寻几何阅读之道，建高效课堂——从一道几何习题说起

寻几何阅读之道，建高效课堂
——从一道几何习题说起

☉浙江省宁波市兴宁中学徐积国

笔者在教学七年级“几何的初步认识”这一章时，作业上出现了这样一道题：

“如图1，已知O在直线AB上，OE⊥OC，OD是∠COE内一条射线，则图中互余的角共有_______对.”

笔者所教授两个班答题情况统计如下表所示

答案班级6 4 2其他A班（4 8人）1 8人1 6人1 0人4人B班（4 9人）1 6人1 7人9人7人

图1

这道题出错普遍，笔者课后做了调查，答案为6的学生的主要错误在于他们认为∠AOE、∠DOE、∠COD、∠BOC都是45°；答案为4的学生的主要错误在于他们认为这样的图再熟悉不过了，认为OE、OC分别是∠AOD、∠DOB的平分线.这引起了笔者的反思.如果学生能认真阅读题目、审清题意，解决这样的问题应该不难.一方面学生本身对阅读缺乏必要的阅读习惯与耐心，另一方面学生缺乏必要的阅读方法与技巧.因此，教师在课堂教学中，应该有意识地渗透重视数学阅读的理念，引导学生学习数学阅读方法与技巧去解决问题，从而提高课堂效率.以下是笔者在几何教学中指导学生数学阅读的策略.

一、阅读之道，有加有减

数学阅读可以借鉴语文课的一些阅读技巧，如“提主干”“缩句”“长句改短句”等，这样可以帮助学生理解，抓住要领.

1.添加文本，结构清晰

数学课本上经常出现一些精简的概念或定理，学生有时觉得理解困难.如果适当地添加某些用词，长句分成短句，形成一个完整的句式，学生往往比较容易理解，阅读思路就变得顺畅.

例1命题“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”转换成“如果有一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上”.如果长句分成短句，条件、结论清晰，易于理解.再由已知画出图形（如图2），之后将文字语言中的条件与结论用符号语言表示，就更加清晰了.

图2

2.删减枝叶，理清要点

一些几何问题中包含有问题的背景知识，或为了严谨性文字描述较多，在读题时可以根据情况删除这些内容，以便快速抓住有效信息.

例2勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理.在图3所示的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4.作△PQR使得∠R= 90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么△PQR的周长等于______.

阅读策略：删除背景知识①，在对照图形得到“共线”的情况下删除②.

①勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图，是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理.在图3所示的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4.作△PQR使得∠R=90°，②点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么△PQR的周长等于______.

图3

二、解剖图形，清晰明了

图形文本与文字文本、符号文本等丰富了数学文本内容.直观、便于观察、富有想象是图形文本的特点，是视觉语言，所以破译图形文本也是很有必要的“.破译”图形文本，可根据要求从以下几个方面着手.

1.“标示”符号，观察便捷

2.分解图形，化繁为简

数学新课标指出：“能从复杂的图形中抽离简单的基本图形”，往往要先从分析简单图形的性质出发，再综合几个简单图形相应的结论.

例3如图4，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A= ________.

不少学生初看此图形，发现各种线错综复杂，求∠A不知从哪里入手.为了辅助学生拨开错综的线条，笔者指导学生按如下方式去阅读.

（1）∠BDC=140°、∠BGC=110°为已知角，请同学们局部观察∠BDC与∠BGC可以放在怎样的图形之中.学生容易想到凹四边形BDCG（如图5），得到结论∠BDC=∠1+∠2+∠BGC，从而得到∠1+∠2=30°.

（2）∠1+∠2=30°和什么条件有联系？学生容易想到角平分线这一条件，从而得到∠ABG+∠ACG=30°与∠ABD+∠ACD=60°.

（3）请同学们思考∠A放在怎样的图形之中.学生自然地想到凹四边形BDCA（如图6）与凹四边形BGCA.以图6为例，∠ABD+∠ACD+∠A=∠BDC，立刻得到∠A= 80°.

图4

图5

图6

3.“着色”强调，排除干扰

几何图形常见处理方式就是分割、补形、折叠，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快.在对图形的分割、补形、折叠中提高阅读几何图形的能力.对一些复杂的图形，可以用不同阴影部分突出要研究的部分图形，排除其他图形对视觉的干扰作用.

例4在学习勾股定理之后，出现了这样一道题.如图7，分别以Rt△ABC的三条边为直径作半圆，结论：“两个月牙形的面积之和，等于△ABC的面积，即S1+S2=S3.”你能说明理由吗？

图7

图8

阅读策略：（1）S1、S2这样的图形有相应的面积公式吗？（2）涉及图形面积，我们有时要对图形进行分割或补形，从而形成可利用面积公式表达的图形.对于S1+S2，割形还是补形？补形对学生而言很好理解.（3）如图8，设阴影部分的面积为S，再由勾股定理推出“S1+S2+S=S3+S”也就顺理成章了.

三、翻译数学语言，多视角进行阅读

“数学教学也是数学语言的教学”.几何阅读时若能将三种语言“文字语言、符号语言、图形语言”灵活地互相转化，则意味着看问题多了一个视角，更方便去解决问题.要培养学生一定的几何阅读能力，需引导学生在“文字语言、符号语言、图形语言的转化上”有一定的策略.

1.文字、图形语言反复转化——双向转化，加深理解

文字语言能精确地表达含义，但有时较抽象，而图形语言形象、直观.若两种语言之间互相转化，则既有感性认识又不失理性认识，既可做到形象、直观，又能精确、严谨.

例5判断题：若PA=PB，则点P是线段AB的中点.

这是一道典型题，学生很容易出错.产生这种错误的原因是学生没有真正理解题目的意思，用自己经验中的图形代替了题意中的图形，从而产生了错误.从数学阅读的角度入手，对学生进行有效指导十分必要.

阅读策略：

（1）请同学们按照题意画出图形.很多同学画出了这样的图（如图9）

（2）请同学们精确描述图9.

生：PA=PB.

师：数量关系描述的很准确，几何中还有怎样的关系？

生：位置关系.

师：有补充吗？

生：点P在线段AB上，PA=PB.

师：那你们说这句话“若PA=PB，则P是AB的中点”对不对呢？能画出怎样的图？

生：不对.

很多学生最后能画出如图9与图10所示的两种图.

图10

图9

2.文字、符号、图形交互——聚焦条件，形象、直观

一些几何问题条件较多，比较凌乱，将一部分条件有效地翻译成符号语言，尽可能将文字条件与已翻译的符号语言直观地显示在图形中，这样有利于降低难度.

例6如图11，已知O在直线AD上，OE⊥OB，OC是∠BOE内一条射线，OD平分∠FOE，若∠DOE=2∠BOC，∠BOC比∠COE小20°，求：

（1）∠COD的度数；

（2）∠AOF的度数.

图12

图11

阅读策略：将文字语言描述的条件转化成符号语言与图形语言，使条件较多、有难度的几何问题便于观察.

（1）理清条件（文字语言）：如图12，已知O在直线AD上，OE⊥OB，OC是∠BOE内一条射线，OD平分∠FOE，若∠DOE=2∠BOC，∠BOC比∠COE小20°.

（2）将划线部分转化成符号语言与图形语言.

本题中涉及的数量关系较多，用列方程解决问题.不妨设∠BOC=x.

O在直线AD上⇒图12中涂黑直线AD，有180°；

∠BOC比∠COE小20°⇒∠COE=x+20°；

∠DOE=2∠BOC⇒∠DOE=2x；

OD平分∠FOE⇒∠DOF=2x；

OE⊥OB⇒图12中作直角标记.

（3）符号语言与图形语言交互：将表示∠COE、∠DOE、∠DOF的代数式标记在图12中.

（4）由图12中的信息很容易列方程：x+x+20°=90°.

四、整体阅读，事半功倍

“注意分散效应”给我们启示：“多种视觉信息源之间会导致注意力分散，用一个整合的信息源来代替多种信息源”.有些几何图形经常出现，对解决其他问题作用明显，我们称这类图形为基本图形.引导学生将看似分散的、无序的、凌乱的条件作为整体来阅读，用基本图形解决问题事半功倍.

例7如图13，△ABC中，∠ABC的角平分线与△ABC的外角平分线交于点D，作DF∥BC分别交AC、AB于点E、F，找出图中所有的等腰三角形.

图13

图14

在对题目的分析过程中，由条件联想到有关基本图形，构造出相应的基本图形，利用其结论解决问题.（1）在八年级上册等腰三角形教学中，角平分线+平行线一定有等腰三角形就是常见的基本图形，如图14，已知BO为∠ABC的角平分线，且OD∥BC，则△BOD为等腰三角形.（2）由已知条件容易想到模型，得到等腰△DBF与△CDE.

五、破解动态几何问题——动中取静，先分再合

动态几何问题是平面几何中较复杂的一类问题，其运动方式主要有点、线、面的平移、翻折、旋转三大类，经常把数与几何、函数与几何、函数与面积等综合起来.运动变化引起了图形的形状、大小、位置等的变化，在静态状态下，很难分析图形的变化情况.笔者引导学生阅读动态几何的策略如下所示.

（1）用多媒体工具直观演示.

（2）动中取静.

所谓动中取静，指的是在运动的过程中，某一时刻图形是静止的，而这一时刻图形的性质特征与局部一段时间内的关系是不变的.如何取静？抓住特殊图形特征或图形形状的改变等适当画图，使其直观呈现出来，画图时还需注意做到有序性，以免遗漏一些情况.

（3）将每个静的情况逐一击破，最后再综合起来

例8如图15（1），点A、B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A、⊙B的半径均为1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）.

（1）试写出点A、B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；

（2）问：点A出发后多少秒两圆相切？

阅读指导：第一步：借助几何画板直观呈现出其运动状态；

第二步：按照上述取静的规则画出草图：图15（2）-图15（9）.

第三步：由画的图得出解答过程.

为了帮助学生更好地阅读动态几何问题，笔者就经常利用几何画板动态演示，渗透阅读策略，让学生观察，发展到最后学生自己动手画.

六、反思

笔者一直在思索如何构建高效课堂，让学生远离“题海战术”，较轻松地、有效率地学习，同时让学生既获得数学知识，又收获一些数学方法.如何达成这样的目标？没有永恒的方法.关键在于老师对细节的完美追求，能够持续地反思改进，善于处理学生学习不理想的细节、老师教学的细节.本文正是基于学生在几何阅读方面能力欠缺这一细节启发下完成的.

几何阅读能力的形成是一项长期的循序渐进的过程，它需要我们平时注意培养数学阅读习惯，需要教师在教学中大胆探索、积极尝试，勤于思考，加强阅读方法指导.几何阅读能力培养应以几何问题为载体，渗透在平时的课堂教学中.通过几何阅读能力培养促使学生形成主动学习、自主探究的习惯，从而提升课堂效率.

1.徐小建.把握4种语言，准确理解题意［J］.中国数学教育，2011（7）.

2.中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿》［M］.北京：北京师范大学出版社，2001.

3.范良火，主编.义务教育课程标准实验教科书·数学［M］.杭州：浙江教育出版社，2005.

4.赵山龙.做一个“善于举例”的数学教师——来自一线教师的认识、实践与思考［J］.中学数学（下），2012（5）.Z