转化思想在数学中的应用

左秋硕

(牡丹江市卫生学校，黑龙江牡丹江157011)

著名的美国数学教育家波利亚认为：“在教学中，技能比仅仅掌握一些知识重要得多。所以，在中学给学生传授一定数量知识的同时，也应该使学生具备一定的解题技能。”叶圣陶先生也说过：“教是为了不教”。要达到这个不教的目的，其中有一个非常重要的环节，就是要把数学思维方法中的灵魂——“转化”思想传授给学生。

一、转化思想的内涵

转化思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。转化可以是条件和结论的形式或数学各分支甚至跨学科的转化。一般将陌生的转化为熟悉的复杂的转化为简单的，抽象的转化为直观的或遵循正难则反，条件结论和谐等原则。转化思想在中学数学中无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力和思维能力。

数学解题实际上是在熟练掌握概念与定理公式的基础上解决矛盾，完成从“未知”向“已知”的转化。同时，还要注意知识形成过程无处不隐含着人们在教学活动中解决问题的途径、手段和策略，无处不以数学思想、方法为指南。在解答数学题实质上就是通过因导果或执果索因，确立题中条件与问题或条件与结论逻辑上的必然联系，实现由已知向未知的转化，最终达到已知与未知的统一。对于一些结构简单的问题，通过适当的联想就能找到合理的解题途径，但许多问题如果直接从问题的条件出发往往陷于困境，甚至事倍功半，这时运用数学的转化思维，把原问题转化成新问题。通过对新问题的分析考察，探究解题思路，从而顺利解决原问题，以下举例分析转化思想在解数学题时的应用。

二、常见的转化方法及其应用

（一）一般与特殊的转化

一般与特殊的转化是中学数学中常见的转化思想。它包含两方面的含义：一是由特殊转化为一般；二是由一般转化为特殊。首先我看由特殊转化为一般，由于从一般问题入手可使我们的视野更为广阔，避免在枝节上纠缠，容易触及问题的本质，所以当我们遇到某些特殊问题感到很难解决时，不妨适当放宽条件或改变一些条件的限制，把待解决的问题放在一个更为广泛的视角上，看下面这道例题：

例 1已知 x2+2x-5=9，y2+2y-5=0求 的值。

分析：若直接求出x，y代入 求值，是相当麻烦的，但是若能看出所给方程的一般形t2+2t-5=0，而x，y是该方程的两个根。

则由韦达定理可知 x+y=-2，xy=-5

由例1可看出，由一般问题入手去解决某些特殊问题，可以发现本质，进而把问题解决。

（二）常量与变量的转化

在有几个变元的问题中，若转换思考问题的角度，可消除一些讨论问题中的分类因素，通过变更主元的方法来求解。

例2已知二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0中的a的为正整数，问a取何值时此方程至少有一个整数根。

分析：把x看作常量，用x表示a，再利用x为整数，a为正整数的条件进一步确定a的取值。

解：原方程可变形为：

因为x=-2不是原方程的解，所以x+2≠0

又因为a为正整数，所以a≥1

由此可解得：-3≤x≤-1

又因为 x是整数且 x≠-1所以 x=-3，-1，0，1。

把他们分别代人原方程得

故当a=1或a=5时，原方程至少有一个整数根。

例2采用的方法是变换主元的方法，它主要体现了函数思想，即把题中的某个量或某些量看作是常量，而其它的量则看作为变量，用常量表示出变量，然后再根据已知条件进一步求解。

数学中转化思想的应用十分广泛，除了以上几个方面的转化，还有高次向低次的转化，无限向有限的转化等。各种转化的共同本质是变中有不变。转化是手段，揭示其中不变的东西才是目的，为了不变的目的去探索，转化的手段就构成解题思路。只要我们在作转化时，要注意数学题的特点遵循熟悉化、简单化、和谐化、直观化的原则，就可在直接求解原问题难以入手时，把问题作适当的转化，使之变成几个比原问题简单，难度低易于解答的新问题，并通过对新问题的分析，发现原问题的解题思路，最终达到解决问题的目的

[1]许诚仪.数学问题转化策略的运用[J].上海中学数学，2006，12((5):46～48.

[2]郭维良.谈谈数学问题中的转化[J].中学数学教学，1986，12(02):60～63.

[3]胡炯涛著.数学教学论[M].广西:广西教育出版社,1998.

[4]薛金星.数学基础手册（高中）[M].北京:北京教育出版社,2001.

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