一类食饵染病且垂直传染的生态流行病扩散模型的整体性态

陈安宁

(陇东学院 数学与统计学院, 甘肃 庆阳 745000 )

一类食饵染病且垂直传染的生态流行病扩散模型的整体性态

陈安宁

(陇东学院 数学与统计学院, 甘肃 庆阳 745000 )

研究一类具有空间扩散和食饵染病且垂直传染的生态—流行病模型的整体性态.首先讨论解的存在唯一性和一致有界性; 其次由线性化方法得到了该模型非负平衡点的局部渐近稳定的充分条件, 并构造恰当的 Lyapunov泛函证明非负平衡点的全局渐近稳定性, 得到了捕食者灭绝、疾病消失和疾病成为地方病的充分条件.

垂直传染; 空间扩散; 生态流行病模型; 稳定性

0 引 言

1927年Kermack等开创性的构造了著名的SIR仓室模型后 , 流行病模型的研究越来越受到重视[1-6]. 文献[1]研究了疾病仅在食饵中传播的捕食者—食饵模型. 文献[3] 研究了疾病在食饵和捕食者之间传播的捕食者—食饵模型. 此外还有许多传染病模型[5-6], 但某些传染病能够垂直传染, 文[4]首先建立并讨论了如下捕食者—食饵系统中食饵染病且垂直感染的传染模型给出了非负平衡点的存在条件, 并得到了非负平衡点局部和全局稳定的充分条件. 然而, 很少有关于带流行病种群扩散模型解的定性性质的已知结果. 本文将主要讨论在Neumann边界条件下具有空间扩散和食饵染病且能够垂直传染的捕食者—食饵模型解的一致有界性,平衡点的局部渐近稳定性和全局渐近稳定性, 其中Ω⊂是边界∂Ω光滑的有界区域,η是∂Ω上的单位外法向量,∂η=∂/∂η;u1,u2分别表示食饵中易感者和感染者种群密度,u3表示捕食者的密度;K,a,b,d,β,δ,ri(i=1,2),di(i=1,2,3) 都是正常数;di是种群ui(i=1,2,3)的扩散系数.ri为食饵中易感者和感染者的内禀增长率, 由于要考虑因病死亡,所以r1>r2;K为环境最大容纳量;β为传染率;a,b为捕食系数,b≥a表示捕食者更易捕到染病的食饵;δ为消化系数;d表示捕食者的死亡率.

(1)

(2)

本文内容安排如下: 第2节讨论解的一致有界性. 第3, 4节分别讨论平衡点的局部渐近稳定性和全局渐近稳定性.

1 一致有界性

其中

M2是依赖于|Ω|(2)的系数及初值u0,v0的正常数.

(2)中的3个方程在Ω上积分并求和, 得

‖ui(x,t)‖L∞(Ω)≤M2,i=2,3,

M2是依赖于Ω,(2)的系数及初值ui0(i=1,2,3)的正常数.故T=+∞.

2 平衡点的局部稳定性

(2)对应的常微分方程组在E0(0,0,0),E1(K,0,0) 处不稳定. 而(2)对应的常微分方程组的解是(2)的特解, 从而E0(0,0,0)和E1(K,0,0) 也是(2)的不稳定的平衡点. 下面讨论平衡点E2,E3,E4,E5的稳定性.

(2)在u*处的线性化方程为ut=Lu.对任i≥1,Xi是算子L的不变子空间,λ是算子L在Xi上的特征值当且仅当λ是-μiD+Fu(u*)的特征值.-μiD+Fu(u*)的特征方程为

λ3+A1iλ2+A2iλ+A3i=0,

其中

A1i=μi(d1+d2+d3)+B1,

I1=(d1d2+d1d3+d2d3)(d1+d2+d3)-d1d2d3,

I2=-{(a11+a22)[d1d2+d3(d1+d2+d3)]+(a11+a33)[d1d3+d2(d1+d2+d3)]+(a22+a33)[d2d3+d1(d1+d2+d3)]},

I3=B2(d1+d2+d3)-B1[d1(a22+a33)+d2(a11+a33)+d3(a11-a22)]- [d1(a22a33-a23a32)+d2(a11a33-a13a31)+d3(a11a22-a12a21)]=d1[B2+(a11+a22+a33)(a22+a33)-a22a33+a23a32]+d2[B2+(a11+a22+a33)(a11+a33)-a11a33+a13a31]+d3[B2+(a11+a22+a33)(a11+a22)-a11a22+a12a21],

那么I1,I2,I3,I4均大于0, 故Hi>0.又A1i>0,A3i>0.根据Routh-Hurwitz判别法得, 对任i≥1,λi1,λi2,λi3均有负实部.

下证存在正常数δ, 对任意i≥1有

Re{λi1},Re{λi2},Re{λi3}≤-δ.

(3)

令λ=μiξ，则

当i→∞时，μi→∞有

那么，当i≥i0时

注1 文[4]给出了常微分方程组(2)与定理2和定理3类似的结果，且稳定的条件一致.

3 平衡点的全局稳定性

本节应用Lyapunov泛函方法讨论问题 (2)的平衡点E2,E3,E4和E5的全局渐近稳定性.

设u是(2)唯一的正解，由定理1和文[10]定理A2知，对任t0>0有

(4)

其中α∈(0,1)，C是不依赖于t的正常数.

证明 构造如下Lyapunov函数

如果条件(H3)成立，则上述二次型正定，从而存在正常数δ1>0，使得

(5)

仍由(4)知ψ′(t)在[t0,∞)有界，t0>0.应用引理1得，当t→∞时ψ(t)→0,即

由Pioncaré不等式得

(6)

由(5)，(6)得

(7)

另一方面

(8)

根据(5)-(8)有

类似于定理2的讨论, 可得如下定理：

证明(i)构造如下Lyapunov函数

其中ci为待定正常数.

(ii)定义如下Lyapunov函数

其中ci为待定正常数.

其它的证明与定理4类似, 在此不再赘述.

证明 定义Lyapunov函数如下

其中ρ=λ=δ. 由强极值原理知, 在初值满足条件u10,u20,u30≥(≢)0时,问题(2)的解在任正时刻为正函数.从而E(t)关于(1)的正解u(t)满足

如果取ρ=λ=δ,第4,第5项为0; 经简单计算知,条件(H4)保证d-ρbK>0, 那么第二个积分为正; 第三项恒为负; 第一个积分对应的二次型是正定的. 从而存在正常数δ2>0, 使得

由定理1和(4)知,u1,(u2-K)2,u3的导数有界, 再由引理1得

(9)

由(4)和(9)知，从存在{tm}，使得

由前面的讨论可知,E2(0,K,0) 局部渐近稳定. 所以, 当t→∞时,(u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t))→(0,K,0),问题(1)的平衡点E2全局渐近稳定.

4 讨 论

由以上讨论知，系统 (2)有 6个平衡点E0,E1,E2,E3,E4,E5, 其中平衡点E0.E1总是不稳定点.

由定理5可知, 如果(H5)和(H7)分别成立时, 边界平衡点E3和E4分别全局渐近稳定.

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【责任编辑：王军】

Global behavior of solutions in a diffusive eco-epidemiological model with disease and vertical infection in the prey

CHEN Anning

(School of Mathematics and Statistics, Longdong University, Qingyang 745000,China)

In this paper, global behavior of solutions in a diffusive eco-epidemiological model with disease and vertical infection in the prey is discussed. Firstly, the global existence, uniqueness and uniform boundedness of positive solutions to (2) are proved under homogeneous Neumann boundary condition. Secondly, by using linearization， we obtained the sufficient condition of locally asymptotical stability of the equilibria point． Furthermore, the sufficient conditions for the extinction of infective prey population, disease disappearance and epidemic persistence were obtained through analyzing the global asymptotical stability of the equilibria point by Lyapunov function.

vertical infection; spatial diffusion; eco-epidemiological model； stability

2014-05-23

陈安宁(1965-)，男，陇东学院副教授，主要从事数学教学论及应用数学的研究.

O175.26

A

1672-3600(2015)03-0037-06