数学建模思想在高等数学教学中的渗透

余后强　李玲

摘要：数学建模是将数学方法运用到实际问题的一种实践活动，是将数学知识与现实世界联系的桥梁。该文结合近几年讲授数学建模课程的心得体会，阐述了在平时的高等数学授课中渗透进数学建模思想的重要性和可行性，并通过具体案例，探讨了数学建模与高等数学教学的有机结合。

关键词：数学建模；高等数学；渗透；案例；实践

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）04-0124-02

Abstract： Mathematical modeling is a mathematical methods applied to the practical problems， which is the bridge between mathematics theory and real world. This paper discusses how to permeate mathematical modeling thought to teaching and studying in higher mathematics based on taught feelings and experiences in mathematical modeling course in recent years， and through specific case， discussed the combination of mathematical modeling and higher mathematics teaching.

Key words： Mathematical modeling； higher mathematics； permeability； case； practice

高等数学是大学理工、经管等专业必不可少的一门基础课程，对于学生后续课程的学习非常重要。从实际讲授这门课程的情况来看，情况却不容乐观。刚开始学习时，由于与高中内容有重复的部分，课程较简单，学生学习起来动力很足，但经过一段时间的学习，随着课程概念的抽象、公式的复杂，学生慢慢失去了兴趣，学习成绩越来越不理想。要想改变这种状况，就必须培养学生的学习兴趣，从教学思想和教学方法上进行改革，不能简单的就将公式定理教给他们，更要教会他们如何运用数学武器的知识去处理实际问题。而数学建模就是将数学知识与现实世界结合的有力工具。数学建模是在20世纪60、70年代进入一些西方国家大学的，中国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂。经过30多年的发展，绝大多数高等院校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径。该文结合笔者多次讲授数学建模和高等数学课程的一点心得，通过实例，探讨如何将数学建模思想渗透到高等数学的教学中。

1 将数学建模思想与高等数学教学相结合的意义

数学教学不能仅仅停留在知识的简单传授上，还应强调学生运用数学知识解决实际问题的能力。为此，中国科学院院士李大潜牵头组织了教育部教改立项“将数学建模的思想和方法融入大学数学主干课程教学中的研究与实验”，取得了一定的成果和经验。

什么是数学建模呢？当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，这就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模都是针对具体实际问题的，因此有利于激发学生的学习热情，培养学生的学习兴趣。通过在数学教学中引入数学建模，实践证明，对于培养学生的观察力、想象力、逻辑思维能力和分析解决问题的能力起到了很大的促进作用。

2 在高等数学概念的引入与讲解中融入数学建模案例

刚开始讲授高等数学时，学生对概念的理解相对比较困难，比如“极限”的定义。由于整个高等数学几乎都是以极限作为方法研究函数的，如果不能很好的理解极限，对于整个微积分的学习都不能真正的理解。为此，引入了建模中的割圆术案例。首先介绍了中国古代数学家刘徽提出割圆术的历史过程，然后介绍了该方法的实现步骤，接着指出了它的本质就是“用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率”，最后总结了该方法就是采用极限的思想。通过这样的案例，学生的兴趣被提起来了，真正理解极限的本质也容易多了。

在讲导数时，学生普遍都很容易掌握导数的计算，但对于导数的本质定义就太好理解。为了说明这个概念，针对不同的专业举不同的例子。比如，对于物理电气专业的，就以变速直线运动的瞬时速度、电流强度、线密度等说明导数的意义，对于经济专业的学生，就以边际成本、边际收入说明导数的意义。通过这样的事例，学生理解了导数的本质其实就是函数的变化率。

在讲定积分时，学生对于定积分的计算都很有兴趣，但对于定积分的本质含义以及复杂的极限式子，能记住的就不多。为了帮助学生理解这个概念，我将定积分归纳为求不均匀量的总和问题，并针对不同专业学生举了不同实例，然后将这些实例浓缩、归纳，得出求这类问题的方法都是“分割、近似、求和、取极限”四个步骤，之后再将每一步得到的式子加在一起，就自然得到了定积分的极限式。通过这样的学习，学生以后再碰到求不均匀量的总量问题时，就能够根据这个思想，自己写出极限式子，再用积分表示出来。

在讲定积分的应用时，书上出现了很多漂亮的曲线图，如三叶玫瑰线、心脏线、阿基米德螺线等，学生很好奇这些线是如何画出来的，用传统的直角坐标系和描点法是否可以实现。对此介绍了数学软件MATLAB，在课堂上演示了图形的绘制并引导他们下去后亲自动手操作，及早掌握MATLAB的基本功能和绘图方法。通过这样的结合，不但能够加强学生对数学理论本身的理解，也为他们以后可能参加的建模实践起到先导作用。

在学习常微分方程时，由于书本上的案例比较多，每个都讲解的话耗时耗力，而且不是该专业的学生难以理解。为此，针对不同的专业分别列举了不同的建模案例。如果是物理电气专业的学生，就举了动力学模型和物质衰变模型。如果是经济专业学生，就举了马尔萨斯模型和新产品推广模型。如果是资源管理专业学生，就举了逻辑斯蒂增长模型。通过这样有针对性的讲解，上课时间大大节约，学生学习也饶有兴趣。

通过上面将建模案例与抽象概念相结合，原本枯燥的概念讲解变得生动活泼，学生的好奇心和新鲜感得到激发，学习兴趣大大提高。

3 将数学建模思想融入高等数学重要的定理和公式中

由于高等数学内容多，课时有限，很多重要定理和公式的证明都被省略。大多数学生难以理解，如果硬记结论的话，效果不好，印象不深刻。其实，数学定理和概念一样，都是有实际背景和意义，经过抽象后得到的一个比较概括的结论。结合数学建模思想，把定理和公式的条件看作模型的假设，然后根据预先设置的问题情形，引导学生一步一步发现结论，不但能使学生学到知识，而且能够体验到探索、发现、创造的过程，培养学生的创新能力和意识。

在学习定积分时，微积分基本定理：若[f（x）]在[[a，b]]连续，则积分上限函数[I（x）=∫xaf（t）dt，t∈ [a，b]]可导，且[I/（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x）]。这个定理很重要，它是联系微分学和积分学的桥梁，也为后面证明牛顿-莱布尼茨公式做准备。很多学生对这个定理的证明难以理解，碰到要使用时也容易出错。为此，在讲授该定理之前，先举了物体做变速直线运动为例分析微分和积分的内在联系：设有一物体做变速直线运动，从时刻[a]开始到时刻[t]，物体经过路程为[s（t）]，在时刻[t]的速度为[v（t）]，下面讨论两个函数关系。一方面，由导数定义可知，[d（s（t））dt=v（t）]（1） 。另一方面，由定积分概念可知，∫[ta][v（x）dx=s（t）]（2） ，把（1） 代入（2） 得到[s（t）=∫tas/（x）dx]，因此对路程函数求导再积分仍然等于路程函数。把（2） 代入（1） 得到[ddt∫tav（x）dx=v（t）]，因此对速度函数积分再求导还是等于速度函数。从上面两方面分析可知，微分与积分是一对互逆运算。该结论对一般的函数仍成立，即为微积分基本定理。

4 合理安排课后练习，鼓励学生参加数学建模实践活动

学生在课堂上学习时间是有限的，数学建模包含的知识又很丰富，如果能充分调动学生的学习积极性，利用课后时间完成一些比较有趣的建模题目，这样既能加强课堂上学习的书本知识，也帮助学生将数学方法运用到实践中。为此可鼓励学生积极参加建模比赛，除了每年都有的全国大学生数学建模竞赛，还有一些区域性的比赛，学生都可参加。通过比赛，一方面可以激发学生的学习潜能，另一方面也可以培养学生的团队意识和沟通能力，在比赛中学生的动手能力和编程能力也得到显著提高。很多学生反映：一次比赛，终身受益。

总之，在高等数学教学中融入数学建模思想，积极培养学生的应用能力和创新能力，这是一个长期探索和积累的过程。教师在教学中务必要把握好方向，针对不同的数学概念、公式、定理和不同专业的学生，制定不同的教学方法，既要激发学生的学习兴趣，又不能加重学生的学习负担，这样才能相得益彰，互相促进。

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