一类具阻尼项的Bq方程解的衰减行为

李梅玲，王云青

(渤海理工职业学院，河北 沧州 061100)

一类具阻尼项的Bq方程解的衰减行为

李梅玲，王云青

(渤海理工职业学院，河北 沧州 061100)

对一类带阻尼项的n维Bq方程，观察到其线性方程的耗散结构是正则耗散型，这将意味着在对初值的正则假设下，可以得到解的最佳衰减估计.基于其线性方程的衰减估计和小初值条件，利用压缩映射原理，证明了方程整体解的存在性和小振幅解的渐近行为.

Bq方程；阻尼项；衰减

本文主要研究下面一类具阻尼项的Bq方程的柯西问题

utt-Δu-Δutt+Δ2u-υΔut=Δf(u)，x∈n,t>0,

(1)

u(x,0)=u0(x)，ut(x,0)=u1(x)，x∈n，

(2)

其中υ>0是常数.

在本文中，记号A^B表示A≤CB，其中常数C>0与t无关.

1 相应线性方程解的衰减性

我们先考虑下面线性方程的解的衰减性

utt-Δu-Δutt+Δ2u-υΔut=Δg(x,t)，x∈n,t>0,

(3)

引入方程(3)的解算子，由傅立叶变换，得到关于ξ的常微分方程

(4)

(5)

由杜哈密顿原理，问题(3)，(2)的形式解可表示为

(6)

对应象征

(7)

(8)

(9)

证明：只证明(7)式.首先，我们假设0<υ≤4，这时

利用Hausdorff-Young不等式和Holder不等式，得

(10)

取充分小固定实数ξ1，使得0<ξ1<ξ0，有

≡I1+I2+I3.

(11)

利用Holder不等式，得

(12)

(13)

(14)

由(10)—(14)，可知估计式(7)成立.类似可证(8)和(9)式.

(15)

(16)

2 本文的主要结果及证明

引理3[3]对任意s≥0，f∈C{s}()，满足条件

|f(j)(u)|^|u|α-j,j=0,1,…,{s},{s}≤α,

(17)

则有

(18)

引理4[4]假设a,b为两个正数，则

(19)

(20)

其中

且充分小的ρ>0依赖于f和δ.

证明：定义度量空间(X,d)上的非线性映射N：

(21)

其中X={u(x,t)∈L∞([0,∞)×n)∩L∞([0,∞);Hs):‖|u‖并赋予范数

(22)

(23)

所以，由引理4，对充分小的δ和ρ，有

(24)

同理可得

(25)

结合(24)式和(25)式知，N是X到自身的映射.下面证明N是X到自身的严格压缩映射.由(25)式，对∀u,v∈X，有

(26)

在(15)中，取k=0,r=p=2,s=0，并注意到|f(u)-f(v)|^(|u|α-1+|v|α-1)|u-v|，

则有

‖N(u)-N(v)‖L2

类似于(25)式，由引理4，可得

(27)

故对充分小的ρ，N是(X,d)上的严格压缩映射.根据压缩映射原理，在X上存在唯一不动点u(x,t)，u(x,t)即为问题(1)，(2)的解，且有

(28)

解u(x,t)的唯一性和时间的连续性很容易证明(略).

(28)式关于t求导，得

(29)

利用条件(19)和引理3，在(16)式，取不同的k,p,r的值，类似于(24)和(25)，有

定理1证毕.

注释： 由定理1知，q∈[1,2]取值越小，α的区间就变得越小，相应的解u关于时间t的衰减速度就越快.

[1] Shubin Wang. Huiyang Xu On the asymptotic behavior of solution for the generalized IBq equation with hydrodynamical damped term[J].J.Differential Equations,2012,252:(2012)4243-4258.

[2] Shubin Wang, Huiyang Xu.On the asymptotic behavior of solution for the generalized IBq equation with Stokes damped term[J].Z.Angew.Math.Phys, 2013,64:719-731.

[3] Cho Y, Ozawa T. Remarks on modified improved Boussinesq equations in one space dimension[J].Proc.R.Soc.A,2006,462:1949-1963.

[4] Wang S,Chen G. Small amplitude solutions of the generalized IMBq equation[J]. J.Math.Anal.Appl,2002,274:846-866.

【责任编辑：王军】

On the asymptotic behavior of solution for the Bq equation with damped term

LI Meiling，WANG Yunqing

(Bohai Polytechnic Vocational College,Cangzhou 061100,China)

For the Bq equation with damped term inn-dimensional space，observing that the dissipative structure of the linearized equation is of the regularity-loss type. This means that it will obtain the optimal decay estimates of solutions under the additional regularity assumption on the initial data. Based on the decay estimates of solutions to the corresponding linear equation and smallness condition on the initial data, it proves the global existence and asymptotic of the small amplitude solution by the contraction mapping principle.

Bq equation; damped term; decay estimates

2014-12-25；

2015-01-06

国家自然科学基金资助项目(11171311)

李梅玲(1980-)，女，河北沧州人，渤海理工职业学院讲师，硕士研究生，主要从事应用偏微分方程的研究.

O175.29

A

1672-3600(2015)-0022-05