学生在“微探究”中“默会”数学思想的教学探索——“学为中心”理念下对有效教学的思考

学生在“微探究”中“默会”数学思想的教学探索
——“学为中心”理念下对有效教学的思考

☉浙江省宁波市北仑区泰河学校乐意君

一、问题的提出

在多年的数学教学实践与研究中，笔者总能看到这样两类课：一类是数学课堂上没有任何探究，教师成为“传声筒”，知识的传授成了“告诉”；另一类是数学课堂上整节课都在探究.这两类数学课堂都有明显的不足：前者，学生只是知识的容器，缺乏自主探索和合作交流的机会，缺乏自我感悟，不符合新课程的要求；后者，一些成绩较差的学生跟不上教师探索的步伐，而且受教学内容和课堂时间的限制，用时长、操作繁、过程多的探究教学也难以适应现在的数学课堂.

众所周知，数学教学不是简单的知识的传授，知识的本身只是一个载体，因此我们要挖掘知识背后的内涵，这种内涵便是数学思想.真正的数学课堂实质上是数学思想的课堂，所以我们需要通过“微探究”的学习模式让学生“默会”数学思想，从而让学生将其内化为自己的数学能力.

何为“微探究”和“默会”呢？“微探究”就是根据教学内容和学生的特点，围绕某一问题，选好1—2个探究点，用5—8分钟，在教师的组织引导下，让学生用自我探究与合作交流的方式进行学习.“默会”是指学生暗自领会.以往的课堂是教师把数学思想渗透给学生，现在提倡的数学课堂是在教师的引导下，学生自觉地感悟数学思想，提高自身的创新能力.那么，如何让学生在“微探究”中“默会”数学思想呢？笔者从新课程要求出发，结合自己的教学实践，从三个教学策略入手谈些粗浅的认识，以期抛砖引玉.

二、“微探究”的教学策略探究

图1

1.在“合作交流”中“默会”数学思想，变“快”为“慢”，逐步内化

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生在参与数学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想.”因此，数学思想重在悟，悟就需要过程，一个循序渐进、逐步逼近思想本质的过程，教师的“快”往往会导致学生理解上的断层，我们不妨让学生先自主探索再合作交流，小步子走，变“快”为“慢”，逐步内化.

案例1：“特殊三角形”复习课教学.

（1）对教学内容的简要分析.

已知线段AB，找点C，使得△ABC为等腰三角形，这样的点应该怎么找呢？有几种情况呢？对于这样的开放性问题，如果教师只是简单的“灌输”，之后再进行变式训练，学生掌握的情况往往不容乐观.笔者在执教公开课时设置了一个“微探究”的过程.

（2）“微探究”流程.

第一步，学生提出问题.

师：如果把一张直角三角形纸片（如图1）放置在平面直角坐标系中，一直角边OA落在x轴上，另一条直角边OB落在y轴上，且OA=8，OB= 6，_________？请同学们出个问题.

生1：求AB的长.

（学生利用勾股定理立刻求出了AB的长）

第二步，学生合作交流.

师：我这里也有道题目和大家一起分享，在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形，并求点P的坐标.

（教师组织学生先自主探索再合作交流，学生全员参与，热烈讨论，相互启发，终于“柳暗花明”，各组选代表上台展示自己的研究成果）

生2（陈海纳）：我们小组找到了2个P点，分别是（-8，0）和（18，0）.用AB作腰，PA为底，作出了一个三角形；再以AB作腰，PB为底，作出了另一个三角形.我们找点P找了很久，有没有更快、更方便的方法呢？

师：这个问题很有价值，留给同学们一起思考.还有其他的点吗？

生3：在线段OA上取点P，使得PB=PA，令它们等于x，则OP=8-x，OB=6，所以在Rt△BOP中，（8-x）2+62=x2，得到x

图2

师：我们已经找到三个点了，还有其他的点吗？

生4：（-2，0），已经求出BA=10，当P的位置是（-2，0）时，PA=8+2=10，BA=PA，所以△BAP为等腰三角形.

师：刚才陈海纳小组提出的问题有小组能解答了吗？

生5（陈凌峰）：我们可以分三种情况讨论：当AB=BP时，以B为圆心，AB为半径画圆；当AB=AP时，以A为圆心，AB为半径画圆；当AP=BP时，作AB的垂直平分线，与x轴的交点就是点P.

师：我们可以通过作图（两圆一垂直平分线）得到答案，这道题的本质是等腰三角形的边不确定，按边分类.陈凌峰总结得很完整了，我们把这种找点的方法叫做陈氏方法吧！

第三步，“陈氏方法”的应用.

师：数学来源于生活，又服务于生活.如图2，现要将Rt△OAB形的花圃扩建成等腰三角形，且扩充部分是以OA为直角边的直角三角形且与原三角形不重叠.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.

（师生一起用“陈氏方法”解答，有了前面的铺垫，学生通过小组合作很快就解决了这个问题）

（3）“微探究”策略评注.

已知等腰三角形的一边（两个顶点）找第三个顶点问题，解决这类问题的关键是要利用分类讨论思想，把问题转化为两圆一中垂线.对于这样的开放性问题，采用小组讨论形式组织“微探究”活动，可以有效发挥它的作用.其一，可以讨论出问题多样的结果，激发学生主动学习的积极性；二是对按边分类如何讨论的问题还不明确的同学，可以通过讨论进一步理解并深化题意；三是通过对这个问题的讨论解决，可以找到本质相同问题的思考方法，起到举一反三的效果.通过合作交流，师生思想共鸣，把数学中蕴含的思想挖掘出来，让学生慢慢地体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类标准，从而达到默会的效果.

2.在“尝试操作”中“默会”数学思想，变“一”为“多”，逐步类化

章建跃教授认为，数学基本思想需要在活动中经过积淀，把内隐的思想依附在外显的数学活动中，让学生通过尝试操作，跳出“一例一悟”的框框，把相似或相关的内容串联起来，借助多层面的比对，变“一”为“多”，逐步类化对数学思想的理解和应用.

案例2：“认识三角形（2）”的概念教学.

（1）对教学内容的简要分析.

三角形的中线、角平分线、高线的概念虽然比较简单，但是如果教师对这些概念的处理只是按部就班边画图边介绍，之后再进行辨认训练，学生看似接受了，实则对概念的理解是浅显的、不深刻的.笔者考虑设置一个“微探究”的过程.

（2）“微探究”流程.

第一步，学生带着问题画图探究.

教师请学生拿出纸、尺和笔，与学生一道回顾已学过的“角平分线”“垂线”的画法，先让学生体会，再提问.

师：如图3，点P在△ABC的边BC上运动，当点P运动到什么位置时，有一些特殊的线段？

（学生画图探究）

针对不同程度的学生教师给予提示：当点P运动到什么位置时，AP将△ABC的面积平分？当点P运动到什么位置时，沿着AP对折，能使AB、AC重合？当点P运动到什么位置时，线段AP的长度最短？

（学生在画图探究得到线段AP平分BC边、线段AP平分∠BAC、线段AP垂直BC等.）

图3

第二步，学生类比下定义.

师：你能类比学过的有关中点、角平分线、垂线的定义，尝试给你找到的这些特殊的线段下个定义吗？

学生在自己的信息库中，已有中点、角平分线、垂线的定义等信息，因此，教师提出的这个问题，学生经过片刻思考后，能唤起学生回忆，陆续发现三角形的中线、角平分线、高线的特征，但叙述不完整.

第三步，学生完善概念.

在教师的引导下，学生相互补充、完善，得到概念.

（3）“微探究”策略评注.

本案例对三角形的中线、角平分线、高线的概念引入设置了一次微探究，侧重于概念的发生过程，让学生先复习旧知，带着问题，在操作中去探究、去发现，激活了学生已有的认知经验，为探究活动提供了一个认知基础；让学生在类比中，逐渐从混沌与粗浅走向清晰与深刻，让“形象操作”与“抽象思想”有效契合.首先“会有一些特殊的线段”的问题，促成了学生探究的欲望.通过学生在图形上自主尝试、探究，给予他们感受、体验的时间.第二步是让学生尝试归纳，通过类比旧知，初步得出三角形中三条重要线段的概念，类比是探究发现的重要途径.第三步师生借助图形，通过交流反思，补充完善概念，帮助学生把新问题同化到已有的认知结构中.回顾探索沿途，概念生长的每一步都饱含类比思想.比照“角平分线”“垂线”的画法得到三角形中三条重要线段的画法，比照中点、角平分线、垂线的特征得到三角形的中线、角平分线、高线的特征，比照中点、角平分线、垂线的定义得到三角形的中线、角平分线、高线的定义等.由开始生涩的比较，走向熟稔的比较.让原本无法捕捉的思想由“一”变“多”，逐步类化，类比思想在洗练问题的过程中自然而然置于思维的顶层，缓慢地“默会”并衍生.

3.在“问题驱动”中“默会”数学思想，变“浅”为“深”，逐步深化

一种数学思想的形成往往需要在不同的问题背景中经历提炼、理解、应用等循环往复的过程，让学生不断深入，才能渐次领悟.只有经历多角度的感悟、反复的思考，才能让抽象的思想由浅层面的认识渐次走向深刻的理解，真正得以深化.

案例3：“反比例函数的图像和性质”新课教学.

（1）对教学内容的简要分析.

作反比例函数的图像有三大认知难点：一是列表时确定自变量x的取值；二是连线时用平滑的曲线连接而不是连成折线；三是图像的变化趋势，越来越靠近x轴和y轴，而不是相交.突破这些难点，可组织如下“微探究”活动.

（2）“微探究”流程.

问题1：列表时如何选取x的值？（提示：首先确定自变量x的取值范围；根据x和y的对应关系，考虑x所取值应利于y值的计算和描点；能整体反映函数图像的轮廓）

问题2：连线时任意相邻两点应如何连接？用线段连接行吗？（提示：选定相邻两点，如点A（1，6）和点B（2，3），在1

问题3：反比例函数图像的趋势特征是什么？你能从函数解析式加以解释吗？

第二步，归纳反比例函数的性质.

性质解析式定义域形状位置变化趋势y = k x（k≠0）k > 0 k < 0 y = k x（k≠0）k > 0 k < 0图像

图像“特征（形）”是函数“特性（数）”的直观表象，双方可以互相解释和印证“.数”抽象时，可以用“形”说明；“形”难理解时，可以用“数”解释.这种“数”与“形”的结合，既是一种思想，也是学习函数和解决有关函数问题的图像位于哪些象限？由什么因素决定？

问题6：在每个象限内，y随x的变化如何变化？

（3）“微探究”策略评注.

本案例是用一组问题进行的一次微探究.问题1解决自变量取值能否整体反映图像轮廓和利于计算、描点问题，能使学生领悟到数形结合地思考问题和函数对应关系的运用.问题2判断点C与线段AB的位置关系和问题3由解析式中x≠0、y≠0得到图像与x轴和y轴不相交，都能使学生领悟到数形结合、数形转化思想的运用.在作反比例函数的图像时，上述三个认知难点是客观存在的.若回避难点，如列表时给出x的值；描点、连线时教师作出示范或虽由学生作图，但对出现的问题（连成折线、与x轴相交等）不加解释地给出评判，都不利于知识的深刻理解，不利于后继二次函数乃至高中函数知识的学习，同时，也失去了领悟数学思想的机会.在问题4中，其共同特征：图像不经过坐标原点，图像为两支曲线且与的方法.揭示出反比例函数的图像和性质中所蕴含的思想，即抓住了内容的核心本质.突出核心本质的教学与“只讲知识，机械记忆”相比，其教育价值有天壤之别.在这一“从浅入深”的过程中，能让图像“特征”和函数“特性”自然外溢，无需教师刻意说教，这就是我们通常所说的“默会”.

三、对“微探究”教学的反思

“微探究”转变了以教师为主角的教学方式，它将成为师生共同思考一个问题、研究一种策略、达成一种共同目标的快乐教学.数学思想与生俱有“默会”的属性，因此我们应该站在学生思维的最近发展区，依托问题展现数学的精髓，让学生在“微探究”中自觉地感悟内隐的深奥的数学思想.

为了让学生更好地从“微探究”中“默会”数学思想，笔者在上面提出了三种策略，为了让策略更好地发挥作用，还应注意以下三点.

一是教师要改变教学观念，数学课堂不仅仅是知识的传授，更重要的是让学生在学习过程中“默会”数学思想.日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益.”因此，教师要依据课程标准确定学生的学习目标，并能随着学情的变化进行调适，使探究的目标是开放和动态的，让学生主动地发现问题、解决问题，从而充分体悟数学思想.

二是教师教学中要找到学生能探究的问题，从而揭示数学思想本质.教师选题针对性要强，要能紧扣题材，关注联系点，着眼于问题解决.

三是教师在教学理念上要提升自身，数学思想不是停留在口头上，而是“流淌”在教学中的点点滴滴，让学生去默会.教师要导得亲切，导得自然，导得和谐，在实施探究的过程中，要给学生留足自主活动的时间和空间，给学生提供合作、交流的平台，给学生自我展示的机会.

概言之，通过小巧、灵活、用时少、便于操作、学生乐学的“微探究”，让学生真正参与其中，启迪他们的思维，使他们获得成功的体验，从而自然而然地“默会”数学思想.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.曹才翰，章建跃.数学教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，2002.Z