索支撑压杆屈曲性能分析

梁笑天，袁行飞

（浙江大学 空间结构研究中心，浙江 杭州310058）

在大跨度空间结构体系迅速发展的近20年中，以索、杆结构为基础的组合形式一直被国内外工程师所广泛使用，如1996年亚特兰大奥运会主体育场——乔治亚穹顶采用了索穹顶结构；2008年北京奥运会主场馆——北京工业大学体育馆采用了弦支穹顶结构.索穹顶结构是由脊索、斜索和环索构成的连续张力索网和不连续的压杆组成；弦支穹顶结构则是由上层单层球面网壳和下层环索、斜索通过竖杆连接而成［1］.在这些结构中，压杆两端或一端与索连接，故称其为索支撑压杆.在现有的整体结构有限元分析中，通常将压杆直接简化为单个杆单元，因此，只能考虑结构整体失稳或由于节点的塌陷导致的局部失稳，而不能考虑压杆屈曲对于结构性能的影响［2-4］.目前，采取吴柏生［5-6］所提出的计算方法进行弹性支撑压杆的失稳计算，其指出存在一个由杆的长度以及抗弯刚度决定的支撑刚度阈值（Kcr），即当支撑刚度从0增加到该阈值时杆的屈曲荷载也随之增加，而当支撑刚度超过该阈值时杆的屈曲荷载与两端刚性支撑铰支杆相同.对于张拉整体结构，国内罗尧治等［7］取阈值Kcr=；对于索穹顶结构，阚远等［8］取阈值Kcr=.本文采用弹性支撑铰支杆模型，对大跨空间结构中常用的两类索支撑压杆——两端索支撑压杆和一端刚性杆支撑一端索支撑压杆利用ANSYS软件进行非线性有限元分析，探讨支撑索不同初始预应力、压杆初始缺陷和支撑杆不同刚度对压杆及索杆单元稳定性的影响.

1 弹性支撑压杆屈曲分析相关理论与计算假定

1.1 弹性支撑压杆屈曲分析理论

设一长为L，抗弯刚度为EI（E为弹性模量，I为截面惯性矩）的杆两端铰接于刚度为K的弹性支撑上，一端承受大小为P的横向荷载（图1）.

图1 两端弹性支撑铰支杆Fig.1 Centrally compressed strut with elastic restrains

将原有变量代入式（1）可得

当K＜Kcr时，最小屈曲荷载Pcr=KL／2；当K≥Kcr时，最小屈曲荷载Pcr=π2EI／L2，即此时的屈曲荷载等于两端铰支杆的屈曲荷载.

式（3）与文献［7］中的阈值取值相同，与文献［8］中的阈值取值不同的原因是选取的计算模型不同.前者选取的是两端铰支杆的计算模型，而后者选取的是两端夹紧杆的计算模型.考虑到索和杆的实际连接方式，认为两端铰支杆的计算模型更为准确.

1.2 预应力索的刚度

由于索本身具有“只拉不压”的特殊性质，索的

有实际意义的仅是最低的屈曲荷载，于是可得到支撑刚度阈值受力状态与普通弹性支撑存在一定的区别.索的刚度由3部分组成：弹性刚度、重力刚度和几何刚度.弹性刚度取决于索的弹性模量、截面积和受力状态.当索处于受拉状态时，弹性刚度服从胡克定律；当索力减小至0时，丧失轴向弹性刚度.重力刚度则只有在索拥有充分垂度时才会逐渐显现出来，不同于悬索结构，索杆张力结构中索的长度一般较短，重力刚度一般可以忽略不计.几何刚度存在于与索轴相垂直的方向，与索拉力和长度有关，但是一般比弹性刚度和重力刚度小得多［9］.

假设索在初始态的长度为L0，预应力态的长度为L1，荷载态的长度为L，则支撑压杆的索的总弹性刚度为

式中：N为支撑压杆的索根数，E为索弹性模量，A为单根索截面积，k为单根索的弹性刚度.对内蒙古伊旗全民健身体育中心索穹顶结构体系［10］进行分析，支撑压杆的弹性模量取2.06×105MPa，根据式（3）计算得到不同尺寸的压杆的支撑刚度阈值如表1所示，选用Q345 B钢材可以保证表中所列压杆在弹性范围内屈曲.而对于预应力索，弹性模量取1.9×105MPa，索型号为 Φ32，长10 m，则根据式（5）计算得到预应力索对压杆提供的支撑刚度为15 281 k N／m，远大于表1中压杆的支撑刚度阈值.以上计算表明：此时仅单根索提供的支承刚度足以使得压杆的屈曲荷载与两端铰支约束的杆件屈曲荷载相同.对不同尺寸及形式的结构的大量计算结果表明：对于绝大多数索杆张力结构，在预应力索不松弛的情况下，两端有索支撑的压杆的临界荷载可取计算长度为原长的压杆临界荷载值.

1.3 计算假定

对两类索支撑压杆——两端索支撑压杆和一端刚性杆支撑、一端索支撑压杆受力性能进行数值模拟，分析中采用如下假定：

1）两端索支撑压杆模型中，索与压杆连接的一端为铰接，另一端为固接；

2）一端刚性杆支撑一端索支撑的压杆模型中，刚性杆和索与压杆连接的一端为铰接，另一端为固接；

3）2种计算模型中压杆的两端均可移动，移动幅度取决于上下索的刚度、预应力和刚性杆的刚度.

表1 已建工程中压杆支撑刚度阈值计算Tab.1 Calculation of rods'support stiffness threshold in established project

2 两端索支撑压杆受力性能

在索穹顶结构中，压杆两端与上部脊索、下部斜索及环索相连.建立两端分别与3根索相连的压杆模型（图2），压杆使用BEAM 188单元，为模拟压杆的屈曲，压杆在建模中用多段梁单元代替杆单元.压杆长度为10.00 m，外径为0.20 m，内径为0.18 m，弹性模量为2.06×105MPa.拉索长度为6.00 m，直径为0.04 m，弹性模量为1.90×105MPa，每根索与压杆的夹角为60°，使用LINK 10单元模拟.索的一端固接，另一端与压杆端部耦合，索初始应变为0.001 0.

采用有限元进行压杆的非线性屈曲分析，当压杆的单元划分数在8个以上时，其临界荷载稳定在某一固定值［11］.本例中压杆划分为10个梁单元.对杆件施加初始缺陷，缺陷采用正弦半波的形式y=，式中L0为杆件长度，N=250.

2.1 压杆屈曲全过程分析

两端预应力索约束下的压杆模型如图2所示，对压杆上节点施加沿压杆轴向的荷载，压杆发生变形，如图3所示.压杆受力过程中节点的荷载-位移曲线如图4所示，其中位移为已扣除压杆支座位移的顶端轴向位移.

在荷载施加初始阶段，节点荷载-位移曲线基本为线性，对应上部索力逐渐减小.当荷载增加到423.56 k N（点a）时，上部支撑索索力Fc为零（图5），索松弛，但此时单元仍能继续承载，压杆的内力继续增大（图6）.

当压杆的内力FN增加到512.56 k N（点b）时，节点荷载-位移曲线与压杆内力-位移曲线斜率均发生较大变化.荷载增加较缓慢时，压杆顶点位移即迅速增大，此时可认为杆件发生屈曲.

图2 两端预应力索约束下的压杆Fig.2 Strut supported by prestressed cables

图3 索杆结构变形图Fig.3 Deformation of cable-strut element

图4 节点荷载-位移曲线Fig.4 Nodal load-displacement curve

图5 上部索内力随外荷载变化曲线Fig.5 Relationship between nodal load and upper cableforce

图6 压杆内力-位移曲线Fig.6 Relationship between internal force of strut and displacement

上例中的压杆若按照两端铰支约束计算，则其临界荷载为

非线性分析得到的屈曲荷载512.56 k N与式（6）相近，由于初始缺陷的影响，比上述欧拉临界荷载略小.

2.2 索初始预应变的影响

对索施加不同初始预应力可通过改变索初始预应变实现，在外荷载不断增加的过程中，索内力基本线性减小（图7）.ε为索初始应变，而节点荷载-位移曲线斜率亦保持不变.当上部拉索内力Fc减小至0后，节点荷载-位移曲线斜率发生变化（图8），此后，索初始预应变的不同对于结构的受力情况影响不大，不同初始预应力下结构的节点荷载-位移曲线逐渐趋近.

图7 不同预应变下索力随荷载变化图Fig.7 Internal force of cable with different initial strain

图8 不同预应变下结构的节点荷载-位移图Fig.8 Nodal load-displacement curve of cable-strut element with different initial strain

2.3 初始缺陷的影响

对压杆引入不同幅值的初始缺陷，得到图9所示的节点荷载-位移曲线，δ为压杆初始缺陷.在施加荷载前期，不同缺陷的杆件差别不大，因为此时结构由上部预应力索承担了较大外荷载，达到临界荷载后，缺陷的大小对于压杆的受力性能存在影响，但是影响不大.

图9 不同缺陷下结构的节点荷载-位移图Fig.9 Nodal load-displacement curve of cable-strut with different initial imperfections

3 一端刚性杆支撑、一端索支撑的压杆受力性能

弦支穹顶中压杆一端与单层球面网壳的节点相连，一端与预应力拉索连接（如图10所示），共同发挥单层网壳和张拉体系的优势.弦支穹顶刚度比索穹顶大，中间压杆的受力性能很大程度上取决于上部杆件的刚度及杆件与压杆之间的角度.取压杆长度为5.00 m，外径为0.15 m，内径为0.13 m，上部杆件直径为0.10 m，长度为2.61 m，夹角为85°.杆件连接压杆的一端铰接，另一端固接.拉索长度3.00 m，直径为0.04 m，弹性模量为1.90×105MPa，每根预应力索与压杆夹角为60°，索初始应变为0.002 0.在非线性有限元计算中，采用BEAM188单元模拟上部刚性杆，使用弧长法求解.

3.1 索杆单元屈曲全过程分析

在上部杆件与压杆的交点处施加荷载，方向沿压杆轴向，节点荷载-位移曲线为非线性，如图11所示.当压杆内力FN=661.12 k N（图12中点a）时，压杆首先发生屈曲，由于上部压杆的约束，压杆不会发生过大位移.整个体系仍保有承载能力，可继续承载，直到达到最大荷载1 396.99（点b），此时压杆内力为692.15 k N，上部杆件的轴力Fu为4 362.18 k N（图13）.继续跟踪节点荷载-位移曲线，整个体系

图10 弦支穹顶中的压杆单元Fig.10 Cable-strut element in suspen-dome

图11 节点荷载-位移曲线Fig.11 Nodal load-displacement curve

图12 压杆内力-位移曲线Fig.12 Relationship between internal force of strut and displacement

图13 上部杆件轴力随节点荷载变化曲线Fig.13 Relationship between nodal load and upper rigid rods force

由于初始缺陷的影响，上式结果稍大于点a对应的荷载值661.12 k N.由此可见，一端刚性杆支撑一端索支撑的压杆虽然先发生屈曲，但是由于上部杆件的约束作用，体系仍然可以继续承载，直至整个压杆体系失稳.

3.2 索初始预应力的影响

不同索预应力情况下，在承受荷载初期，3种不同模型的结构节点荷载-位移曲线（见图14）和压杆内力-位移曲线（见图15）基本重合.索杆单元中的出现类似空间网壳结构典型的跳跃失稳现象，上部杆件轴力在短时间内由4 362.18k N（点b）降为0（点c），此时节点荷载值降为1 049.25 k N.

图14 不同预应变下结构的节点荷载-位移曲线Fig.14 Nodal load-displacement curve of cable-strut with different initial strain

图15 不同预应变下结构的压杆内力-位移曲线Fig.15 Relationship between internal force of strut and displacement with different initial strain

索杆单元屈曲全过程分析中的压杆若按照两端铰支约束计算，则其临界荷载为压杆先于整个体系屈曲，预应力只对压杆初始内力有影响，而对结构的整体刚度影响不大，原因是此时预应力索只存在于索杆单元下部，随着结构的变形，下部索拉力持续增大，不会出现如两端均为索支撑的压杆单元中上部拉索松弛的现象，故对于由预应力索和上部杆件共同作用的索杆单元，索预应力对结构的影响不明显.节点荷载-位移曲线何时进入下降段主要取决于上部杆件达到极值点的时间.

3.3 上部杆件刚度的影响

改变上部杆件的截面积，研究上部杆件刚度对压杆性能的影响，得到节点荷载-位移曲线（图16）和压杆内力-位移曲线（图17），D为上部杆件的直径.可以看出，索杆单元中的压杆先于整个体系屈曲，压杆内力-位移曲线不会因上部杆件刚度的不同而发生变化.但是在节点荷载-位移曲线中，当荷载较小时，上部杆件直径不同对曲线的影响不大，随着荷载的继续增大，压杆屈曲后，曲线呈非线性变化，3条曲线的极值点值分别为1 135.31、1 256.70和1 396.99 k N.压杆屈曲荷载不会因上部支撑杆件刚度的不同而发生改变，接近于式（7）的计算结果.整个压杆体系屈曲荷载将随着上部刚性杆面积的增大有不同程度的提高.

4 结 论

图16 不同刚度上部杆件对应的节点荷载-位移曲线Fig.16 Nodal load-displacement curve of cable-strut with different rigidity of upper rods

图17 压杆内力-位移曲线Fig.17 Relationship between internal force of strut and displacement

（1）两端索支撑压杆的屈曲荷载基本符合吴柏生［5-6］所提出的计算方法，压杆内力-位移曲线斜率发生较大转折处对应的荷载值接近于按照两端铰支计算的杆的欧拉临界荷载.

（2）两端索支撑压杆中，索的预应力对于节点荷载-位移曲线存在影响，当上部预应力索松弛后节点荷载-位移曲线斜率会发生变化，此时压杆只有下部索的支撑.

（3）对于一端索支撑一端刚性杆支撑的压杆，压杆的屈曲先于整个压杆体系的屈曲，压杆的临界荷载值可以近似取为按照两端铰支杆的欧拉临界荷载.在压杆屈曲后，由于上部杆件的约束作用，结构仍然可以继续承载，直至上部杆件发生跳跃屈曲使得结构整体失稳.

（4）本文研究了不同弹性支撑对单个索杆单元屈曲性能的影响，考虑到实际工程中通常存在多个单元的连接，且各单元之间存在相互作用，因此，单个索杆单元中的压杆发生屈曲后的结构整体稳定性仍然有待研究.

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