一轮复习课：起点和终点都是概念——以“相似三角形的判定与性质”复习为例

一轮复习课：起点和终点都是概念
——以“相似三角形的判定与性质”复习为例

☉江苏省如皋市丁堰镇初级中学陈志勇

不同阶段的中考复习，在教学任务上有着较大的差异.与二轮专题复习的综合性相对应，一轮复习应凸显基础性，一般以知识点的梳理为教学任务.因此，在一轮复习课上，我们应以概念回顾为主要教学目标，通过适量的解题训练帮助学生梳理初中阶段所学的知识，形成较为完整的知识网络.近期，笔者以“相似三角形的判定与性质”为题开设了一节“起点和终点都是概念”首轮复习课，取得了较好的教学效果.现将这节课和笔者的些许思考与您做个交流，希望能引发您的思考.

一、“相似三角形的判定与性质”复习过程及简析

活动1：以题理知

学生活动：自主解答下列各题，并在小组中交流用到的知识.

（1）如图1，△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，添加一个条件：_______（写一个即可），使△ADE∽△ACB.

（2）如图2，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=______.

图1

图4

图2

图3

（3）已知△ABC∽△DEF，且∠A=30°，则∠E+∠F= ________.

（4）如图3，△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=4，有下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1∶4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为1∶4.其中正确的有________（只填序号）.

（5）如图4，△ABC中，BC=12cm，高AD=8cm.正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上.则正方形PQMN的边长为______cm.

10分钟后，学生交流结束.

师：解答这5道题目，用到了哪些知识？

生1：“两角判定法”判定三角形相似.

师：哪些题目中用到这种方法？

（教师板书：相似三角形，判定，两角判定法.如图6，下同）

生2：第1题中，图1是两个相似三角形组成了“A字形”，∠A是△ADE和△ACB的公共角，只要再添加一对对应角相等，如∠ADE=∠ACB，就可以用“两角判定法”证明了.

（教师板书：A字形）

生3：第4、5两题也是“A字形”，都可以用“两角判定法”证相似.第2题中两个三角形组成了“8字形”（教师板书：8字形），也可以用“两角判定法”证明相似.

师：判断这些三角形相似，还有其他方法吗？

（教师板书：两边及夹角判定法）

生5：我们还可以用“三边判定法”来判定证明第4题中的两个三角形相似.

师：怎么证？

（教师板书：三边判定法）

生7：这样太复杂了！由中位线定理得DE∥BC，所以两个三角形相似.

师：这是什么方法？生8：平行判定法.

（教师板书：平行判定法）

师：还有什么地方用到这种方法？

生9：第5题中，PN∥BC，我们也可以用这种方法证明△APN∽△ABC.

师：非常好！那么在解答这5题时，还用到了哪些知识呢？

生10：相似三角形的性质（教师板书：性质）.比如，第2题用到了“相似三角形的对应边成比例”；第3题用到了“相似三角形的对应角相等”；第4题用到了“相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方”；第5题用到了“相似三角形对应线段的比等于相似比”.

（根据学生的叙述，教师将性质逐一板书）

师：第5题用到哪种对应线段呢？

师：接下来怎么做？

师：还用上方程了呢！方程是重要的数学模型.这里我们应用相似三角形的性质，将“对应线段的比”转化为方程.

（教师板书：方程）

简析：“以题理知”重在理知，题目是知识的载体，在教学中，教师让学生从题目出发交流用到的知识，整个交流侧重于知识点的扫描和归整.通过即时板书，这些知识点在黑板上及时“定格”，对接下来的应用与建网十分有利.

活动2：用知得法

学生活动：自主解答，并在小组中交流解题思路、用到的知识和注意点.

例如图5，正方形ABCD的边长为4，E是正方形的边DC上一动点，连接AE，作HE⊥AE，交BC于点H，连接AH.

（1）求证：△ADE∽△ECH；

（2）当点E是CD的中点时，试说明△AEH与△ADE相似；

（3）在点E运动到什么位置时，四边形AHCD的面积最大？最大值是多少？

图5

学生自主解答例题，8分钟后，教师组织学生进行全班交流.求出DE=CE=2，AE=2和∠AEH=∠D=90°，可得△AEH与△ADE相似.

师：第三问怎么解？

生2：设DE的长为x，则CE=4-x.根据第一问中的“△ADE∽△ECH”，可得.所以

师：这道例题怎么解？

生1：△ADE和△ECH组成的是“K字形”（教师板书：K字形），用“两角判定法”就可证明相似.对于第二问，先10.所以当DE=2时，四边形AHCD的面积为10.

师：非常棒！这么规范的解题过程，你是怎么想到的？

生3：我先想到了函数.

师：为什么？

生4：“四边形AHCD的面积最大”，直觉告诉我与二次函数有关.

师：非常棒！在化解与相似三角形有关的问题时，在得到两个相似三角形后，我们常利用其性质得到方程或函数，用代数的方法求出答案.

（教师板书：函数）

简析：知识梳理是复习课的重要任务，在教学过程中，核心知识应随着例题的解答与交流不断呈现，使之相互关联融合.活动2中，教师引导学生从相似三角形的性质出发，生成函数模型，将相似三角形与函数关联起来，让本节课的知识与已有知识“结网联通”，拓宽了学生思路分析时“联想”的宽度.

活动3：课堂小结

教师用追问引领学生进行课堂小结，在学生陈述的时候，教师将原来的板书用“虚线框图”和“箭头”链接起来，形成图6.

图6

简析：前两个活动中，学生和教师的努力达成了预期的教学成效.即时板书，夯实了课堂小结的基础.课堂小结，指向了知识的网络化建构，教师将图6中原本“孤立”的板书通过“框图”和“箭头”链接在一起，让知识、方法及数学思想实现了关联，这种网络化建构为学生解题时知识的提取与应用提供了便利.

二、三点感悟

1.全面梳理概念，精准链接成网

在中考首轮的任何一节复习课上，我们应密切关注学生学习的成效与中考成效之间的同比增值，在概念的梳理与网络建构中实现学生分析问题和解决问题能力的提升.复习课从“以题理知”出发，以简单数学问题让基本概念全部“现身”.在学生的自主解答中，在组内的交流辨析中，在全班的互动共享中，基本的概念随着教师的板书逐步呈现.为了凸显数学概念之间的内在联系，板书单一知识要注意“布局”，以便知识的网络化建构.在上面这节课中，教者通过活动1、2将“相似三角形的判定与性质”及其相关概念逐一板书在黑板上，并将与这一板块关联密切的“方程、函数”也呈现在学生眼前.活动3中，箭头和框图的应用，实现了知识网络的建构.这样的全面梳理和网络建构，不仅能够让学生感知到“相似三角形”知识的应用价值，还能让他们深刻体会到相似三角形的应用不只局限于几何.在与相似三角形相关的问题解答中，不仅要从几何角度进行思路分析，还应学会从图形中找寻化解问题的代数方法.这样的复习课，不仅梳理了板块知识，还实现了学段关联，有益于中考，服务于学生今后的数学学习.

2.立足已有网络，适度延伸拓展

在新授课学习阶段，学生建构出的相对独立的知识网络散布在学生的已有知识结构之中，与其他板块少有关联.为了让不同板块“链接”起来，我们有必要通过题组将课时知识适度延伸与拓展，形成不同板块知识的“衔接点”，从而让不同的知识有序“入网”.基于这样的教学需求，在一轮复习课上，我们应在梳理本节课的基础知识、基本技能和基本数学思想方法的基础之上，通过对预设题组“解题套路”的归纳形成知识结构框图.以本文中的案例为例，“相似三角形”在原有认知结构中没有太多的外延，仅局限在相似的判定和性质的简单应用之上，然而在中考中，这一段的知识应用却成为了解题的难点，导致很多失分.细细分析，很多非本板块的知识的融入是主要原因，如方程、函数等知识.在初中阶段，这些知识的应用本身就很难，与相似三角形整合作为新的考点时，命题者会有意设置解题“陷阱”，学生解题时自然会问题重重.所以首轮的“相似三角形”的复习在经历了学生的自主解答与交流之后，教者以性质为起点，将中考中“相似三角形”延伸应用最多的几个知识及时引入，并进行了即时板书.最后的小结归纳，以箭头和框图的形式将它们关联在一起，形成了更大范围的网络，提升了学生分析问题和解决问题思维的宽度和广度.

3.关注核心概念，强化应用体验

一轮复习是指向中考的复习，理应关注中考中的“高频”考点，让它们成为复习的重点.“高频”考点，一般是初中阶段的核心概念，不仅在现阶段能得到大范围的应用，在未来的学习生活中，这些概念也会有着更为广泛的应用.所以我们应密切关注现阶段的核心概念，在首轮复习课上围绕这些概念编排相应的例题、练习与教学活动，让他们在问题的活动与交流中，强化应用体验，感知这些知识的应用价值，并形成积极的应用意识，以提升这些概念在问题解决中的地位及作用.在“相似三角形”首轮复习课上，“相似三角形的性质和判定”是复习的核心，而在这一核心中，又以“两角判定法”和“相似三角形的对应边成比例”在问题解决中的作用最大.所以教者编排了多道题目用以回顾这两个核心概念.在整个的问题解决和知识回顾历程中，学生始终是教学的主体，他们反复经历了自主解答和交流点评的过程，这两个核心概念被反复应用，解题经验被不断强化.而小组和全班的适时交流，将学生的解题过程反复矫正，经验的正向强化顺应了学生的解题体验，有效推动了个性化解题经验的积累，为每个个体解题方法的积累和解题能力的提升作出了巨大贡献.

三、结束语

一轮复习，是基于概念梳理需求的教学活动.无论是教师的教，还是学生的学，都应以概念为重.以题理知，要回顾本课时应复习的所有概念，确保本板块中的基本概念无一遗漏；用知得法，充分挖掘典型例题的教学价值，在进一步梳理概念的同时将知识网络延伸与拓展，形成符合学生认知规律的解题套路；小结整理，直接指向全课知识的网络建构，通过将全课知识的链接，以便学生解题“联想”，提升他们的解题能力.总之，一轮复习应脚踏实地，从概念出发，不在教学例题的难度和深度上花太多的精力，所有教学活动应紧紧围绕概念梳理与“结网”进行，只有这样的设计与教学定位，才能真正成就有效的复习课堂.Z