OCDMA系统中新型正交码的设计及性能研究

杨梦婕，李传起，陆 叶，罗德俊，张东闯，孔一卜

(广西师范大学电子工程学院，桂林541004)

引 言

光正交码(optical orthogonal code，OOC)是一组自相关及互相关性都很好的“0，1”序列［1］。在光码分多址(optical code division multiple access，OCDMA)系统中，光地址码序列的最佳选择是光正交码，因此光正交码是目前地址码研究领域的重点［2-4］。构造OOC的算法有直接构造法、有限几何法以及区组设计法等［5-7］，每种方法都很复杂。本文中利用设计出不重复的全间隔集得到互相关和自相关都为1的正交码。

该正交码能够根据实际用户数和码重而得出对应的码长，对于其它方法构造的正交码，在特定码重下只有固定容量的地址码，比如码重为3的正交码只有3个，而本文中构造的正交码，无论码重为多少的正交码个数都可以根据实际用户数而定，不局限特定的容量。虽然在固定的码重下，所设计出的地址码码长也会随着所需用户数的增大而增大，但可以弥补普通正交码特定码重情况下的码字容量过小的缺陷。

1 正交码的设计

一个地址码族可以表示为(L，w，λa，λc)，其中 L表示地址码长度，w表示码重，λa表示自相关限，λc表示互相关限。对于正交码，λa=λc=1［1］。一个地址码可以用(x1，x2，…，xw)表示，其中 xi表示第 i(i=1，2，…，w)个“1”在地址码中的位置。一个地址码有邻1间隔集、邻2间隔集……邻w-1间隔集，邻j间隔集表示地址码“0，1”序列中隔着 j个“1”的两个“1”之间的距离，所有w-1个间隔集构成了这个地址码的全间隔集。一个地址码的全间隔集中没有相同的数字，则这个地址码的自相关为1;一个地址码的全间隔集中没有数字与另一个地址码的全间隔集中的数字相等，则这两个地址码的互相关为1;一个地址码族中所有地址码的全间隔集中都没有重复的数字，则这个地址码族的自相关限和互相关限为1;利用地址码间隔集的这个特点，构造出没有重复数字的间隔集，而得出整个地址码族。

一个地址码的邻 j间隔集可以表示为(y1，j，y2，j，…，yw，j)，邻j间隔集中的数字满足以下关系:

式中，⊕w表示计算结果对 w 取余;i=1，2，…，w。yi，1为邻1间隔集中的第i个元素，与地址码序列的关系为:

根据以上关系将正交码族中所有地址码的全间隔集分为邻1间隔集A以及除A以外的部分B，B由w-2 个矩阵Bn(n=1，2，…，w-2)构成，A 和 Bn可以用公式表示为:

式中，矩阵A和Bn中的值具有如下关系:

A中的1行表示一个地址码的邻1间隔集，N表示该地址码族的容量，aij表示A中第i行j列的数字(i=1，2，…，N;j=1，2，…，w)，bi′j′，n表示矩阵 Bn中第i′行 j′列的数字(i′=1，2，…，N;j′=1，2，…，n)，其中i=i′，n=j-1。矩阵A 中的数字aij和矩阵Bn中的数字bi′j′，n同时利用(4)式、(5)式可求得，并同时满足如下条件:在B中没有值与aij相同，且B中没有重复的数字(以下简称条件a)。当j从1到w-1时的具体计算方法如下:(1)j=1:由(4)式可得ai1=i，其中i=1，2，…，N;(2)j=2:i=1 时，a12=aN1+1，b11，1=a11+a12;i=2，3，…，N 时，ai2=a(i-1)2+1，bi1，1=ai1+ai2，判断是否满足条件a，将ai2+1直到满足为止;(3)j=3:i=1 时，a13=aN2+1，b11，2=a12+a13，将 a13+1 直到满足条件 a;i=2，3，…，N 时，ai3=a(i-1)3+1，bi1，2=ai1+ai2，bi2，2=ai1+ai2+ai3，判断是否满足条件 a，将 ai3+1直到满足条件;(4)j=k(k=4，5，…，w-1):i=1 时，a1k=aN(k-1)+1，b11，k-1=a1(k-1)+a1k，将 a1k加 1 直到满足条件 a;i=2，3，…，N 时，aik=a(i-1)k+1，bi1，k-1=ai(k-1)+aik，bi2，k-1=ai(k-2)+ai(k-1)+aik，…，bi(k-1)，k-1=ai1+ai2+…+aik。判断是否满足条件a，将aik+1直到满足条件。

通过以上的计算方法，可以得到所有地址码的邻1间隔集A，再利用(2)式可以得到该正交码族。为了便于得到较多的地址码，利用MATLAB编程，输入所需的码重和地址码容量后，可以得到该正交码族，如在MATLAB中给定码重5，容量10后得到的码长为264的正交码族，如表1所示。

Table 1 The OOCs with code length 264，code weight 5 and capacity 10

2 误比特率性能的分析

在实际的系统中，不仅仅只存在多用户干扰，还存在如暗电流噪声、激光器消光比影响、背景光噪声、热噪声、散粒噪声等这些因素［8-10］，使得实际情况下的误比特率(bit error rate，BER)比只考虑多址干扰情况下的误比特率大，因此从理论上分析存在这些噪声时，系统的误比特率。

在雪崩光电检测器(avalanche photo detector，APD)中，由信号、背景光、APD体漏电流引起的总光子吸收率［11］根据用户发送的比特b分为两种情况:

式中，λs为用户发送脉冲所对应的光子吸收率，λs=ηPr/(hf)(Pr为接收的光功率，η为APD的量子效率，h为普朗克常量，f为光频率)，λb为实际中背景光所引起的光子吸收率，e为电子电荷，Ib为体漏电流，Ib，1是b=1时Ib的值，Ib，1/e表示APD体漏电流在输出端的值，Me为消光比。

对于码重为w的正交码携带的光信号在经过相关器进行运算时，仅在信号的w个片时隙有光子通过，余下的L-w个片时隙没有光子通过。对于同步用户总数为K时，K个用户输出的“0”或“1”的总数为Kw。当用户发送比特b=1时，有w+I个信号以λs到达，I表示其他用户对该用户的干扰，有Kw-(w+I)个空信号以λs/Me到达。而背景光、APD体漏电流、表面漏电流、热噪声在每个片时隙都存在。因此接收端的累加输出y的条件概率密度函数为:

式中，G为APD的平均雪崩增益，IAPD为APD的表面漏电流，Fn为过剩噪声系数，Fn=keffG+(2-G-1)×(1-keff)，keff为APD 的有效电离率，σth2为热噪声方差，σth2=22kBTrTe-2R-1，kB为玻尔兹曼常数，Tr为接收机的噪声温度，R为接收机的负载电阻。

当用户发送信号比特0时，I个脉冲以λs入射光子到达率到达，Kw-I个空脉冲以λs/Me入射光子到达率达到，其它噪声对于每个片时隙都存在。因此，接收端累计输出y的条件概率密度为:

当用户发送比特b=0时，累计输出y大于判决门限，使得输出1而产生误码。当用户发送比特b=1时，累计输出y小于判决门限，使得输出0而产生误码。因此，系统误比特率定义为:

设实际用户发送的比特0和1的概率相同，得到P(b=0)=P(b=1)=，由(7)式和(10)式，(14)式

可具体表示为:

将表1中的系统参量值带入误比特率公式中，绘制出误比特率随着同步用户数变化曲线，如图1所示。

Table 2 System parameters

图1为误比特率随着同步用户数变化曲线，由图中可以看出，误比特率随着同步用户数的增大而增大，随着码重的增大而降低。由于本文中设计的正交码的码长是根据实际情况中的用户数和用户对误比特率需求而定的码重二者共同决定的，因此绘制出码长与码重和码字容量的关系图，如图2所示。从图2中可以看出，码长随着码重成二次函数递增，随着码字容量成一次函数递增。因此对于本文中构造的正交码，码重对码长的影响较大。由(13)式可以看出，误比特率的主要来源多址干扰随着码长的变长而变小，因此相对于码字容量而言，作者设计的正交码的误比特率与码重的关系更为密切。

Fig.1 BER versus the number of simultaneous users with code weight 5，7，9

Fig.2 Code length versus the code weight and code capacity

3 系统仿真

对于1维OCDMA系统的编解码，分为时域上的编解码和谱域上的编解码。时域编解码通常采用光纤延时线，谱域编解码通常采用光纤布喇格光栅(fiber Bragg grating，FBG)［12-14］。因光纤延时线能够更好地表现出地址码的优良性能，因此将采用光纤延时线对用户进行编解码。

通过OptiSys软件，采用本文中设计的正交码的二用户异步OCDMA系统的仿真如图3所示。采用波长为1550nm的脉冲激光作为光源。光纤延时线作为编解码器，在编解码器前加入延时来控制两用户的异步。并采用掺铒光纤放大器(erbium doped fibre amplifier，EDFA)对传输信号进行放大。

Fig.3 Simulation of the asynchronous OCDMA system

Fig.4 Eye diagram of user 1

Fig.5 Eye diagram of user 2

两个用户分配到码长 L=27、码重w=4，分别为(0，1，4，10)和(0，2，7，15)的地址码。用户速率为10Gbit/s，根据用户速率采用的单位延时为0.15ns，每个用户用4个光纤延时作为编解码器。则地址码为(0，1，4，10)的用户1 的4 个延时线分别延时 0.15ns，0.45ns，0.9ns，2.55ns。地址码为(0，2，7，15)的用户 2的 4 个延时线分别延时 0.3ns，0.75ns，1.2ns，1.8ns。图4和图5为用户最终的眼图。系统中的功率放大器只是起到增大信号功率的作用，弥补信号的削弱。由于光纤延时线是采用功率累加的方法对用户信号进行编解码的，因此必然存在低功率的信号干扰。从眼图中也可以很明显地看出，在眼图下方存在较低的信号，光硬限幅器器能够很好地去除这些低功率的干扰信号，但在未采用光硬限幅器的情况下，眼图效果就已经较为良好，能够很好地识别出有用信号。

4 结论

设计出了一种新的光正交码，该正交码的码长根据实际需要的码重和用户容量而定，且码长与码重的关系较为密切。在特定码重的情况下，可以根据实际中的用户容量来确定码长，使得该正交码能够适应各种情况。分析存在各种噪声以及多址干扰的实际情况，根据该正交码的特性推导出误比特率公式，误比特率呈现随着码重的增大而减小的趋势。设计并搭建了异步OCDMA系统，在不加入光硬限幅器的情况下就能得出较好的眼图。

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