半群POPn的理想的极大正则子半群

赵 颐，游泰杰，陈云坤

（贵州师范大学数学与计算机科学学院，贵州 贵阳550001）

1 预备知识

设Xn＝｛1，2，…，n｝，并赋予自然序.Pn和Tn分别为Xn上的部分变换半群和全变换半群.对α∈Pn，若对任意x，y∈dom（α），x≤y⇒xα≤yα，则称α是保序的.设c＝（c1，c2，…，ct）是一个序列，其中c1，c2，…，ct∈Xn，t≥1（当t＝0时，c表示空序列），若至多存在一个i∈｛1，2，…，t｝，使得ci＞ci＋1（当i＝t时，ct＋1＝c1），则称c是一个圈.设α∈Pn且dom（α）＝｛a1＜a2＜…＜at｝，其中t≥1，若（a1α，…，atα）是一个圈，则称α是方向保序的.设POn和POPn分别为Pn中的所有保序部分变换之集和所有方向保序部分变换之集，则POn和POPn都是Pn的子半群，称POn和POPn分别为保序部分变换半群和方向保序部分变换半群.令On＝POn∩Tn且OPn＝POPn∩Tn，则On和OPn都是Tn的子半群，称On和OPn分别为保序全变换半群和方向保序全变换半群.

变换半群具有某种性质的极大子半群的研究是近十几年半群理论研究中的热点问题之一［1－9］.特别地，2002年，游泰杰得到了全变换半群Tn和部分变换半群Pn的理想的极大正则子半群的完全分类［2］，2011年，赵平与游泰杰研究了方向保序全变换半群OPn的理想的极大正则子半群的结构和分类［4］；Dimitrova与Koppitz得到了保序全变换半群On的理想的极大正则子半群的完全分类［10］.在上述工作的基础上，本文将考虑方向保序部分变换半群POPn的理想的极大正则子半群的结构和分类.

由文献［11］知，POPn中的Green关系刻画为：对任意α，β∈POPn，αLβ当且仅当im（α）＝im（β）；αRβ当且仅当ker（α）＝ker（β）；αJβ当且仅当｜im（α）｜＝｜im（β）｜，D＝J.设J0为空变换所构成的集合.对1≤r≤n，记Jr＝｛α∈POPn：｜im（α）＝r｝，则POPn有n＋1 个J－类J0，J1，…，Jn.令POP（n，r）＝｛α∈POPn：｜im（α）｜≤r｝，则且POP（n，0）⊂POP（n，1）⊂…⊂POP（n，n－1）⊂POP（n，n）＝POPn为理想链.POPn的每一个主因子是一个Rees商半群POP（n，r）／POP（n，r－1），记为Pr.为方便起见，可把Pr看成Jr∪｛0｝，即Pr＝Jr∪｛0｝，其乘法定义为：如果αβ∈Jr，α·β＝αβ，否则，α·β＝0.Pr对乘法做成一个完全0－单半群.关于完全0－单半群，有下述两个熟知事实：

引理1.1［4］设x，y 是完全0－单半群中两个非零元，则xy≠0当且仅当Lx∩Ry中含有幂等元.此时，xy∈Ly∩Rx.当Lx∩Ry中含有幂等元时，xRy＝Rx，Lxy＝Ly，LxRy＝S＼｛0｝；否则，xRy＝Lxy＝LxRy＝｛0｝.

设U 是半群S 的任意子集，通常用E（U）表示U 中的幂等元之集.对任意a∈S，通常用Ra，La，Ha，Ja分别表示a 所在R－类，K－类，H－类，J－类.本文未定义的术语及记法参见文献［11－12］.

2 半群POPn 的理想的极大正则子半群

定义2.1［2］设2≤r≤n－1，S是POP（n，r）的正则子半群（S⊂POP（nr））.若S 满足：对POP（n，r）的任意正则子半群T，有S⊂T⇒T＝POP（n，r），则称S 是POP（n，r）的极大正则子半群.

引理2.1 设I是正则半群S 的理想，则I是正则的.

证明 设x∈I，则由S 的正则性可得，存在y∈S，使得x＝xyx，且y＝yxy，于是由x∈I及I 是理想，可得y＝yxy∈I，从而y 是x 在I 中的逆元.因此I是正则的.

引理2.2 设2≤r≤n－1，则POP（n，r）是正则半群.

证明 据文献［13］的命题2.3知，POPn是正则半群.注意到POP（n，r）是POPn的理想.由引理2.1可推得POP（n，r）是正则半群.

引理2.3 设S 是幂等元生成的正则半群，若I是S 的理想，则I也是幂等元生成的正则半群.

证明见文献［14］的推论1.4.

引理2.4 设n≥3，则POP（n，n－1）＝〈E（Jn－1）〉.

证明见文献［9］的引理2.4.

引理2.5 设2≤r≤n－1，则POP（n，r）是幂等元生成的正则半群.

证明 注意到POP（n，r）（2≤r≤n－1）是POP（n，n－1）的理想.由引理2.2和引理2.4 可知，POP（n，n－1）是幂等元生成的正则半群，从而由引理2.3 可推得，POP（n，r）是幂等元生成的正则半群.

设0≤r≤n，令

则

引理2.6 设2≤r≤n－1，则PO（n，r）＝〈E（JrPOn）〉.

证明见文献［15］的引理3.3和文献［16］的引理3.14.

引理2.7 设2≤r≤n－1，则POP（n，r）＝〈Jr〉.

证明 任意取α∈POP（n，r），则由文献［10］的推论1.4知，存在β∈POn和i∈｛0，1，…，n｝，使得a＝ɡiβ，其中由ɡ是置换，及α∈POP（n，r），易得β∈PO（n，r），于是由引理2.6可知，存在使得β＝γ1γ2…γs，从而α＝ɡiβ＝（ɡiγ1）γ2…γs.由及（ɡiγ1）∈Jr（因ɡ是置换，及γ1∈JrPOn），可得α∈〈Jr〉.再由α 的任意性可得，POP（n，r）⊆〈Jr〉，显然〈Jr〉⊆POP（n，r）.因此POP（n，r）＝〈Jr〉.

定理2.1 设2≤r≤n－1，则POP（nr）＝〈E（Jr）〉.

证明 由引理2.5 可知，POP（n，r）＝〈E（POP（n，r））〉.任取α∈Jr，则α∈Jr⊆POP（n，r）＝〈E（PO（n，r））〉，从而存在β1，β2，…，βm∈E（POP（n，r）），使得α＝β1β2…βm.由｜im（α）｜＝r（因α∈Jr）易得｜im（βk）｜＝r（k＝1，…，m），于是β1，β2，…，βm∈E（Jr），从而α＝β1β2…βm ∈〈E（Jr）〉.再由α的任意性可知，Jr⊆〈E（Jr）〉，从而由引理2.7可知，POP（n，r）＝〈E（Jr）〉.

引理2.8 设S 是正则半群且E（S）是S 的幂等元之集，则对任意a∈S，有Ra∩E（S）≠∅，La∩E（S）≠∅.

证明见文献［11］的命题2.3.1与命题2.3.2.

引理2.9 设S是正则半群，a，b∈S，则H－类Hb包含a的逆元的充分必要条件是E（Ra∩Lb）≠∅，且E（Rb∩L1）≠∅.

证明见文献［12］的定理2.18.

引理2.10 设2≤r≤n－1，α∈Jr，则｜E（Lα）｜≥2，且｜E（Rα）｜≥1.

证明 设

其中a1＜a2＜…＜ar.令B1＝｛1，…，a1｝，Bi＝｛ai－1＋1，…，ai｝，i＝2，…，r－1，Br＝｛ar－1＋1，…，n｝，且ci＝maxAi，i∈｛1，2，…，r｝.设

则e，f，ɡ∈E（Jr）.由im（e）＝im（f）＝im（α），且ker（ɡ）＝ker（α），可得eLfLαRɡ.因此，｜E（Lα）｜≥2，｜E（Rα）｜≥1.

引理2.11 设2≤r≤n－1，α∈Jr，则存在α的逆元α1，α2，使得（α1，α2）∉R，且α1，α2∈Jr.

证明 由引理2.10可知｜E（Rα）｜≥1，且｜E（Lα）｜≥2.设e1，e2∈E（Lα），e1≠e2，f∈E（Rα），则（e1，e2）∉R（否则，e1，e2∈Hα，与每个H－类至多包含一个幂等元矛盾，见文献［11］的推论2.2.6）.注意到eiLαRf，i＝1，2.由引理2.9可得Re1∩Lf和Re2∩Lf都包含α 的逆元.不妨分别设为α1与α2，则eiRαi（i＝1，2），从而（α1，α2）∉R.由αiReiLα可知，αiJα，从而｜im（αi）｜＝｜im（α）｜＝r.因此αi∈Jr.

引理2.12 设2≤r≤n－1，α∈Jr，则Mα＝POP（n，r－1）∪（Jr＼Rα）是POP（n，r）的极大正则子半群.

证明 首先，证明Mα是POP（n，r）的子半群.由引理1.1知，对任意β，γ∈Jr＼Rα，有βγRβ或βγ∈POP（n，r－1）.因此，Mα是POP（n，r）的子半群.

其次，证明Mα是POP（n，r）的正则子半群.任意取β∈Mα.（ⅰ）若β∈POP（n，r－1），由引理2.2知，POP（n，r－1）是正则的，于是POP（n，r－1）中存在β的逆元，从而β在Mα中存在逆元；（ⅱ）β∈Jr＼Rα，则由引理2.11知，存在β的逆元β1 与β2，使得（β1，β2）∉R，且β1，β2∈Jr，从而β1，β2 中至少有一个属于Mα.因此β是正则的.Mα是POP（n，r）的正则子半群得证.

最后，证明Mα是极大正则子半群.设T 是POP（n，r）的正则子半群，且Mα⊂T.任意取β∈T＼Mα，则β∈Rα.由引理2.10知，｜E（Lβ）｜≥2，于是存在e∈E（Jr）∩Lβ，使得e∉Rα，从而Re⊆Mα⊂T.由引理1.1可得，Rα＝Rβ＝βRe⊂T.因此，T＝POP（n，r）.至此引理2.12得证.

下面为本文的主要结果.

定理2.2 设2≤r≤n－1，则POP（n，r）的极大正则子半群有且仅有如下形式：

证明 设A1，A2，…，Am是Xn的所有基数为r 的子集，其中m＝Cnr.记

其中i＝1，2，…，m，则R（A1），R（A2），…，R（Am）是Jr的一些互不相同的R－类.对任意j∈｛1，2，…，m｝，显然有｜E（R（Aj））｜＝1.我们用εj表示R类R（Aj）中唯一的幂等元（事实上，εj是Aj上的恒等变换）.

由引理2.12可知，Mα是POP（n，r）的极大正则子半群.我们将用反证法证明POP（n，r）的极大正则子半群仅有定理2.2中的形式.假设S 是POP（n，r）的极大正则子半群，且不是定理中的形式，则

否则，存在α∈Jr，使得Rα⊆Jr＼S，于是Mα是POP（n，r）的包含S 的正则子半群，由S 的极大性可得S＝Mα，这与S 不是定理2.2中的形式矛盾.我们断言

事实上，如果存在α∈Jr，使得La⊆Jr＼S.设im（α）＝Ai，考察R－类R（Ai）中唯一的幂等元εi，则εi∈E（R（Ai））∩Lα，于是εi∉S，从而S∩Rεi＝∅；否则，由S 的正则性及引理2.8可推出R（Ai）中唯一的幂等元εi∈S，与条件（2.1）矛盾.

我们将证明E（Jr）⊆E（S）.假设E（Jr）＼E（S）≠∅.任意取e∈E（Jr）＼E（S）⊆Jr.由条件（2.1）及（2.2）可知，S∩Le≠∅，S∩Re≠∅.任意取β∈S∩Le，γ∈S∩Re，由引理2.8 及S 的正则性可得，Lβ∩E（S）≠∅，Rγ∩E（S）≠∅，进而存在f∈E（S）∩Lβ＝E（S）∩Le，ɡ∈E（S）∩Rγ＝E（S）∩Re，使得f，ɡ∉He（因为e∉E（S））.再由引理1.1可得，fɡ∈S∩Rf∩Lɡ（因为e∈E（S），且e∈Lβ∩Rγ＝Lf∩Rɡ）.注意到f，ɡ∈E（S），fɡ∈S，fRfɡLɡ.由引理2.9可知，存在fɡ的逆元δ，使得δ∈S∩Lf∩Rɡ＝S∩Lβ∩Rγ＝S∩Le∩Re，从而δ是一个群元素.进而存在自然数n，使得e＝δn∈E（S），与e∈E（Jr）＼E（S）矛盾.因此E（Jr）⊆E（S）.

由E（Jr）⊆E（S）及定理2.1可得，S＝POP（n，r），与S 的极大性矛盾.至此定理2.2得证.

［1］YANG XIU－LIANG，LU CHUNG－HAN.Maximal properties of some subsemigroups in finite order－preserving transformation semigroups［J］.Communications in Algebra，2000，28（6）：3125－3135.

［2］YOU TAI－JIE.Maximal regular subsemigroups of certain semigroups of transformations［J］.Semigroup Forum，2002，64（3）：391－396.

［3］YANG HAO－BO，YANG XIU－LIANG.Maximal subsemigroups of finite transformation semigroups K（n，r）［J］.Acta Mathematica Sinica，2004，20（3）：475－482.

［4］赵平，游泰杰，徐波.方向保序变换半群K（n，r）的极大正则子半群［J］.吉林大学学报：理学版，2011，49（2）：203－206.

［5］ZHAO PING.Maximal regular subsemibands of finite order－preserving transformation semigroups K （n，r）［J］.Semigroup Forum，2012，84（1）：97－115.

［6］DIMIMTROVA I，FERNANDES V H，KOPPITZ J.The mmaximal subsemigroups of semigroups of transformations preserving or reversing the orientation on a finite chain［J］.Publicationes Mathematicae Debrecen，2012，81（1）：11－30.

［7］DIMITROVA I，KOPPITZ J.On the maximal regular subsemigroups of ideal of order－preserving or order－reversing transformations［J］.Semigroup Forum，2011，82（1）：172－180.

［8］罗永贵，瞿云云.半群POn中理想的非群元秩和相关秩［J］.东北师大学报：自然科学版，2014（3）：20－27.

［9］ZHAO PING，YANG MEI.Locally maximal idempotent－generated subsemigroups of finite orientation－preserving singular partial transformation semigroups［J］.Algebra Colloquium，2013，20（3）：435－442.

［10］FERNANDES V H，GOMES G M S，JESUS M M.Congruences on monoids of transformations preserving the orientation on a finite chain［J］.Journal of Algebra，2009，321（3）：743－757.

［11］HOWIE J M.Fundamentals of semigroup theory［M］.Oxford：Clarendon Press，1995：1－349.

［12］CLIFFORD A H，PRESTON G B.The algebraic theory of semigroups［M］.Providence：American Mathematical Society，1961：1－223.

［13］FERNANDES V H.The monoid of all injective orientation preserving partial transformations on a finite chain［J］.Communications in Algebra，2000，28（7）：3401－3426.

［14］EBERHART C，WILLIAMS W，KINCH L.Idempotent－generated regular semigroups［J］.J Austral Math Soc，1973，15：27－34.

［15］GOMES G M S，HOWIE J M.On the ranks of certain semigroups of order－preserving transformations［J］.Semigroup Forum，1992，45：272－282.

［16］GARBA G U.On the idempotent ranks of certain semigroups of order－preserving transformations［J］.Portugaliae Mathematica，1994，51：185－204.