找准生长点，思辨特殊与一般——李庾南老师“直角三角形全等”课例赏析

找准生长点，思辨特殊与一般
——李庾南老师“直角三角形全等”课例赏析

☉江苏省如东县曹埠镇初级中学 吴燕飞

我们知道，“HL”是直角三角形全等的一种特殊判定方法.教学中通常创设剪拼、重合的方法来验证得出全等依据，也有的通过尺规作图的方法获得两个直角三角形，再剪拼验证它们是否能重合.这样的教学情境固然能帮助学生学习直角三角形全等的判定方法（HL），然而笔者最近关注到全国著名特级教师李庾南老师一节“直角三角形全等”的课例，却是从一般三角形全等方法入手，引导学生探索直角三角形全等的条件，不但让学生探索出新的判定方法，同时在这个过程中，学生还很好地思辨了特殊与一般之间的关系.下面记录该课的教学流程，并进一步赏析专家型教师的实践智慧，提供研讨.

一、“直角三角形全等的条件”教学流程

1.开课阶段：回顾三角形全等的条件

师生共同回顾梳理判定三角形全等的方法：SSS、SAS（讨论SSA为什么不可以）、ASA、AAS（由ASA为依据证明）.

一边回顾，一边梳理成下面的知识结构图：

2.研究判定直角三角形全等的方法

一般三角形所具有的性质，直角三角形都具备，因此可以用判定一般三角形全等的方法来判定两个直角三角形全等.直角三角形中有一个角是直角，而直角都相等，因此判定两个直角三角形全等时，除直角外，只需找到另两个条件即可.

（1）除直角对应相等外，还需要哪两个元素对应相等？为什么？（小组内交流）

①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等（夹角为直角）—— SAS；

②斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等（有一个角是直角）——AAS；

③一条直角边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等（有一个角是直角）——ASA或AAS.

结论：一般三角形的判定方法适用于直角三角形全等的判定.

（2）探究：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（其中一边对的直角）——SSA.

用画图的方法探究：画Rt△ABC，使∠C=90°，AB= 3cm，BC=2cm.

画法：如图1，画∠MCN=90°；在射线NC上取CB=2cm；

以B为圆心、3cm长为半径画弧，交射线CM于点A；

连接AB.则△ABC为所画的Rt△ABC.

引导比较：若∠C≠90°，以B为圆心、2.5cm为半径画弧，交MA于点C1和C2，此时AB=AB，∠A=∠A，BC1=BC2，但△ABC1与△ABC2显然不全等，所以“SSA”不能判定一般三角形全等，当∠A是直角时，可判定两个三角形全等.

结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”.符号表示：如图2，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，则Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′（HL）.

图1

图2

图3

3.练习交流

题1：如图3，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2，求证：AB＝AD.

分析：根据全等三角形的性质需证△ABC≌△ADC.

证明：由AB⊥BC，AD⊥DC，得∠B＝∠D＝90°（垂直定义）.

在△ABC和△ADC中，则△ABC≌△ADC（AAS）.

则AB＝AD.

拓展研究：

（1）还可得到哪些结论？为什么？

（2）若将已知条件∠1＝∠2与AB＝AD互换，如何证明？

变式1：如图4，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.

证明：由AB⊥BC，AD⊥DC，得∠B＝∠D＝90°（垂直定义）.

图4

图5

则∠1＝∠2.

变式2：如图5，AB⊥BC，A′D′⊥D′C′，AB＝A′D′，且点A、A′、C、C′共线，则∠1＝∠2吗？

【预设解答】此时增加什么条件即可证得∠1＝∠2？（运用“HL”可增加AA′＝CC′或AC＝A′C′；运用“SAS”可增加BC＝C′D′；运用“AAS”可增加∠ACB＝∠A′C′D′）

4.课堂小结

（1）直角三角形全等的判定方法：

①运用一般三角形的判定方法：“SAS”“ASA”“AAS”；

②特殊方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

（2）研究方法.

通过画图、实验（叠合），也可通过按一定条件能确定一个三角形（即只能画出唯一的一个三角形）得出结论.

（3）注意点：对于一般三角形，没有“SSA”判定方法.

二、课例赏析

1.精选新知生长点，引导学生思辨特殊与一般的关系

我们知道不同教材上引入直角三角形全等条件的方式是不一样的，当前比较流行的是通过一个剪拼操作、验证归纳的方式得出，然而李老师却是从复习梳理一般三角形全等的条件出发，并从中找到一个知识的生长点，引导学生对比直角三角形与一般三角形全等的条件之间的相同点，这一方面强调了直角三角形只是一种特殊的三角形，前面所学的全等三角形的判定方法完全适用于直角三角形，另一方面，通过这种对比、验证和梳理的方法，也促进学生思辨了特殊与一般之间的关系，从一定意义上说，追求了直角三角形全等的教学深度.

2.注重“超经验”的情境创设，追求“逻辑连贯、前后一致”的几何教学

近年来，华东师大张奠宙教授倡导“超经验”的数学研究，即与能找到生活情境的数学知识相比，有些数学知识难找到恰当的生活现实来引入，这时基于数学知识逻辑连贯、前后一致的方式，像上文开课阶段基于一般三角形全等条件的复习回顾，也达到了对新数学知识的自然引入，笔者理解，这也就是一种积极的“超经验”的数学研究.

1.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

2.钟启泉.新旧教学的分水岭［J］.基础教育课程（上），2014（2）.

3.章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013（6）.

4.李庾南，陈育彬.中学数学新课程教学设计30例——学力是这样发展的［M］.北京：人民教育出版社，2007.

5.刘东升.悠然神会，妙处与君说——李庾南老师“平方根”课例赏析［J］.中国数学教育，2014（5）.Z