuBaoming,LiuYingming.FuzzytopologyI,NeighborhoodstructureofafuzzypointandMoore-SmithConvergence[J].JMAA, 1980, 76: 571-599.

[7] 王国俊. 拓扑分子格的分离公理[J]. 数学研究与评论, 1983, 3(2): 9-16.

[8] 王国俊.L-Fuzzy拓扑空间论[M]. 西安: 陕西师范大学出版社, 1988.

[9]RobinsonA.NonstandardAnalysis[M].Amsterdam:North-Holland, 1963.

[10]DavisM.AppliedNonstandardAnalysis[M].NewYork:Wiley, 1977.

[11]CutlandNJ.Nonstandardmeasuretheoryanditsapplications[J].BullLondonMathSoc, 1983,15: 529-589.

[12] 马春晖, 陈东立, 史艳维. [0,1]-拓扑空间中的单子及其逼近原理[J]. 纯粹数学与应用数学, 2007, 23(1): 108-111.

A study inT*separations by nonstandard analysis methods in [0,1]-topological spaces

MA Chunhui1, SHI Yanwei2, ZHAI Meijuan1

(1.School of Science, Xi'an University of Architecture and Technology, Xi’an 710055;2.Department of Basic Courses, Xi'an Peihua University, Xi'an 710125)