基于自适应模糊C 均值聚类算法的电力负荷特性分类

赵国生，牛贞贞，刘永光，孙超亮

(1．郑州大学 电气工程学院，河南 郑州450001;2．河南许继仪表有限公司，河南 许昌461000)

0 引言

基于电力用户的实际负荷曲线分类对电力需求侧管理［1］有着重要意义．合理的电力负荷分类有助于供电部门有效地掌握用户的负荷特性并制定合理的电价政策［2］;有助于通过削峰填谷手段实现负荷曲线的整形［3］;有助于激励用户积极参与到需求侧管理项目中去．同时，精细化的负荷分类对指导电网滚动规划、实时调度及运行规划的可靠性评估等方面也具有重要意义．根据用电行业、电力负荷用电可靠性等级以及电价等进行分类的传统负荷分类方法已不能满足需求侧管理的需要，基于电力用户的实际负荷曲线分类的电力负荷特性分类方法受到越来越多的关注，成为当前负荷分类的主要方法．

目前，基于实际负荷曲线对负荷进行分类的方法有很多，常用的有K-means 算法［4］、层次聚类算法［5］、模糊C 均值聚类算法(FCM)［6］、高斯混合模型(GMM)算法［7］、自组织特征映射神经网络(SOM)算法［8］、支持向量机(SVM)算法［9］和极限学习机(ELM)算法［10］等． 这些方法中，FCM 算法在运行时间、准确度、稳定性及聚类效果等方面均表现较好，是目前应用最广泛的电力负荷特性分类算法之一． 但是，FCM 算法也存在着需要人为确定聚类数目c 以及模糊加权指数m 取值需要凭经验给定等问题． 针对FCM 算法存在的缺点，笔者以聚类有效性判别指标［11］MIA 和MDC 为基础来自动确定FCM 算法的聚类数目，并通过模糊决策的方法来确定最优的m 取值，以达到最优的聚类结果．

1 传统FCM 聚类算法

1．1 传统FCM 聚类算法

FCM 算法是一种以隶属度来确定每个数据点属于某个聚类程度的算法，该算法是传统硬聚类(HCM)算法的一种改进．FCM 把数据集X =［x1，x2，…，xn］分为c 个模糊组，并求每组的聚类中心，它的模糊划分可用矩阵U = ［uij］表示，其中矩阵U 的元素uij表示第j(j = 1，2，…，n)个数据点属于第i(i = 1，2，…，c)类的隶属度．uij满足以下条件:

FCM 的目标函数是各点的隶属度和该点与聚类中心的欧氏距离的乘积之和，FCM 算法就是求使聚类目标函数最小化的划分矩阵U 和聚类中心矩阵C．即

式中:n 是样本数据集的个数;c 是聚类中心数;m为模糊加权指数;dij表示样本点和聚类中心之间的欧氏距离．

使得公式(2)达到最小值的两个必要条件为

1．2 FCM 聚类算法的实现

FCM 算法就是反复更新聚类中心矩阵C 和隶属矩阵U 进行迭代的过程，具体步骤如下．

step1:给定聚类数目c、模糊加权指数m 和迭代停止阈值ε 的值，令k = 0，初始化隶属度矩阵U(0)和聚类中心矩阵C(0)．

step2:根据公式(6)计算更新U(k)．

step3:根据公式(7)计算更新C(k+1)．

step4:根据公式(2)计算目标函数，如果

1．3 FCM 聚类算法存在的问题

2 自适应FCM 聚类算法

2．1 聚类数目c 的确定方法

FCM 聚类算法的聚类数目不能自动确定，需要人为输入．为了克服这一缺点，笔者以类内距离MIA 和类间距离MDC 两个聚类效果评价指标为基础，引入聚类数目c 的自适应函数I(c)来确定FCM 算法的聚类数目．理想的负荷分类结果应该是同类负荷曲线间距离最小，不同类负荷曲线间距离最大．类内距离MIA 和类间距离MDC 的定义如下:

假设聚类结果得到c 个负荷分类，Ck表示第k类负荷曲线中所包含的负荷曲线集合;ntk表示该集合中的所有负荷曲线;nk表示第k 类负荷曲线中包含的单位数目;CTk表示第k 类负荷曲线的聚类中心，其中k = 1，2，…，c．

类内距离MIA 表示各聚类中心和其对应聚类中所有负荷曲线数据的距离平均值，定义如下:

类间距离MDC 表示不同类的聚类中心负荷曲线间距离的平均值，定义如下:

MDC(c)= mean(d(CTk，CTk))． (10)

式中:mean 为求平均值的函数．

定义类间距离MDC 与类间距离MIA 的比值I为

I(c)= MDC(c)/MIA(c)． (11)

由于MIA(c)表示类内距离;MDC(c)表示类间距离;类间距离与类内距离的比值I(c)越大表明聚类效果越好，即I(c)取得最大值时对应的c为最佳聚类数目．

2．2 模糊加权指数m 的确定

FCM 聚类算法与传统的硬聚类算法的区别就在于引入了模糊加权指数m，而参数m 取值的大小是根据经验确定的．不同的m 值对FCM 算法的分类结果有着很大的影响．m 的值越大，聚类结果越模糊，所得到的FCM 分类结果中每类之间的区别越不明显． 也就是说，m 的取值影响着FCM算法的聚类效果．m 的取值区间为［1，+ ∞］，在不做特殊要求的时候，m 的值取2．Pal 等人从聚类有效性方面入手，通过实验得出m 的最优选择区间为［1．5，2．5］．

选取m 的最优取值是为了FCM 聚类算法能够得出合理有效的聚类结果，所以，笔者以FCM算法的目标函数为基础，引入m 的自适应函数．根据文献［12］中的划分熵Hm(U，C)和FCM 算法的目标函数Jm(U，C)共同约束来求得最优的m．其中Hm(U，C)定义如下:

其中，当uij= 0 时，uij·ln uij= 0;Hm(U，C)越大，聚类越模糊．模糊加权指数m 的最佳值为m*，表示如下:

将m*确定转化为一个带约束的非线性规划问题，用模糊决策的方法来确定m*的值，则Jm(U，C)和Hm(U，C)分别定义成如下形式:

其中:参数α ＞1，一般α = 1．5;β 为较大的正常数，一般β = 10． 根据式(14)、(15)，利用模糊决策的方法可以得到m*．

即以较大的隶属度来通过同时极小化Jm(U，C)和Hm(U，C)，由此得到的聚类结果不但分类清晰，而且类内的元素相似性也比较大．

2．3 自适应FCM 聚类算法的实现

笔者所提出的自适应FCM 算法是通过模糊决策的方法自动确定模糊加权指数m 的值，并通过类间距离与类内距离的比值形成的自适应函数I(c)来自动确定聚类数目．自适应FCM 算法流程图如图1 所示．自适应FCM 聚类算法的具体实现步骤如下．

step1:输入初始聚类数目c = 2，I(0)= 0．

step2:给定m = 1．1．

step3:由1．2 中的FCM(m，c)进行聚类，求出目标函数Jm(U*，C*)和划分熵Hm(U*，C*)．

step4:判断模糊加权指数m 的大小，如果m ＜2．5，则m = m +0．1 返回step3．

step5:根据公式(12)，利用模糊决策的方法得到最优的模糊加权指数的m*

c ．

step6:由1．2 中的FCM(m*c ，c)进行聚类，求出I(c)．

step7:当2 ＜c ＜n 时，如果I(c-1)＞I(c-2)且I(c-1)＞I(c)，则聚类过程结束;否则c = c+1，返回step2．

图1 自适应FCM 算法流程图Fig．1 The flow chart of adaptive FCM algorithm

3 算例分析

3．1 日负荷曲线数据的选取和预处理

算例所采用的数据为北方某省电力公司的用电信息采集系统所采集到的包括商业楼宇、公共机构、高耗电行业等不同行业的98 个电力用户的96点典型日负荷曲线．为了降低其他因素的影响，笔者采用连续多个工作日的96 点日负荷曲线数据取平均值的方法来获取典型的日负荷曲线数据．

现取连续一个月的96 点日负荷曲线数据来获取该类负荷的典型日负荷曲线，则该负荷的典型日负荷曲线为一个月日负荷曲线数据的平均值．第i 条负荷曲线的典型负荷曲线表示为xi=［xi1，xi2，…，xi96］，由于不同类型的负荷数据变化很大，不便于进行数据比较，为去除负荷数量级对聚类分析的影响，在进行聚类分析之前已经对电力用户的典型日负荷曲线数据进行归一化处理，这里采用极值序列归一化，即

归一化之后所有的数值都在［0，1］，式中max［xi1，xi2，…，xi96］为第i 条典型日负荷曲线数据xi中数据点的最大值．

3．2 自适应FCM 聚类算法分类结果

根据算例所使用的典型日负荷曲线数据，对其进行极值序列归一化处理后，得到归一化的98条典型日负荷曲线数据． 按照第2 节中的自适应FCM 聚类算法对98 条负荷曲线进行分类． 当聚类数目c=8 且最优模糊加权指数m*c =1．9 时算法停止，最终的聚类结果如图2 所示．

图2 自适应FCM 算法分类结果Fig．2 The classification result of adaptive FCM algorithm

由图2 的最终分类结果可以看出，该分类结果中每个分类能明显地代表一类典型负荷的负荷特征，分类结果比较理想． 与传统的FCM 算法相比，笔者所用自适应FCM 算法的聚类数目c 的确定，是根据聚类有效性指标的类间距离与类内聚类的比值来确定的;而模糊加权指数m 值是以FCM 算法的目标函数为基础，利用模糊决策的方法确定的．该算法克服了传统FCM 算法的不足，并且优于那些单纯确定聚类数目c 的自适应FCM算法．

文献［8］是将SOM 算法与FCM 算法相结合，利用SOM 算法得到聚类数目和初始聚类中心，并作为FCM 算法的初始输入，以克服FCM 算法存在的缺点，即相当于进行了两次聚类，实现起来比较复杂，且聚类结果的优劣仍需要进行衡量．与文献［8］相比，笔者所采用的自适应FCM 算法，是基于聚类结果的评价指标确定自适应函数以确定聚类数目c，且以FCM 算法的目标函数为基础来确定模糊加权指数m，均是以聚类结果最优为基础对FCM 算法本身进行的改进，此方法不仅克服了FCM 算法存在的缺点，且得到的聚类结果是最优的，实现起来也比较简单．

4 结论

针对FCM 聚类算法存在需要人为确定聚类数目的缺点，笔者通过计算聚类算法中的有效性判别指标MDC(c)和MIA(c)的比值I(c)，选取I(c)取得最大值时所对应的聚类数目c 为最优的聚类数目，并且通过模糊决策的方法来优选模糊加权指数m，以FCM 算法的目标函数Jm(U*，C*)为模糊决策方法的目标函数和划分熵Hm(U*，C*)为模糊决策方法的约束条件，以较大的隶属度来通过同时极小化Jm(U，C)和Hm(U，C)以求得最优的m． 通过算例分析可知，该算法不仅克服了FCM 算法存在的缺点，而且所得到的聚类结果能够分别代表一类典型负荷的负荷特性．

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