六自由度并联机构位姿调整灵敏度分析

谭爽 王小勇 林喆 鄢南兴

（北京空间机电研究所，北京 100094）

0 引言

在空间光学遥感器中，精密调整主、次镜间的相对位姿，可有效校正因重力、温度、振动以及材料性质变化等导致的像差变化，从而改善系统成像性能[1-2]。Stewart六自由度并联机构，具有高精度、高刚度、高稳定性、误差小、摩擦小、动态性能好等优点，是空间光学遥感器次镜精密调整的主要工具[3-4]。但是六自由度并联机构存在运动学关系复杂和同步杆间耦合性强等特点，增加了机构构型设计与控制精度分析的难度。杆长控制精度的设计，可以基于六自由度并联机构的灵敏度，而灵敏度的基础是对位姿误差进行分析。因此，建立一种合适的误差模型，分析灵敏度并反演杆长驱动控制精度成为六自由度并联机构位姿调整系统设计面临的首要问题。

针对并联机构的误差建模方法可分为矩阵法和矢量法两类[5-6]。矩阵法由K.J.Waldron在1978年首次提出[7]。其原理是在DH坐标系中（DH坐标系规定在机械手的各个主要构件上固定有坐标系，Z轴可与运动副的轴线重合，而X轴则沿着相邻两个Z轴的公垂线，至于Y轴可由右手法则来确定）以齐次变换矩阵作为相邻构件间的坐标转换矩阵，通过矩阵间乘积和微分等运算，利用相邻构件间的误差传递关系来建立机构位姿误差函数[8-9]。Wang 和Masory在将每个支杆视为一个包含各种误差的串联支链的基础上，利用微分法进行研究[10]。单鹏和谢里阳等人利用DH矩阵微分法建立了 Stewart 并联机构位姿误差线性化计算模型[11]。矩阵法建模的优点是过程简单易懂，缺点是存在大量微分运算，且转换矩阵包含很多元素，给计算带来很大的不便。矢量法是在绝对坐标系下，通过矢量的各种运算来传递误差，用不同的数学方法，来化简最终的误差表达式。K.Sugimoto和T.Okada在矢量分析的基础上，运用螺旋变换建立了由结构参数误差引起的并联机构位姿误差模型[12]。其优点是推导过程清晰易懂，但是表达式中存在大量偏导数，导致公式繁琐。A.J.Patel和K.F.Ehmann对Stewart平台建立了单个支链的封闭矢量链，对其运动学表达式进行微分，从而建立机构的误差分析模型[13]。该方法可以考虑所有的运动学误差源，但是计算过程复杂，计算量较大。摄动法（矢量法的一种）直接对机构的各个误差源用微小位移矢量按相对原理进行合成，从而得出并联机构的位姿误差方程[14]。该方法的优点是推导过程简单，物理意义清晰，缺点是对于复杂的机构参数多，计算量大，并且不能进一步对速度误差和加速度误差进行分析[15]。

本文以杆–台夹角的余弦值为参量，构建了误差传递模型，给出了位姿调整误差与杆长驱动误差间的传递关系分析方法。该方法推导简单，计算量相对较小，且无需微分运算，适用于工程实现。

1 基于余弦角的误差传递模型

Stewart平台是典型的六自由度并联机构，该机构上下平台由6个可伸缩的连杆以并行方式通过铰链（球铰链或虎克铰链）连接，如图1所示。上平台为动平台，建立固连于上平台的相对坐标系 O′-xyz。下平台为固定平台，建立绝对坐标系O-XYZ（单位向基为e1、e2、e3）。上下平台各个铰链点分别记作bi和Bi（i=1,2,3,··,6），上下平台铰链点对应的外接圆半径分别为r和R。6个驱动器支杆矢量记为li，杆长记为li，杆长增量记为Δl（ii=1,2,3,··,6）。定义上平台在绝对坐标系中的位姿参数，其中θ、φ、ψ为上平台绕OX、OY、OZ轴旋转的欧拉角。为方便研究，每次固定另外5个方向上的运动，仅研究1个自由度的运动。上、下平台均是中心对称图形，不妨取支杆l1进行分析。

图1 Stewart平台Fig.1 A Stewart platform

假设上平台在绝对坐标系中沿OX方向移动一个小的增量Δx，则有，在取点并满足，如图2所示。杆l1改变的角度记为β，为极小量，则可近似认为垂直于l1。延长B1b1至c1，满足，则。因此，垂直于l1，三角形为直角三角形。定义 αiΦ为支杆li与上平台运动增量的方向ΔΦ（ [Δx,Δy,Δz,Δθ ,Δφ ,Δ ψ ]T）的夹角。根据图2直角三角形，可以得到

图2 并联机构沿X方向运动图Fig.2 Movement of the parallel mechanism in the X direction

从而可得

假设上平台绕O′x轴旋转小角度Δθ（此时，动平台已绕O′x轴旋转θ），相对坐标系O′-xyz运动到O′ - x′y′z′,如图3所示。则Δθ对应的圆弧和向量也为小的增量，即⋅i（ r为b到O′xb1x1轴的距离，i为Δθ的方向向量，与O′z平行）。根据投影关系， i =- sinθ ⋅e2+ cosθ ⋅e3。

在图3（b）中，可以用图2（b）推导计算的方法得

同理可得

图3 并联机构绕x轴旋转运动图Fig.3 Rotation of the platform around the x axis

根据式（2）和（4）可得Δli（i=1,2,··,6）与Δx、Δy、Δz、Δθ、Δφ、Δψ的关系，整理成矩阵可得

式中 ΔL =[Δ l1Δ l2Δ l3Δ l4Δ l4Δl6]T为杆长误差向量；Δ Φ=[Δ xΔyΔzΔθ Δφ Δψ]T为姿态误差向量；F–1为模型系数矩阵，与并联机构的构型和位置有关，具体表示为

根据式（5）可得六自由度并联机构的误差模型为

式中 F为Stewart六自由度并联机构的误差传递矩阵。

2 杆长–位姿灵敏度分析

从式（6）可知，对F进行奇异值分解，分析误差传递特性，可以得到机构输入误差和输出误差的传递特性，即机构误差传递灵敏度评价指标。

对误差传递矩阵F进行奇异值分解，得

将式（9）带入式（7）有：

式中 EAF是机构误差传递的灵敏度。

当输入杆长误差一定时，EAF的值越大，输出机构位姿误差也就越大，灵敏度越低；反过来，当输出位姿误差一定时，EAF的值越大，输入杆长误差也就越小。

因此，矩阵F奇异值的最大值1σ对应的ΔL的模 为最小，在不同位姿时取最大EAF值对应的ΔL为控制精度。

基于式（5）、（6）和（11）给出的方法，对于六自由度并联机构，当位姿精度要求为ΔΦ时，可获得杆长控制精度ΔL应小于反之，在已知杆长驱动误差时ΔL，可估算位姿误差ΔΦ的最大值应为 ΔL⋅E AF 。

3 仿真实例

某六自由度并联机构次镜位姿调整平台的机构特性如表1所示。

表1 某六自由度并联机构的机构特性Tab.1 The characteristics of a 6 DOF parallel mechanism

根据式（11）计算机构在特定位姿处时的灵敏度EAF，当杆长误差在一定范围内时，通过相应的EAF，求出上平台运动误差范围。运用运动学正解求出上平台误差，使用蒙特卡洛法对比两种方法的结果。

以零位姿为例，任取总杆长误差为一个定值，本仿真总杆长误差取。根据式（5）和（6），计算得出六自由度并联机构在零位姿时的误差传递矩阵

并联机构在x、y方向上平移时误差传递矩阵为

根据式（11）计算上平台沿x、y方向平移时的灵敏度 EAF =（σF（1:2,:））max=1.974 2，则上平台在x、y方向上位置误差为 ex,y=ΔL⋅E AF = 4.8μm 。并联机构绕x、y轴旋转时误差传递矩阵为

根据式（11）计算上平台绕x、y轴旋转的灵敏度，即 EAF =（σF（4:5,:））max=0.005 1，则上平台绕x、y旋转的姿态误差为 eθ,φ=ΔL⋅E AF = 0.012mrad = 12μrad。

蒙特卡洛法模拟的样本数为10 000，原始误差为各杆长误差Δli，在均匀分布且六只杆长总误差满足。位姿误差抽样值是根据杆长原始误差，通过运动学正解迭代法求出零位姿时相应的位姿误差。

图4（a）标识了位置误差抽样点的分布和以灵敏度EAF求出的ex,y为半径的位置误差包络圆。图4（b）标识了姿态误差抽样点的分布和以灵敏度EAF求出的e,θφ为半径的姿态误差包络圆。

图4 位姿误差分布图Fig.4 The distribution of pose errors

从仿真结果可以看出，仿真得到的误差抽样值恰好均分布在根据公式（11）求出的位姿最大值给出的包络圆内，即当输入误差在某个区域内随机变动时，其对应的输出误差始终在用灵敏度指标EAF求出的范围内。这说明利用灵敏度指标EAF求出的精度范围是准确而有效的，从而验证了本文所提方法的正确性。

4 结束语

本文用三角函数法对杆长误差与位姿误差之间的关系进行分析研究，推导出含有余弦值的灵敏度传递矩阵，建立误差模型。通过对模型进行分析，定义出机构的灵敏度。最后对机构的灵敏度进行仿真，用蒙特卡洛法验证了该方法的可行性。

本文提出的杆–台夹角误差建模方法，不存在微分计算，计算量小,方便进行大规模运算。根据文中提出的方法，可以快速求出机构在整个工作空间范围内的灵敏度 EAF。根据 EAF的大小，推断并联机构最灵敏的位姿。在已知位姿精度时，可以用最灵敏位姿处的EAF求出杆长误差，为杆长驱动精度提供参数依据；在已知支杆驱动精度时，可以用EAF求出位姿精度，可以为机构构型精度提供参数依据。该方法在保证准确性的前提下可以缩短计算时间，简单快速地求出精度关系，为六自由度并联机构构型设计及其杆长控制精度要求分析提供理论依据。

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