承压叠层圆柱的弹性分析

赵 倧，周 叮，王 俊，刘伟庆

(南京工业大学土木工程学院，江苏南京 210009)

柱作为最重要的竖向承重构件，对其承载力和延性的要求也日益提高.叠层柱是由不同材料(钢管、混凝土、FRP等)在径向叠合而成的各类组合柱的统称，其中最常见的是钢管混凝土组合柱和FRP混凝土组合柱.叠层柱中各种材料能取长补短，充分发挥各自的优势，从而达到在不增大截面尺寸和自重的前提下提高承载力和延性的目的［1］.目前，分析叠层承压圆柱的理论主要有极限平衡法、增量法.王俊等［2］和王庆利等［3］采用极限平衡法分别对FRP管-混凝土-钢管组合柱和FRP钢管混凝土组合柱的极限承载能力进行了求解.M.R.Spoelstra 等［4］和 Jiang T.等［5］分别采用隐式和显式的混凝土轴向-侧向应变关系，结合增量法理论，得出了FRP约束混凝土圆柱受压全过程的位移-轴力曲线;Teng J.G.等［6］针对FRP约束混凝土提出一种新的应力-应变分析模型，该模型适用于钢管混凝土等其他形式的约束混凝土;Lee Chung-Sheng等［7］从素混凝土圆柱的轴压应力-应变关系出发，运用增量法理论，得出FRP约束混凝土圆柱应力-应变关系.鲁国昌等［8］在现有约束混凝土模型基础上，提出一种考虑FRP管在双向受力情况下的应力-应变关系分析模型.Teng J.G.等［9］运用增量法理论提出FRP混凝土钢管组合柱受压全过程的应力-应变关系模型.

本研究采用弹性理论对承压叠层圆柱线弹性受力阶段进行分析，以研究轴向荷载作用下圆柱任意位置应力和应变值，对圆柱线弹性阶段的受压全过程进行描述，且针对不同类型承压叠层圆柱，提出统一计算方法，对其弹性受力阶段进行分析.

1 单层圆柱弹性力学解

承压柱高L，取柱下端圆心为坐标原点.该柱下端置于水平地面上，上端盖1个刚度无穷大的钢板，在轴压力p的作用下能使其在同一高度上的竖向位移相同，其顶端位移为Δ(计算简图见图1).

图1 单层层压圆柱计算简图

基于该计算模型可以得到承压圆柱竖向变形沿z向是线性变化的，其竖向位移uz和竖向应变εz可分别表示为

该问题为空间轴对称问题，则径向位移ur为圆柱半径r的函数，环向位移uθ=0，即

空间轴对称问题的平衡微分方程为

极坐标下的物理方程为

极坐标下的几何方程为

令

联立式(1)-(6)式可得

该常微分方程通解为ur=A/r+Br(A，B为待定常数).

2 叠层圆柱通用弹性力学解

当圆柱在径向由n层不同材料叠合而成时，其截面计算如图2所示，图中第i层的弹性模量为Ei，泊松比为μi.

图2 叠层圆柱截面示意图

由上述单层承压圆柱计算结果可知:叠层圆柱第i层材料外边界上的径向位移uri(ri)和应力σri(ri为

由于两层材料交接面上变形协调，则

不同形式的叠层圆柱，可通过不同的内外边界条件来考虑:

1)当该叠层圆柱为内实心时，有边界条件:

联立方程(10)，(11)求得A1，B1，A2，B2，…，An，Bn，然后可求出每层材料的位移和应力.

2)当该叠层圆柱为内空心时，有边界条件:

联立方程(10)，(12)求得A1，B1，A2，B2，…，An，Bn，然后可求出每层材料的位移和应力.

3)当叠层圆柱外层包裹FRP时，FRP对圆柱主要提供径向作用力.为描述这一情况，忽略FRP的轴向作用力，运用材料力学的方法对其进行计算，FPR层的计算简图如图3所示.

图3 FRP层计算简图

第n层材料外边界上由于轴向力的作用，叠层柱向外膨胀，使得FRP发生变形，FRP对叠层圆柱约束力f1为

式中εr为第n层材料外边界上的径向应变，即

第n层材料的外边界和FRP内边界上径向应力相等:

以式(15)分别替代式(11)和(12)中的第2式，即可对外表面缠绕FRP的实心和空心的承压叠层圆柱的线弹性阶段进行分析.

3 叠层圆柱递推公式

为避免对有2n个未知数方程组的求解，可采用递推方法［10］对该问题进行求解，取该叠层圆柱第i层和第i+1层进行递推，其计算简图如图4所示.

美的公司自主研发了全自动人工智能电饭煲具有储料、洗料和精确加料等全自动化功能，提供了精确的物料比。同时，全自动人工智能电饭煲这款产品还实现了煮饭过程的自动化与智能化。这代表了电饭煲历史中的一个重要转折点，推动了家用电器向人性化、自动化、智能化的方向发展[7-12]。但是它的生产成本较高，还不能尽快投入量产，不能很快被大众所接受。本文提出的全自动智能电饭煲是利用简单的单片机和通信方式来实现对电饭煲的全自动化和远程控制，生产成本较低，价格低廉，通信流量较少，易于使用和被市场接受。

图4 叠层圆柱递推计算单元

第i层材料内径处的径向位移和应力为

第i层材料外径处的径向位移和应力如式(8)所示.式(8)和(16)可转化为矩阵形式:

根据对应关系，对常数a11，a12，a21，a22，Vi1和Vi2进行求解，可得

令

则有

同理，第i+1层材料为

由边界条件第i层和第i+1层材料交界面上径向位移应力相等可得

联立式(18)-(20)，可得

当叠层圆柱为实心和内空心时，有边界条件(11)和(12)，分别与式(22)联立，即可求出第1，n层材料的位移和应力，然后根据递推公式(17)，可对任意层材料的位移和应力进行求解.

4 比较和参数研究

为检验本方法，现将3类典型的叠层圆柱线弹性阶段承载力的本方法解与有限元解进行对比.叠层圆柱截面如图5所示.

图5中，1代表混凝土，其弹性模量和泊松比分别为E1=25 000 MPa，μ1=0.20;2代表钢管，其弹性模量和泊松比分别为E2=200 000 MPa，μ2=0.30;3代表FRP，其弹性模量EFRP=3 000 MPa.叠层圆柱高800 mm，柱顶端在轴压力p作用下，产生位移Δ=-1.0 mm.图5中半径单位为毫米.

图5 典型叠层圆柱截面

表1为3种典型的叠层圆柱承载力的本方法解p本与有限元解p有的比较.有限元采用ANSYS建模，选用 solid45单元分析混凝土和钢管，采用shell41单元分析FRP.由表1可知，由于本方法考虑各层材料泊松比的不同产生的层间应力，因而与有限元解吻合较好.

表1 叠层圆柱承载力的2种方法计算结果比较

为考虑混凝土泊松比μ变化对叠层圆柱轴压性能的影响，以中空夹层钢管混凝土柱为例，中间层混凝土泊松比为0.10～0.49，其他条件均不变，计算结果如表2所示.

表2 不同泊松比时内空心叠层圆柱的轴力 kN

由表2可知，当泊松比为0.30时，即每层材料泊松比都相同时，每层材料径向变形一致，层与层之间不存在径向应力，故不考虑泊松比的传统方法与本方法解的一致;当每层材料泊松比不同时，由表1，2可知，不考虑泊松比影响的传统方法与本方法结果就存在差异，且随着层间泊松比差值的增大，该误差也明显增加.

当内层材料为混凝土时，在混凝土开裂前泊松比较小，可采用传统方法计算其轴压力.随着混凝土裂缝的开展，其泊松比变大，采用传统方法会造成较大误差，因而是不可取的.

5 结论

1)采用弹性理论对轴向压力作用下的叠层圆柱进行分析.考虑三向应力的影响，分别求得每一叠层的弹性力学解，然后通过层间变形协调关系，建立从叠层圆柱内层内边界到外层外边界间的递推关系，最后通过内外边界条件对叠层圆柱内任意点的应力和应变进行求解，进而得出与轴向位移相对应的轴压力值，计算结果与有限元软件ANSYS符合较好.

2)当混凝土进入非线性阶段，由于开裂等原因，混凝土与钢管等材料间的挤压应力变大，采用不考虑该因素的传统方法对其进行分析必将造成较大的误差.

3)本研究只考虑了叠层圆柱线弹性阶段的受力性能，对叠层圆柱非线性阶段的受力性能和叠层方柱力学性能还有待进一步研究.

References)

［1］彭亚萍，王铁成.FRP增强混凝土框架节点恢复力模型［J］.江苏大学学报:自然科学版，2010，31(1):98-103.

Peng Yaping，Wang Tiecheng.Restoring force model of frame joints reinforced with FRP［J］.Journal of JiangsuUniversity:Natural Science Edition，2010，31(1):98-103.(in Chinese)

［2］王 俊，刘伟庆，祝 露，等.GFRP管-钢管双壁约束混凝土组合柱轴压性能与承载力实用计算方法［J］. 建筑结构，2012，42(2):133-138.

Wang Jun，Liu Weiqing，Zhu Lu，et al.Experiment and capacity calculation theory research of hybrid GFRP-concrete-steel double skin tubular columns under axial compression［J］.Building Structure，2012，42(2):133-138.(in Chinese)

［3］王庆利，赵春雷，张海波，等.CFRP-钢管砼轴压短柱承载力的简化计算［J］.沈阳建筑大学学报:自然科学版，2005，21(6):612-615.

Wang Qingli，Zhao Chunlei，Zhang Haibo，et al.Capacity calculation theory of CFRP-steel tubular columns under axial compression［J］.Journal of Shenyang Jianzhu University:Natural Science Edition，2005，21(6):612-615.(in Chinese)

［4］Spoelstra M R，Monti G.FRP-confined concrete model［J］.Journal of Composite Construction，1990(3):143-150.

［5］Jiang T，Teng J G. Analysis-oriented stress-strain models for FRP-confined concrete［J］.Engineering Structures，2007(29):2968-2986.

［6］Teng J G，Huang Y L，Lam L，et al.Theoretical model for fiber-reinforced polymer-confined concrete［J］.Journal of Composite for Construction，2007(11):201-210.

［7］Lee Chung-Sheng，Asce A M，Hegemier G A.Model of FRP-confined concrete cylinders in axial compression［J］.Journal of Composite for Construction，2009(13):442-454.

［8］鲁国昌，叶列平，杨千才，等.FRP约束混凝土的轴压应力-应变关系研究［J］.工程力学，2006，23(9):98-102.

Lu Guochang，Ye Lieping，Yang Qiancai，et al.Research on stress-strain relation of concrete confined with FRP tubes［J］.Engineering Mechanics，2006，23(9):98-102.(in Chinese)

［9］Teng J G，Hu Y M，Yu T.Stress-strain model for concrete in FRP-confined steel tubular columns［J］.Engineering Structures，2013(49):156-167.

［10］范家让.强厚度叠层板壳精确理论［M］.北京:科学出版社，1996.