数学本质缺失现象的透视及其对策

彭永新

新课标开篇即说：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”这句话点出了数学的本质。所谓数学的本质，即具体数学内容的本真意义。章建跃、张翼等人提出，数学本质不仅体现在数学知识上，体现在数学思想、数学文化、数学精神里，还体现在抽象、严密、简洁等特点上。北京教育学院刘加霞教授则将数学本质的内涵归结为以下五个层面：一是对基本数学概念的理解；二是对数学思想方法的把握；三是对数学特有思维方式的感悟；四是对数学美的鉴赏；五是对数学精神（理性精神与探究精神）的追求。这些论述对我们的教学实践具有一定的指导意义。下面笔者谈谈对此的体会。

一、由表及里，用整体的观点分析数学知识背后的本质属性

新课标指出：教材仅仅是个例子，教师要用好教材，超出教材。如何才能用好教材又超出教材呢？首先，需要我们具有整体把握教材的意识，因为知识本身就是一个整体。当代教学论从三个层面对教材进行了广义的界定：第一，教材是儿童应当掌握的知识体系，包括事实、概念、法则、原理等；第二，教材是知识背后的能力体系，通过各种作业和活动促进儿童能力的发展；第三，教材还包括了能力体系背后的价值观、世界观和伦理道德规范。这三个层面是统一而不可分割的。从这个意义上说，我们在教学中必须研读教材，深入理解数学知识的前后联系，把握住教学动态发展的主脉络，并把教材与课时内容、单元内容，甚至全套教材内容联系起来，居高临下地看本质，这样才能摆脱只依据例题、习题，照搬教参用书所带来的局限和狭隘。

比如，对分数意义的把握，一般地认为分数的意义就是课本上的一段话：“把单位‘1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。”对此，有人提出这只是分数的一种定义，即份数定义。张奠宙教授认为，分数的定义是：分数是两个正整数a，b，a除以b的商。所以分数是一个商，这个概念我们现在注意得不够，而这恰恰是我们学习分数的核心所在。为了实现学生对分数的意义有本质的认识，他们为此整体设计了五年级的6节新授课，并进行了有效的实践探索。

这个例子说明，一些重要的数学内容、方法、思想，或者说“核心知识”（数学本质），学生需要经历一个整体的建构过程，才能逐步感悟、理解和掌握。因此，我们需要依据前后知识之间存在的内在逻辑关系和不同阶段学生的认知发展水平，着眼一个长期的教学过程，有目的、有计划地进行系统的设计，将每节课的教学内容置于整个知识体系之中，引导学生在知识生长过程中逐步达成学习目标，发展学习能力，提升数学素养。

二、由此及彼，用联系的观点丰富数学概念的意义世界

新课标强调数学与现实生活的联系，使学生“感受数学与外部世界的联系”，“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识间的关联”，使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用。

比如“认识比”的教学，一般老师往往采用接受式学习模式。出示教材（苏教版数学六年级上册）“两杯果汁和三杯牛奶”这个情境图，提出“怎样表示两个数量之间的关系”这一开放性问题，在学生提出“相差关系”和“倍数关系”这两种已有认知联系中遴选出：果汁相当于牛奶的，也可以说果汁与牛奶的比是2比3……这样的教学，学生因为素材缺乏新鲜感往往显得比较沉闷，对比的认识只是知其然而不知其所以然：为什么比跟相差关系没有关系呢？因此，笔者在执教时，大胆改编教材例题，呈现三张长和宽的比不同的学校图片。在学生分析最美图片的长和宽之间的关系后，呈现两张放大后的图片：其中一张为按倍数关系放大的图片，另一张为按“相差关系”放大的图片。然后组织学生观察比较：“如果用长比宽多1厘米来表示最美照片长和宽的关系，行不行呢？”为什么倍数关系不变形，而相差关系会变形呢？引导学生观察图形的属性：原来相差关系会改变图形的比例关系，这样让学生经过对上述图形和原图形的观察比较过程，让学生深刻感悟到“相差关系”不适合，把比的数学本质凸显出来，从而体会到引入比的必要性。

数学知识之间总存在着千丝万缕的联系，这种联系包含着概念与概念、概念与方法、方法与方法、数学的这领域和那领域、数学与其他学科、数学与生活等之间的众多相互联系。新课标指出：“帮助学生理解类似的实质性联系，是数学教学的重要任务。”这就要求我们在教学中要善于从联系的观点看待数学，帮助学生沟通知识之间的实质性联系，不断丰富他们对数学本质意义的理解。

三、由近及远，用发展的观点探寻数学本质的源与流

我们知道，数学知识的产生与发展，总是有其源和流的区分，在其内化抽象的过程中，必然会出现一系列的“是什么”“为什么”“怎么做”的疑难困惑。这需要我们对具体内容进行深入挖掘，一层一层地追问隐藏在客观事物背后的是什么规律？统摄具体数学知识与技能的数学思想方法是什么？用辨析的眼光来了解和分析数学本质的源和流，构建活的数学知识结构，对学生而言具有特殊的作用和意义。

比如，教学“转化”策略时，让学生解决这样一道计算问题：+++的和是多少？一般都借助画正方形图数形结合地使学生理解这几个分数的和正好等于1-=。但如果把这个加法过程一直继续下去，永远地进行下去，结果会是多少呢？课堂上，我向学生提出这样一个问题，很多学生愣住了。有人猜测是不是1？有人却表示怀疑：不可能，因为不管你把多少片填进正方形里，总有一小块是空的，总是填不满的。问题呈现出来了，学生被这个有趣的问题迷住了……

显然，这个问题的解决需要用到极限思想，这已经突破了转化的局限。但我设计这个问题的目的是，让学生们体会到“我会发现、我能创造”，让他们认识到数学有两个面孔：归纳和演绎。波利亚说，数学有两个侧面：一方面是欧几里得式的严谨科学，从这方面讲，数学像是一门系统的演绎科学；另一方面，创造过程中的数学看起来像是一门试验性的归纳科学。

学生争论得很激烈，谁也说服不了谁。这时我适时地参与进来：“要解决这个问题，看来用常规的方法很难解释。不过，我们在前面学习圆的面积时，曾经也遇到过类似的问题，还记得当时把圆分割成8等份和16等份后，大家就不愿意继续分下去了，是什么原因？”学生恍然大悟：圆如果等分越来越多的份数后，就能拼成一个近似的长方形。这里如果也一直这样永远地加下去，它们的和一定会接近1。因为填进去足够多的片，就可以越来越接近我们所希望填成的“1”这个正方形。这不就是数学的极限思维吗？极限思想正是解决这一计算问题的本源所在。

这里，虽然学生没有什么严谨的证明（暂时也不需要），但他们却经历了一种体验性和探索性的过程，积累了丰富的数学活动经验，更重要的是，他们在解决问题的方法上经历了数学思想的洗礼，不仅有转化思想，还有迁移思想、极限思想……他们不再觉得数学是机械枯燥的，而是神奇有趣的！北师大教授曹才翰也说，在基础教育阶段，通过数学基础知识的学习，数学思维方法的训练，可以使学生养成数学地思维的习惯，形成数学地观察世界、处理和解决问题的能力。因此，数学教学应该是思维的教学，应该逐步引导学生养成理性思维的习惯，培养数学的理性精神。

综上所述，对数学本质的认识，其实就是教师所持的数学观问题。笔者认为，一线教师要实现对数学知识本质的准确认识和把握，应该树立整体的、联系的、发展的观点，深入分析教材细节，努力丰富数学意义，不断探寻数学知识背后的本质属性、数学规律和数学思想方法，实现知识与技能、数学思考和解决问题的能力以及情感态度与价值观的和谐发展。