卫星对地面目标时间窗口快速预报算法*

宋志明,戴光明,王茂才,彭雷

(中国地质大学 计算机学院，湖北 武汉　430074)



卫星对地面目标时间窗口快速预报算法*

宋志明,戴光明,王茂才,彭雷

(中国地质大学 计算机学院，湖北 武汉430074)

摘要：卫星对地面目标的时间窗口计算是航天领域的一个重要问题。对圆轨道卫星对地面静止目标的时间窗口问题进行了研究，并针对该问题提出一种快速求解方法。该算法首先分析未考虑地球自转时的卫星对地面目标的时间窗口，然后根据地球自转特征对计算结果进行迭代修正，从而得到该周期内卫星精确的时间窗口。通过数值计算结果表明，卫星时间窗口绝对误差在0.1 ms量级，相比1 s步长的跟踪传播法，计算时间减少99.1%。

关键词：时间窗口;快速算法;迭代修正;地面目标

0引言

卫星对地面目标的时间窗口是指卫星经过地面目标的上空，可以与目标进行通讯与数据传输，或是卫星可对地面目标进行观测的时间范围。卫星与地面目标的任何直接信息交换都必须在卫星对该地面目标的时间窗口中，因此时间窗口计算具有重要的意义，在遥感、通讯、卫星调度及导航定位等领域中都有重要应用[1-3]。

卫星对地面目标时间窗口计算的经典方法是跟踪传播法[4]，该方法过程简单，能针对多种要求下时间窗口进行计算，计算结果可以任意精确，但缺点是算法效率很低，因此跟踪传播法一般用来作为对比的算法。

文献[5]提出一种利用同轨道周期的大圆来对一个周期内卫星星下点轨迹进行近似的方法，通过迭代计算时间窗口，但算法精确度较低。文献[6]采用轨道过滤的思想将无时间窗口的卫星周期过滤以提高计算效率。文献[7]根据卫星对地覆盖几何特征得到卫星对地视函数的方法，然后采用迭代求解视函数方程。文献[8]提出一种基于卫星星下点轨迹的几何特征的解析方法，得到观测仰角对时间的函数，但该方法计算效率较低。文献[9]提出一种基于数值计算的庞加莱映射法来求解时间窗口，能够精确地求得时间窗口范围，但计算过程需要用到数值积分，求解过程复杂。

本文针对圆轨道卫星提出快速准确的计算时间窗口的方法，首先在不考虑地球自转下得到一个时间窗口，然后根据地球自转的特性对时间窗口范围进行迭代修正。数值试验表明，该算法计算速度较快，对低轨卫星而言计算结果可精确至0.1 ms量级。相比1 s步长的跟踪传播法，计算速度提高120倍。

1时间窗口的计算

1.1时间窗口计算基础

1.1.1卫星与地面目标相对几何关系

设卫星到地面的距离为Re+h，其中Re表示地球半径，h为卫星到地面的高度。如图1所示，在某时刻卫星在点S，与地心O的连线交地面于Q，即卫星的星下点为Q，假设此时地面目标位于P点，则P点对卫星的观测仰角为θ，P点到卫星星下点Q点的角距离为α，有

(1)

当P点的观测仰角为最小观测仰角时，即θ=θmin，此时P点到Q点的角距离达到最大。

(2)

由此可知，卫星对地面点P可视的条件是α≤αmax。

图1　卫星与地面目标几何关系示意图Fig.1　Geometry relationship between satellite　　　 and ground target

1.1.2时间窗口存在的必要条件

对于轨道倾角为i的卫星，卫星的星下点纬度φS可达的纬度范围是

(3)

则卫星对纬度为φC地面目标有时间窗口的必要条件为

(4)

因此，如果地面目标纬度φC不满足式(4)，则可以直接断定，在任何仿真时段下，该卫星对该地面目标均无时间窗口。后续公式推导都是在满足式(4)的基础上进行的。

1.1.3问题的基本假设

本文对以下公式推导只针对圆轨道卫星，即卫星的偏心率e=0，同时将地球当作标准球体，且不考虑摄动因素的影响。但这并不意味着该算法仅能在这些限制下计算时间窗口，本算法可以比较容易地对这些因素进行扩展，但相应的公式需要进行对应的修正。

1.2不考虑地球自转时时间窗口计算

卫星距升交点的角距(沿卫星运行方向测量)即为卫星的纬度幅角ψ，纬度幅角即为经典轨道六根数里面的近地点辐角与真近点角之和。卫星的轨道倾角为i，考虑升交点经度为σ0(在地固系下的经度)的一个卫星周期内的轨道。卫星所在的经纬度为(σS,φS)，假设在不考虑地球自转时，卫星恰好可对经纬度为(σC,φC)的地面目标进行覆盖。则此时，卫星与地面目标的角距离应该等于αmax。则

cosφCcosφScos(σC-σS)+sinφCsinφS=cosαmax.

(5)

将(σC-σS)表示为(σC-σ0)-(σS-σ0)，可得：

cosαmax=sinφCsinφS+

cosφCcosφScos(σC-σ0)cos(σS-σ0)+

cosφCcosφSsin(σC-σ0)sin(σS-σ0).

(6)

假设卫星此时的纬度幅角为ψ，对于不考虑地球自转时，如图2所示。

图2　卫星星下点轨迹球面几何关系Fig.2　Spherical Geometry relationship of　　　satellite sub-point trace

根据球面三角形基本公式，有以下关系：

(7)

将式(7)带入式(6)得

cosαmax=cosφCcos(σC-σ0)cosψ+

(8)

令

C=cosφCcos(σC-σ0),

D=sinφCsini+cosφCsin(σC-σ0)cosi,

(9)

则

cosαmax=Ccosψ+Dsinψ.

(10)

根据σ0的不同，以纬度幅角ψ为函数的式(10)可能有0个、1个或2个根。这个函数是一个多值函数，当函数有根时，可以得到

(11)

式中：角度λ为

(12)

则由式(11)解得

(13)

(14)

如果通过式(13)和(14)解出的纬度幅角ψ不在[0,2π)区间，则将其调整到[0,2π)区间。

由于αmax>0，则经分析可知，有覆盖的纬度幅角范围为

(15)

对于式(10)中对应的多值函数，由于它的图形看起来像一个气泡，这种图形称作气泡图[10]，图中每个封闭的区域称作一个气泡。将对地面目标有覆盖的纬度幅角范围随卫星升交点经度的变化而形成的气泡图称作覆盖图。图3为在不考虑地球自转时，对固定的地面目标(116E,40N)的覆盖图。由图3可知，该图形由2个气泡组成。其中，图中红线表示对特定升交点经度有覆盖的纬度幅角的下界，蓝线表示上界。

图3　不考虑地球自转时的覆盖图Fig.3　Coverage graph without considering　　　the earth's rotation

对于圆轨道卫星，有ψ=nS(t-t0)，其中，nS为卫星的平均角速度，t0为卫星过升交点的时刻，则

(16)

根据式(16)可以得到纬度幅角ψ1，ψ2各自对应的时刻t1，t2，然后根据式(15)中的对应关系得到升交点经度为σ0的一个周期内的轨道对地面目标有覆盖的时间窗口。

1.3考虑地球自转时公式修正

假设地球自转角速度为ωe，卫星的平均角速度为nS。考虑地球自转时，某升交点经度σ0下时间窗口范围需要进行对应修正。首先计算在不考虑地球自转时时间窗口的纬度幅角范围，即通过式(13)与式(14)求解。由于σ0已经进行调整，对某些有时间窗口的σ0在按照式(13)与式(14)进行求解时，其中的反三角余弦函数时可能无解，因此，需要将公式改写为

(17)

式中：λ由式(12)解得。

相比不考虑地球自转时情况，考虑地球自转时，地面目标右移，则在t时刻对经度为σC的地面目标覆盖，和不考虑地球自转时对经度为σC-ψ1ωe/nS的目标一致。通过式(17)可以得到ψ1与ψ2的值，将式(9)里面的σC替换为σC-ψ1ωe/nS，即

C=cosφCcos(σC-ψ1ωe/nS-σ0),

D=sinφCsini+cosφCsin(σC-ψ1ωe/nS-σ0)cosi.

(18)

将C与D的值带入式(13)中，λ的计算公式中的C与D也由式(18)得出。

将式(9)里面的σC替换为σC-ψ2ωe/nS，即

C=cosφCcos(σC-ψ2ωe/nS-σ0),

D=sinφCsini+cosφCsin(σC-ψ2ωe/nS-σ0)cosi.

(19)

将C与D的值带入式(14)中，λ的计算公式中的C与D也由式(19)得出。

得到修正后的纬度幅角2个边界后，通过式(15)可以得到修正后的纬度幅角范围，然后再根据式(16)得到修正后的时间窗口。

图4　进行地球自转修正后的覆盖图Fig.4　Coverage graph after the earth rotation correction

如图4所示，是经过地球自转修正后的对地面目标有覆盖的纬度幅角范围随卫星升交点经度变化关系图。与图3相比，2个气泡都往左边有一个平移，而且气泡的形状有微小的变形。这是因为地球自西向东自转的作用，而且在一个周期内纬度幅角越大，地球自转的累积效应就越大。

1.4时间窗口的更高精度修正

(20)

迭代结束，其中ε是一个计算要求的精度。

由此可以得到对时间窗口高精度的计算结果。

1.5通过卫星轨道根数计算时间窗口

有了前面的知识，可以对一颗卫星在任意仿真时段内的时间窗口进行计算了。在计算时，首先按卫星每次过升交点对仿真时段进行分割，将仿真时段划分为若干时间小段，从开始时刻到卫星第1次过升交点为第1小段，用(tS1,tE1)表示，从卫星第1次过升交点到第2次过升交点为第2小段,用(tS2,tE2)表示，依次划分，最后一次过升交点到仿真结束时刻为最后一小段。

(21)

同时，第1小段时间范围为

tS1=tStart，tE1=tStart+(2π-ψSt)/nS.

(22)

在不考虑摄动因素影响下，第2段时间卫星升交点经度为

(23)

式中：TP为卫星周期，可由开普勒第三定律求得。

第2小段时间范围为

tS2=tE1,tE2=tS2+TP.

(24)

对第m段时间卫星升交点经度可由第(m-1)小段时间卫星升交点经度来求得。

(25)

第m小段时间范围也可由第(m-1)小段时间范围来求得

tSm=tEm-1,

(26)

已知一个小段时间的卫星升交点经度，则根据前述内容可以计算出在该周期内卫星对地面目标的时间窗口，或计算出在该周期内卫星对地面目标无时间窗口。通过式(15)与(16)联立得到的时间窗口，可能出现因为划分时间段而将一个时间窗口划分为2个的情况，因此最后一步，将因为划分时间段而被分割的时间窗口合并。

2数值仿真

为对算法的性能进行验证，本节设计一组数值仿真实验。分别取距地面高度为500 km，1 000 km和1 500 km的3颗圆轨道卫星，分别命名为卫星1、卫星2与卫星3。3颗卫星轨道倾角均为60°，升交点赤经、近地点幅角和平近点角均为0，最小观测仰角均为10°，对固定的地面目标(116E,40N)进行覆盖。仿真起始时刻为2013-01-01 T00:00:00(UTCG)，仿真结束时间为2013-02-01 T00:00:00(UTCG)，仿真时长为31天。

通过跟踪传播法的结果为标准结果，对本算法计算结果的误差进行分析。采用2个误差函数对计算结果进行统计分析，分别对算法的绝对误差和相对误差进行分析。

(27)

其结果如表1所示。

表1　时间窗口绝对误差均值

3颗卫星在算法收敛时均有1e-5量级的绝对误差，对误差的成因进行分析。图4为收敛时卫星1时间窗口的绝对误差，由图可知，所有的点都在±8.6e-5 s与0 s 3条线上，而采用J2000.0历元，由于机器字长，双精度值能表示的最小数值为1e-9，单位为天，也就是8.64e-5 s，这与图5中的结果一致。由此可知，该算法收敛时的误差为机器字长引起，该算法收敛时，计算误差小于机器字长对应的最小精度。

图5　收敛时卫星1的时间窗口绝对误差Fig.5　Absolute error of the satellite-1’s timewindow when converged

为反映算法计算时间窗口的相对误差，设计第2个误差函数，时间窗口相对误差均值函数为

(28)

即总误差长度与总长度之比。

相对误差计算结果如表2所示。

表2　时间窗口相对误差均值

由表1和表2结果可知，在3个不同高度的轨道上，该算法均能比较快速地收敛，在经过5次迭代后时间窗口误差已经到毫秒级，当算法收敛时可以达到机器字长所能表示的最小精度。一般的快速时间窗口计算方法误差为秒级的量级[5,11-12]，本文中算法在计算精度上有明显的优势。

同时，对算法计算效率进行分析。仍以跟踪传播法为比较对象，取跟踪传播法时间步长为1 s，来对比2种算法计算速度，经过计算，对每颗卫星，仿真时长31天，跟踪传播法平均计算时间255 s，而快速时间窗口计算算法平均计算时间2.1 s，计算时间减少99.1%。本算法在计算效率上也有较大优势。

3结束语

本文提出一种高效的计算时间窗口的方法，首先计算不考虑地球自转时的时间窗口，然后对时间窗口范围进行修正，从而得到精确的时间窗口。仿真结果表明，该算法精度较高，可以精确至机器字长能表示的最小精度，算法计算效率较高，相比1 s步长的跟踪传播法计算效率可提高120倍。该算法目前考虑模型较为简单，未考虑椭圆轨道、摄动效应及非球形地球模型等因素影响，但该算法可以比较方便对这些因素进行扩展，只需要在迭代修正中加入对应项即可。同时该算法目前只适用于对地面点目标的时间窗口计算。因此，对考虑椭圆轨道、摄动效应及非球形地球模型下时间窗口的计算，以及对区域目标时间窗口计算，是下一步要继续的工作。

参考文献：

[1]HALIM Z. Performance Analysis and Routing Techniques in LEO Satellite Systems[J]. IU-Journal of Electrical & Electronics Engineering, 2011, 5(2): 1363-1372.

[2]廉振宇,谭跃进,严珍珍. 敏捷卫星调度的时间约束推理方法[J]. 系统工程与电子技术,2013, 35(6): 1206-1211.

LIAN Zhen-yu, TAN Yue-jin, YAN Zhen-zhen. Temporal Reasoning Technology for AEOS Scheduling[J].Systems Engineering and Electronics, 2013, 35(6): 1206-1211.

[3]ULYBYSHEV Y. Satellite Constellation Design for Complex Coverage[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2008, 45(4): 843-849.

[4]GILMORE J S, WOLHUTER R. Predicting Low Earth Orbit Satellite Communications Quality and Visibility Over Time[C]∥Southern African Telecommunication Networks and Applications Conference (SATNAC), ser. Access Networks，2009.

[5]Ali I, Al-DHAHIR N, HERSHEY J E. Predicting the Visibility of LEO Satellites[J]. Aerospace and Electronic Systems, IEEE Transactions on, 1999, 35(4): 1183-1190.

[6]FEUERSTEIN P, ERIC P H, MATTHEW L G, et al.Generalized Representation of Space-Based Platforms for Various Orbit Types[C]∥Advanced Simulation Technologies Conference-Military, Government, and Aerospace Simulation Symposium (ASTC-MGA 2004), Crystal City, Virginia,USA: SCS，2004: 28-32.

[7]沈欣, 李德仁, 姚璜. 一种面向成像任务规划的光学遥感卫星成像窗口快速预报方法[J]. 武汉大学学报: 信息科学版, 2012, 37(012): 1468-1471.

SHEN Xin, LI De-xin, YAO Huang. A Fast Algorithm for Imaging Time Window Prediction of Optical Satellites Considering J (2) Perturbation for Imaging Mission Scheduling[J].Journal of Wuhan University:Information Science ed,2012, 37(12): 1468-1471.

[8]SEYEDI Y, RAHIMI F. A Trace-Time Framework for Prediction of Elevation Angle Over Land Mobile LEO Satellites Networks[J]. Wireless Personal Communications, 2012, 62(4): 793-804.

[9]SENGUPTA P, VADALI S R, ALFRIEND K T. Satellite Orbit Design and Maintenance for Terrestrial Coverage[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2010, 47(1): 177-187.

[10]KATONA Z. On Mean Revisit Frequency of Non-Repeating Satellite Orbits with Finite Sensor range[C]∥Advanced Satellite Multimedia Systems Conference (asma) and the 11th Signal Processing for Space Communications Workshop (spsc), 2010 5th. IEEE, 2010: 369-374.

[11]李冬, 易东云, 朱炬波, 等. 中继卫星与客户星可见期快速算法[J]. 系统仿真学报, 2009, 21(12): 3592-3595.

LI Dong, YI Dong-yun, ZHU Ju-bo, et al. Fast Algorithm for Visibility-Time Between Relay Satellites and User Satellites [J]. Journal of System Simulation, 2009, 21(12): 3592-3595.

[12]唐荣富, 易东云, 罗强, 等. LEO 卫星可见性的快速仿真算法[J]. 系统仿真学报, 2008, 20(18): 4850-4853.

TANG Rong-fu, YI Dong-yun, LUO Qiang, et al. Fast Simulation Algorithm for Visibility of LEO Satellites[J]. Journal of System Simulation, 2008,20(18):4850-4853.

Fast Predicting Algorithm for Time Windows of Satellites to Ground Target

SONG Zhi-ming, DAI Guang-ming, WANG Mao-cai, PENG Lei

(China Geosciences University,Computer Science School,Hubei Wuhan 430074, China )

Abstract:The calculation of time window between satellite and the ground target plays an important role in the field of aerospace. The time window problem for circular orbit satellite to the ground stationary targets is studied, and a fast predicting method is put forward. Firstly, the method calculates the time window of the satellites to the ground station without considering the earth's rotation, and then iteratively corrects the result with the effect of earth's rotation to get the exactly time window result. The simulation results show that the absolute errors of the time window's magnitude are 0.1 ms. Comparing with the classical orbit propagation method with the step of 1 s，the computing time can decrease by 99.6%.

Key words:time window; fast algorithm; iterative correction; ground target

中图分类号：V474

文献标志码：A

文章编号：1009-086X(2015)-01-0087-07

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.01.015

通信地址：430074湖北武汉中国地质大学计算机学院戴光明E-mail：gmdai@cug.edu.cn

作者简介：宋志明(1986-)，男，山东淄博人。博士生，主要研究领域为卫星轨道设计。

基金项目：国家自然科学基金(61103144)；中国博士后科学基金(2012T50681，2011M501260)

收稿日期：2013-10-30；
修回日期：2014-02-13