“5+10=15”引发的思考——数学建模思想的教学实践与探索

江苏省苏州工业园区第二实验小学 顾婷

“5+10=15”引发的思考
——数学建模思想的教学实践与探索

江苏省苏州工业园区第二实验小学 顾婷

方程思维是数学思维中重要的组成部分，认识方程的过程是一个从简单到复杂的过程，为了获得更高层次的发展，我们必须坚实地走好每一步。在此通过剖析一堂小学“认识方程”实录课，结合新课程改革相关的发展趋势，借此反思数学教师如何寻求新课程理念下的方程教学。

方程教学数学建模实践探索

一、研究背景

早在300多年前，法国数学家笛卡尔有个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次把所有的数学问题都转化为代数问题；最后把所有的代数问题都转化为解方程。虽然笛卡尔的“伟大设想”没有实现，但是充分说明了方程的重要性。

小学阶段“简易方程”的学习，是为以后初中学习“一元一次方程”作铺垫的。由于认识水平的局限性，小学生往往把运算中的等号看做是“执行”的标志。如在算式“3+2”的后面写上等号，孩子们往往理解为“这是执行加法运算”的标志，他们通常把等号解释为“答案是……”。学生对“方程”的理解比较形象化、表面化，一说方程仅出现方程的样子，而忽略在列方程时，把未知数当作已知条件参与到列式的特点。而数学的高度抽象，只是它最终的呈现形式，在其高度抽象之前都有具体丰富的现实背景，它们归根结底都是来自于现实世界的实际需要，是现实世界的抽象反映和人类经验的总结。

二、课堂实录

师：请同学们看屏幕，刚才我们是用天平研究它们的质量情况，其实在生活中我们还可以根据具体的信息来写出这样的式子。告诉老师你在这一幅图上知道了什么？

生：每个铅笔盒a元，每支钢笔5元，每个书包35元。

师：如果老师告诉你一些相等关系，你能写出一些式子来吗？我告诉你的第一个信息是？

生（一起朗读）：买一个铅笔盒和一个书包，价格正好是50元。

师：谁能用数学式子来表示这句话？

生：a+35=50。（教师板书）

师：告诉老师a是什么？35是——？一个铅笔盒和一个书包的价钱正好是50元。第二个信息，女同学一起读一读。

生：一个铅笔盒正好比一支钢笔贵10元钱。

师：你能写一写吗？写在练习纸的后面。

生：a-10=5。

师：对不对？a是什么意思？

生：铅笔盒的价钱。

师：“－10”是什么意思？

生：一个铅笔盒正好比一支钢笔贵10元钱。

师：用铅笔盒的价钱减掉贵的10元，等于钢笔的价钱。还有没有不同的写法？

生：5+10=15元。

师：（重复一遍并板书）这个式子行吗？我们来讨论一下。5是什么？

生：钢笔的价钱。

师：10是什么？

生：贵的价钱？

师：15是——？

生：铅笔盒的价钱。

师：铅笔盒的价钱告诉我们是？

生：a元。

师：刚才的同学是在算铅笔盒多少钱，他有没有把铅笔盒的价钱直接用来表示？（没有）好，我们暂时不讨论这个算式。（老师把式子“5+10=15”擦掉）当然他求铅笔盒的价钱是可以的。还有没有其他的方法？

生：a-5=10。

师：（重复并板书）看看a是什么？（生：铅笔盒的价钱）5是——？（钢笔的价钱）铅笔盒比钢笔贵10元，这个可以吗?

生：可以。

三、评析

1.抽象现实情境，建构数学模型。在弗赖登塔尔的数学教育理论中认为数学教育有五个主要特征，情境问题是教学的平台便是其中第一点。他所提倡的问题情境则是直观的、容易引起想象的数学问题，隐含在这些数学问题中的数学背景是学生熟悉的事物和具体的情境，而且与学生已经了解或学习过的数学知识相关联，特别是要与学生生活中积累的常识性知识和那些学生已经具有的、但未经训练和不那么严格的数学体验相关联。在根据情境列式这一环节里，学生并没有那么多的实际经验，教师创设了买文具的实际情境，因为和他们贴得最近的实际情境大多都是购物问题。通过贴近学生实际的情境让学生发现和理解现实情境中的等量关系，体会方程是表示等量关系的数学方法，体会“列方程是表示现实情境中的等量关系”。

2.跨越算术思维，发展代数思维。在根据现实情境列式的过程中，学生却出现了“5+10=15”这样的式子。在以前的学习中，学生接受的都是算术思维，“=”就是执行运算的标志。在这种思维的定势下，学生很自然会写出这样的式子，说明学生还很难跨越算术思维。执教教师在处理的时候把这个算式直接擦掉了，说暂时先不讨论这个，一语带过。那是否可以把15直接改成a，这就引发讨论“5+10=a”是不是方程？按照定义应该肯定地说“是的”。但是a在这里，其实是一个已知的量而不是广义的量在参与运算。这是一种算术思维，而不是代数思维。从这个层面上说，“5+10=a”不应该是方程。事实上，这些争论在数学的定义上常常发生，我们可以不去理会由这些特例带来的分歧，因为这个定义本身就“先天不足”。

学生最难的是在五年级刚学方程的时候都是一些简单的一元一次方程，在以前他们已经学过把式子算出来，就会出现“5+10=15”的问题。但是当情境越来越复杂的时候，学生的负荷量会越来越大，他们用算术思维很难解决的时候代数思维就可以自然地引入。代数思维是为了解决更复杂的问题。为了解决学生直接计算出含未知数的问题，或许可以说我们不要求你把结果算出来，只需要用一个式子表示出其中的等量关系。

客观实际的内容是如此丰富多彩，反映在数量关系上是多种多样的。学生可以根据自己的思维方式，寻找自己最容易找到的一种即可。让学生自主探究并理解数量关系，初步领会数学建模的思想方法，学会用方程刻画现实世界数量关系，才真正提高了学生的应用意识和解决问题的能力。

[1]全日制义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京师范大学出版社.

[2]胡金萍.对小学阶段方程教学的一些思考[J].数学大世界（教师适用），2011（1）：49.

[3]张奠宙,宋乃庆.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社.