理清基本经验，为新知探究夯实基础——以“数轴”为例

理清基本经验，为新知探究夯实基础
——以“数轴”为例

☉江苏省张家港市兆丰学校陈浩

学生的数学认知活动一般都应有着丰富的知识基础和经验铺垫，在教学实施前，我们应充分梳理学生的已有经验，为新知的探究与生成夯实基础.初中阶段，数轴是“数形结合”的起点，是学习平面直角坐标系、函数等知识的基础.对这一知识的教学，原始经验的梳理显得尤为重要.“数轴概念的教学，关键是要用好教科书中的具体实例、学生生活中的具体事例，引导学生进行观察、比较、分析和综合等思维活动”.因此，为了让学生很好地认知数轴，我们应在前面的学习中，帮助他们梳理出与数轴相关的基本活动经验，夯实认知的基础，为有效的课堂探究做好准备.

一、为“数轴”认知铺垫的经验

1.作“缺少单位长度和正方向的数轴”的经验

例1甲、乙两地间的铁路长300 km.一列客车和一列货车分别从甲乙两地同时出发，相向而行，货车的速度是客车的.相遇时客车和货车各行驶了多少千米？

解法分析：根据题意可作线段图，如图1.设客车行驶的路程为x km，则货车行驶的路程为x km.根据线段图可得方程x＋x＝300，解得x＝180，则x＝120.所以，客车行驶的路程为180 km，则货车行驶的路程为120 km.

图1

经验分析：在小学阶段，画线段图是学生经常用来

2.应用“没有作出负半轴的数轴”解决问题的经验

例2作一条长3 cm的线段.

解法分析：如图2，取带刻度的直尺从“0”刻度出发，向右作至刻度“3”处停下，即可.

图2

图3

例3图3中的正数和负数的含义是什么？

解法分析：以海平面为基层准（即图3中的“海拔0 m”），点A，4600 m，表示的是比海平面高4600 m；点B，-100 m，表示的是比海平面低100 m.

经验分析：在不同的学习阶段，画线段都是常见的，借助带刻度的直尺，学生是完全可以作出相应的符合要求的线段，所以，能顺利解决例2是很正常的.而例3是人教版七年级上学期学习数轴前的教材中的一道思考题，“海拔图”看似十分复杂，实则看懂图3右下方的图示即可理清其实际含义.在这两个案例中，刻度尺和海拔图示都是“没作出负半轴的数轴”，学生的认知都是从零开始，例2中画线从零刻度开始；例3中，读懂海拔图也是从零刻度（海平面记为0 m）开始.这些认知都在学生的数学活动中不断被强化，成为学生数学问题解答的潜在经验.例2是学生潜在的解题经验，对数轴的生成影响极大；例3是认知数轴前，教材有意编排的题目.基于这样的分析，我们应在数轴教学前，用好教材题目，设计探究活动，将识图和作图融入到数轴的引入教学中，以唤醒学生“应用‘没有作出负半轴的数轴’解决问题的经验”.

3.应用“竖着的数轴”解决问题的经验

例4北京冬季里某一天的气温为-3℃～3℃.“-3”的含义是什么？这一天北京的温差是多少？

解法分析：根据温度计，如图4.我们不难发现-3℃表示的是比0℃低3℃，3℃表示比0℃高3℃.

图4

图5

例5某蓄水池的标准水位记为0 m，如果正数表示水面高于标准水位的高度，那么0.08 m和-0.2 m各表示什么？

解法分析：根据生活中的经验，学生可以作出水位的变化图，如图5.蓄水池的标准水位记为0 m，则0.08 m表示比标准水位高0.08 m，而-0.2 m表示比标准水位低0.2 m.

经验分析：这两道题目都来之于人教版七年级上册认知数轴前的练习之中，无论是温度变化，还是水面落差，学生生活中都有着丰富的经验.这些经验都指向了数轴的认知，由于学生生活接触到的温度计都是竖着摆放的，且不仅有“正的温度”，还有“负的温度”；水面的变化是竖着的，标准水位的设置，让水面的变化有了正负之分.所以，我们在教学中应充分关注这些学生的经验基础，将温度计带入课堂，让学生观察“竖着的数轴”；让学生结合自身的生活经验，作出水面变化的过程，画出“竖着的数轴”.这样的过程经历，学生能明确感知到生活中积累的“用‘竖着的数轴’解决问题的经验”对数轴认知的贡献.

4.应用“横着的数轴”解决问题的经验

例6如果把一个物体向右移动1 m记作+1 m，那么这个物体又移动-1 m是什么意思？如何描述这时物体的位置？

解法分析：很明显原始位置可以记作为0 m，所以题中的-1 m应是在向右移动1 m后，又向左移动了1 m，也就是回到了“起点”，如图6.

例7如果把一个物体向后移动5 m记作-5 m，那么这个物体又移动+5 m是什么意思？这时物体离它两次移动前的位置多远？

解法分析：根据题意，如果该物体的右边记为前面，则后面为其左方，其出发位置为0 m.所以，在向后移动5 m后，再又移动+5 m，图略.从所作出的图形看，该物体最终回到了起点，所以“物体又移动+5 m”表示的是向前移动了5 m，物体回到了它两次移动前的位置.

图6

经验分析：无论是物体的左右移动，还是前后移动，在学生的经验中，都可以转化为平面中的“横向移动”.由于有了具体单位长度的引入，如1 m、5 m等，这样的移动变化是基于学生已有生活经验的简单应用，是一种隐形的横向数轴.这两题均来自人教版“1.1正数和负数”中，学生在解题中，很多人会作出实际运动变化的线段图，这实际上就是数轴的原形，我们在教学中应关注学生的作图，并有意识地引导他们唤醒潜在的数学经验，为数轴认知中将“事实数学”变为“数学事实”提前铺垫.

二、教学启示

1.强化探究过程经历，不断积累活动经验

数学的基本活动经验一般蕴藏在数学的探究活动之中，是隐形的.只有经历了完整的探究活动，并对活动中所用到的知识、技能和数学思想方法有了充分认识后，才能生成与之匹配的基本活动经验，为问题的解决和新知的探究打下基础.所以，在我们的教学活动中，应让学生经历完整的探究活动.让学生从自主猜想结论入手，在小组合作中探究结论，在互动交流中矫正探究方向，最后通过严格的推理论证得到正确的结论.整个探究过程中，学生的全程参与，强化了他们对探究过程的体验，不同的数学知识与技能在探究中得到了反复“推敲应用”，知识与技能的应用通道就在此过程中得到“固化”，成为学生认知经验中不可缺失的一部分.完整探究过程的经历，学生在获得知识的同时，渐进中积累下的宝贵的数学基本活动经验，为后续学习做好铺垫.以数轴认知为例，需要从学生的认知网络中提取的经验很多，不仅包括上面所列出的这些基本活动经验，还包括很多来自学生生活中的数学的基本活动经验，比如方向上的经验、单位长度的经验等，这些都是学生建构数轴表象的基础经验，它们合理分布在学生不同的学段中.这就告诉我们，经验的积累不只是初中阶段的数学教学任务，在小学中，我们同样应让学生经历完整的数学探究历程，积累与数轴概念建构有关的基本经验.

2.设置有效活动情境，指向认知经验唤醒

经验是潜在的数学知识处在学生认知网络的“角落”里.在新知探究和问题解决过程中，这些数学基本活动经验的唤醒并非易事.因为经验的隐性特征，我们就要实现有效提取设置学生易于接受的数学的活动情境，形成经验提取与应用的“温床”.比如，为了唤醒“作‘缺少单位长度和正方向的数轴’的经验”，我们可以在课前将例1提供给学生进行探究；为了能唤醒学生“应用‘横着的数轴’解决问题的经验”，在“1.1正数和负数”学习时，我们应让学生经历化解例5和例6的过程，不仅让他们感知正负数的意义，同时，通过自主作图（如图6）.这些数学经验的唤醒，应在数轴学习之前，通过不同数学问题的解答为数轴认知从经验上进行铺垫.在教学数轴时，我们为了唤醒所有对数轴学习有利的数学基本活动经验，还应设计相应的数学探究活动，让这些基本经验蕴含在这一数学活动之中.为此，我们可以将教材中的引入问题作为学生探究的一个引入活动，让学生自己将问题中的东西像马路上的“汽车站牌”、“柳树和杨树”、“槐树和电线杆”分别“画图表示”，形成图7.要知道，教材中“问题”的情境是学生所熟知的，在生活中有着丰富的感知，而教学期待的图7将本文中所陈述的几种为“数轴”认知铺垫的经验全部包含其中，一次性唤醒了很多与数轴学习有关的经验，这与教材提供的问题情境是有着重要的关系.

图7

3.梳理重复数学经验，适时合并适度共享

在学生的数学探究活动中，不同的数学活动经验充斥其中.不同的活动经验之间自然衔接，也就组成了探究活动这个整体.正是这些经验的有序叠加，推动了数学知识的有序生成.然而，在学生的认知活动中，不可避免地出现很多重复的数学活动经验.为了将这些经验有序融入到学生已有的认知网络中，我们应引导学生发现经验的叠合并梳理出重复的数学经验，在探究活动中适时合并，并在全班范围内通过交流对话适度共享，让个体的、重复的经验成为全员的经验.以数轴教学为例，在学生前面的学习中，不同阶段的画线段、画线段图教学都会让学生体会到数轴的相关经验，在教学过程中，我们理应将不同时段的这些经验进行认真梳理，在数轴学习前合并为“作部分数轴的经验”；在“1.1正数和负数”的学习中，学生先后接触到了温度变化、水面升降、物体移动等用于巩固“正数、负数的意义”的数学问题，这些情境中都蕴含着“应用‘不同向’的数轴解决问题的经验”，我们应引导学生从这些问题中抽取出重复的数学活动经验，为学生认知数轴提前铺垫.

三、写在最后

数学的基本活动经验，是学生化解数学问题，获取数学知识的重要工具.为了推动数学活动经验在问题解决中的作用，我们应关注常态课堂中的总结归纳，将不同阶段的共性经验梳理成“型”，使之成为每一个个体的基本活动经验；我们还应关注探究活动的设计，要紧贴学生认知，设置利于经验提取和应用的问题情境，以便激活已有经验为问题解决服务；当然，不同的学生积累活动经验的途径和方法也不同，在相同的时间内经验内化的程度也不尽相同，所以，必须让学生自主经历探究活动的全程，让经验的应用与积累成为个体的自觉行为.本文中，初步梳理了为“数轴”认知铺垫的几个简单经验，并谈了笔者的一些教学启示，仅为一些不成熟的做法与看法，不足之处，敬请各位同行专家批评指正.