关于次矩阵次正交性几点探究

陈海疆

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）01-0115-01

1.引言

定义3 若AST=A（-A），则称A为（反）次对称矩阵

若AAST=ASTA=I，即A-1=AST称A为n阶次正交矩阵。

2.次正交性

引理1[7] A，B为次正交阵矩阵

（1）若|AB|=-1则|A+B|=0

（2）若|A|+|B|=0则|A+B|=0

（3）|A|=|AST|

定理1 A，B为次正交阵，

（1）若（-1）n|A|=-1则|I-A|=0

（2）若|A|=-1则|I+A|=0

（3）若（-1）n|AB|=-1则|A-B|=0

（4）若n为奇数，则|（A+B）（A-B）|=0

证明：（1）由引理1（3）可有：

|I-A|=|（I-AST）|=|I-AST|=|AST||A-I|=（-1）n|A||I-A|=-|I-A|？圯|I-A|=0

（2）|I+A|=|I+AST|=|AST||A+I|=|A||A+I|=-|I+A|？圯|I+A|=0

（3）|A-B|=|AB-1B-AA-1B|=|A||B-1-A-1||B|=|AB||BST-AST|=|AB||B-A|=（-1）n|AB||A-B|=-|A-B|？圯|A-B|=0

（4）|（A+B）（A-B）|=|A+B||A-B|=|AB-1B+AA-1B||AB-1B-AA-1B|=|AB||A+B|（-1）n|AB||A-B|=（-1）n|A|2|B|2|A+B||A-B|=-|A+B||A-B|=-|（A+B）（A-B）|？圯|（A+B）（A-B）|=0

引理 4 对于任意一个n级实矩阵A，都存在一個n级正交矩阵P，使得PTAP=P-1AP=diag（λ1，λ2，…λn）成对角形，其中λ1，λ2，…λn为A的特征值。

定理3 A，B为n×n的次对称矩阵，AB也为次对称矩阵当且仅当A，B可交换。

证明：必要性：已知AB为次对称矩阵即（AB）ST=AB

又A，B为次对称矩阵即AST=A，BST=B，所以

AB=（AB）ST=BSTAST=BA即A，B可交换

充分性：已知AB=BA且A，B为次对称矩阵

则（AB）ST=BSTAST=BA=AB

以AB也为次对称矩阵

定理4 设A是反次对称矩阵则对于任一个n维向量X有XSTAX=0

证明：设对于任一个n维向量X有XSTAX=Y （？鄢）

Y是一个一维变量

对（？鄢）式两边对次转置得（XSTAX）ST=XSTASTX=YST=Y

由于A是反次对称矩阵则AST=-A则有XSTASTX=- XSTAX=-Y=Y所以Y=0

定理得证

参考文献：

[1]王文惠.关于次正交矩阵[J].渝州大学学报（自然科学版）， 1998.（6）

[2]袁晖坪.次正交矩阵与次对称矩阵[J].西南师范大学学报（自然科学版）， 1984.（4）

[3]袁晖坪，张勇，黄永忠.次正交矩阵与次合同矩阵[J].渝州大学学报（自然科学版），1983

[4]杨子胥，高等代数习题解[M]. 山东科学技术出版社（修订版）， 2001.（9）

[5]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M] .高等教育出版社， 1978，234-238

[6]张贤科，许甫华.高等代数学[M].清华大学出版社，235-248

[7]陈琳亚.次正交矩阵及性质[J].南通师范学院，周口师范学院学报， 2004（9）

[8]林亚南.高等代数复习材料[J].厦门大学，厦门大学出版社，58-90