赋广义Orlicz范数Orlicz函数空间的完全k－凸性

程亚焕，段丽芬，左明霞

（1.通化师范学院数学学院，吉林 通化134002；

2.哈尔滨理工大学应用科学学院，黑龙江 哈尔滨150080）

1955年，文献［1］引进了完全k－凸的概念.设k≥2为正整数，Banach空间X 称为完全k－凸（FKR）的是指蕴含｛xn｝为Cauchy序列.同时证明了完全k－凸的Banach空间是严格凸且自反的.1989年，文献［2］获得了赋Orlicz范数Orlicz空间完全k－凸的判据.1998年，文献［3］找到了赋Luxemburg 范数Orlicz空间完全k－凸的条件.本文给出赋广义Orlicz范数Orlicz空间完全k－凸的判别准则.

1 定义及符号

定义1［4］若M 是非负凸连续偶函数，且u＝0⇔M（u）＝0，则映射M：R→［0，∞）称为Orlicz函数；满足的Orlicz函数称为N－函数.

定义M（u）的余函数

设（G，Σ，μ）为一有限无原子测度空间，L0为G 上的可测实函数全体.泛函x∈L0称为x 关于M 的模.在

上定义Orlicz范数

Luxemburg范数

及广义Orlicz范数

它们均成为Banach空间［5］.在广义Orlicz范数下，分别简记

在处理Orlicz函数空间时，“M∈Δ2”表示M（u）对较大的u满足Δ2条件，即存在K＞2和u0≥0使得M（2u）≤KM（u）（u≥u0）.

2 主要结果

定理1 设M 是N－函数，则对任何1＜p＜∞，LM，p完全k－凸（k≥2为正整数）的充要条件是M∈Δ2∩Δ

2且M 严格凸.

证明 必要性.因完全k－凸的Banach空间是自反的，且严格凸，由文献［6］定理5和文献［7］定理

3.3.4 可直接得到结论.

充分性.只需证明条件满足时，LM，p完全2－凸即可.事实上，设｛xn｝∞n＝1⊂B （LM，p），设kn＞1满足考虑到M∈Δ及文献［8］的定理2，｛kn｝有界.记k′＝inf｛kn｝，k″＝sup｛kn｝，则0＜k′≤k″＜∞，进而再利用M 的凸性及M ∈Δ2，存在δ＞0，使得

下面分三步证明｛xn｝为Cauchy序列.

第一步 证明｛xn｝∞n＝1⊂B（LM，p）具有等度绝对连续范数.若不然，存在ε0＞0，对任何η＞0，都存在无穷多个n和en⊂G，μen＜η，使得

记

则

因M∈Δ2，对任何ε＞0，存在ξ＞0，只要

就有

因当n，m→∞时，

可取定正整数m，使得当n＞m 时，

从而

注意到M∈Δ2，存在ε′0＞0，使得蕴含由（2）式可得2－ε≤2＋4ε－δε′0，或这与ε的任意性矛盾.从而证明了｛xn｝∞n＝1⊂B（X）具有等度绝对连续范数.

第二步 证明knxn－kmxm→—μ 0（n，m→∞）.若不然，不妨设对所有正整数n，m 不等式

成立.其中σ0，γ0为正常数.因M ∈，据文献［8］可知｛kn｝n∞＝0有界，从而｛ρM （knxn）｝n∞＝0有界.设ρM（knxn）≤d（n＝0，1，2，…），D＝记

利用文献［9］中性质1.4，存在δ0＞0，使得对一切u，v及只要便有M（αu＋（1－α）v）≤（1－δ0）［αM（u）＋（1－α）M（v）］.注意到和

再利用Minkowsky不等式可得

这与‖xn＋xm‖M，p→2（n→∞）矛盾.

第三步 证明｛xn｝为Cauchy序列.事实上，因则｛knxn｝依测度收敛，设

对｛xn｝的任意子列，相应｛kn｝的子列都存在收敛子列，仍记为｛kn｝.设kn→k0（n→∞），则

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