求解MArP风险过程破产时间的新方法

张超权，刘晓辉

（桂林航天工业学院 理学部，广西 桂林 541004）

0 引言

本文考虑随机环境下索赔服从PH分布的MArP风险过程:

其中，常数u≥0是初始盈余，设ζ={ζ(t)，t≥0} 是状态空间为Eζ={1 ，2，…，m}，m＜∞ ，初始分布为αζ，转移矩阵为Q的齐次不可约Markov过程，称ζ为环境过程。本文假设风险过程受外界随机因素ζ影响，在时刻t,当ζ(t)=i时,则对应保费率为ui,从而即为 (0，t]内收取的保费总额。N(t)表示(0，t]内发生的索赔次数，Ki表示第i次的索赔大小，{(ζ(t)，Nt)，t≥0} 构成Markov到达过程(Markov Arrival Process，MArP)。在状态空间Eζ×N上，存在矩阵,满 足Q=Q(0)+Q(1)，对所有i∈Eζ，有,令,对j≠i∈Eζ,有表示ζ由i转移至j时，没有索赔发生的转移速率；对所有i，j∈Eζ,有表示ζ由i转移至j时，有索赔发生的转移速率。

基于以上的假定，我们称风险过程(1)为随机环境下的MArP风险过程。本文同时假定索赔具有PH分布，由于PH分布对有限混合具有封密性，同时对于一切具有正支撑分布类稠密，因而这类索赔假设更具一般性及概括性。不失一般性，设ζ由i转移至j时发生的索赔额的分布为PH(βij，Bij),i，j∈Eζ,显然，记PH分布潜在Markov过程的瞬间状态空间为EP={1 ，2，…，n} 。

本文总是假定风险过程⑴满足正的安全负荷条件:

对i，j∈Eζ，μij是分布PH(βij，Bij)的数学期望，即μij=-βij(Bij)-1e，e是维数适当的单位列向量，设π是ζ的平稳分布，即 πQ=0，πe=1。其中,π=(π1，π2，...，πm)。

本文提出并建立了外界随机因素影响下具有不确定收入且索赔服从PH分布的MArP风险过程，即引入两个随机境过程，它们分别对过程的保费收入以及索赔次数和大小产生影响，选择合适的Q(k)，k=0，1及PH分布形式，减弱某些相关程度条件，风险过程(1)可简化为经典风险模型，及其它风险模型的各种形式。

风险过程的一般的分析方法是通过过程的更新特点获得相关的微分-积分方程，通过求解微分方程求得破产相关量，在求解中，特征方程的特征根求解十分重要，但特征根的求解具有不稳定性，它对整个运算结果影响很大。随机流体模型（Stochastic Fluid Model,SFM）是目前研究十分活跃的领域，它已被成功应用网络通讯、柔性制造、供应链、火灾防控、风险理论等领域。Asmussen[1]于1995年首次采用SFM来分析风险过程，同时，SFM的求解也存在着稳定及收敛速度快的算法[2,3]。Badescu[4,5]、Ramaswami[6]等将这一方法推广应用于各种风险过程。采用SFM理论来求解风险过程，回避了特征方程的求解问题，通过SFM与QBD的相似性，可直观地分析求解出相应的性能指标量。Badescu和Ramaswami等的方法主要处理保费收入恒定为γ的风险过程，将风险过程转化为SFM。即将每次的赔付Ki假定为不是一次瞬间付清,而是以速率γ连续支付Kiγ个时间单位长度。从而风险过程转化为对应的SFM，根据转化方法，SFM的样本路径中上升阶段与下降阶段存在一定的比例关系，从而根据这一比例关系求解破产时间，但是这一方法存在一个缺陷，即当保费收入不以线性收取，或逐段不同斜率的线性收取时，此时，整个随机流体的上升阶段与下降阶段就不存在对应的比例关系，因此，针对本文提出的保费不确定风险过程，利用上述转化为SFM以后，由于保费收入的随机性，从而使得相应的的SFM中样本路径的上升阶段与下降阶段不再具有联系，从而这种方法对(1)所定义的风险过程失效。

针对Asmussen等提出方法的缺陷，即受二维随机流体模型(Stochastic 2-Dimensional Fluid Model,2D-SFM)[7]的启发，本文提出一种新的破产时间的转换方法，这一方法完全克服了上述方法的不足，这一思想简单来说，即我们不依赖于SFM的上升与下降阶段的比例关系求解破产时间，而是给SFM定义一个计时器，当过程处于上升阶段时（即风险过程变化过程），此时让计时器进行计时，当过程处于下降阶段时（对应赔付），则让计时器停止。从而当SFM水平达到零时计时器上所记录的时间即对应为相应风险过程的破产时间。

1 模型

设 (J，Y)={(J(t)，Y(t))，t≥0}是随机流体模型(SFM)，即J={J(t)，t≥0}是状态空间为E={1，2，…N}，N＜∞,转移率矩阵为T,平稳分布为 π=(π1，π2，…πN)的非周期不可约的Markov过程，称J为背景过程，连续过程Y={Y(t)，t≥0}称为水平过程，表示流体介质的容量，其中Y的变化受过程J的控制，在t时刻，J(t)=i，设，

其中，B为任意给定正数，称为Y的上界，表示容器最大容量。

(J，Y)的具体演变过程如下：在t时刻，J(t)=i，若0＜Y(t)＜B，则当ci＞0时，则Y以速率ci增加，当ci＜0时，Y以速率-ci减少，当ci=0时，则Y不发生变化。在边界上，当Y(t)=0时，表示容器容量为空，故当ci≤0时，Y保持不变直至J转移到新的状态j∈E，且cj＞0，Y才以速率cj增加；若Y(t)=B时，表示容器容量已经充满，故当ci≥0时，Y保持不变直至J转移到新的状态j∈E，且cj＜0，Y才以速率 -cj减少，当B=∞ 时，称 (J，Y)为无限容量的SFM。

引入另一过程 (J，X)={(J(t)，X(t))，t≥0} ，在t时刻，J(t)=i，设，从而，

不妨，设X(0)=0，显然，X(t)∈(-∞，+∞)，称X为Y的伴随累积过程，可见，当给定J(t)=i时，X与Y是条件独立的。于是称 (J，X，Y)={(J(t)，X(t)，Y(t))，t≥0} 是二维随机流体队列模型(2D-SFM)。

2D-SFM由Nigel G.Bean等[7]2013年提出，它推广了传统的SFM，即系统中除了水平过程Y，又引入连续的性能测度过程X，其中X与当前背景过程J相关，也可与过程Y相关（本文不考虑这类情况），如可用X描述过程Y所对应的收益，效用等的累积过程等，2D-SFM延拓了传统SFM的实际应用范围，本文将利用这一模型来分析随机保费下索赔服从PH分布的MArP风险过程的破产时间的LST变换表示式。

对状态空间E作如下分类E1={i∈E，ci＞0}，E2={i∈E，ci＜0} ，E3={i∈E，ci=0}，对应于E=E1∪E2∪E3，将T作如下分解：,相应地，令C1=diag(ci，i∈E1) ，C2=diag(ci，i∈E2)，R1=diag(ri，i∈E1) ，R2=diag(ri，i∈E2) ，R3=diag(ri，i∈E3)，设符号A为矩阵，本文记Aij为A的分块矩阵，记[A]ij为矩阵A的第i行j列元素。

本文主要研究累积过程X的LST，给出如下定义:

下面给出几个常用的基本矩阵[7]，设：

对y＞0 的解析式，显然成立如下结论,详细证明读者可参阅文献[7]：即对y＞0，有如下等式成立：

从上式可见，φ(s)在2D-SFM指标量的计算中具有十分重要的地位，下一结论给出了φ(s)的计算方法[7]。即φ(s)满足如下方程：

上述方程称为Riccati方程，文献[7]给出了此方程的高效算法。

2 风险过程转换2D-SFM

下面将风险过程(1)转化为2D-SFM(J，X，Y)，在发生索赔时，每次的赔付Ki假定为不是一次瞬间付清,而是以速率1连续支付Ki个时间单位长度。于是风险过程转换成SFM[1]，记为(J，Y)，其中环境过程J的状态空间为：E=Eζ∪(Eζ×Eζ×EP)，J的初始分布为α=( )αζ，0 ，0 是适当维数的零向量，当J(t)=i∈Eζ时，Y对应的速率为ci=ui≥0 ，X对应的速率为ri=1；当J(t)=(i，j，l)∈Eζ×Eζ×EP时，Y对应的速率为ci=-1，X对应的速率为ri=0。定义过程计时器X，当J(t)=i∈Eζ时，X对应的速率为ri=1；当J(t)=(i，j，l)∈Eζ×Eζ×EP时，X对应的速率为ri=0。于是过程X对应于风险过程(1)的演变时间，于是，由此构造相应的2D-SFM(J，X，Y)。相应的SFM的状态转移率矩阵T如下构造[8]，对l，v∈Eij,i，j∈E有:

表1 随机流体阶段状态转移率

从而，风险过程(1)转换成相应的2D-SFM(J，X，Y)，我们可以用2D-SFM理论来对风险过程(1)进行研究。

定义：θ=inf{t＞ 0，Ut=0|U0=u} 表为风险过程(1)的破产时刻。

记Γi(x，u)=P{θ≤x|U0=u，J(0)=i},i∈Eζ，从 而Γi(x，u)表示风险过程（1）初始状态J(0)=i及初始盈余U0=u时破产时间的分布函数，设LST变换

于是我们得到破产时间的LST，我们有如下结论成立：

定理 对于风险过程（1），给定初始状态J(0)∈Eζ及初始盈余U0=u时，破产时间的LST的表示式：

证明：由式(3)-(5)，上述结论显然。

上结论给出了破产时间的LST，通过对LST取逆[9]，即可得到破产时间的概率密度函数。

3 数值实例

下面给出一数值实例：考虑风险过程，设背景过程Eζ={1，2}，即1表示高风险外界环境状态，对应保费率为u1；2表示高风险外界环境状态，对应保费率为u1，定义初始盈余为，状态1转移至状态2时对应的索赔分布为PH(β12，B12)，其中，，状态2转移至状态1时对应的索赔分布为均值为0.25的指数分布.于是：

根据定理，我们可以计算得到相应的破产概率密度函数。

如图图(a)-(d)揭示了在不同背景过程下的概率密度函数，其中(a)-(d)对应保费率(u1，u2)分别为(2,2),(5,5),(1,5)和(2,5)。从图中可以看出，当保费率不发生变化时，如图（a）,保费率均为2，此时，概率密度函数差别不大，说明环境过程对破产时间影响不显著，但当将保费调至5时，如图(b)，我们可以看出，此时概率密度函数差别明显，在图(c)和图(d)中，在相同的环境过程状态下，不同的保费率导致不同的破产时间分布，图(a)-(d)说明，在进行风险管理时，考虑外界随机环境的影响是必要的，对于不同的外界环境，我们考虑对应的不同的保费率机制以规避风险。

4 结论

本文提出并建立了保费受外界随机因素影响下索赔服从PH分布的MArP风险过程，本文给出了一种破产时间计算的新方法，即将风险过程转化为2D-SFM(J，Y，X)，同时设计一个与风险过程破产时间同步变化的计时过程X，使得X仅对我们感兴趣的时间段进行计时，从而，得到了这一风险过程的破产时间的LST变换表示式，本文最后给出了破产时间的数值计算实例。本文的结论具有实际可操作性，这些结论对于保险公司分析外界随机因素对保险业务的经营及管理的影响提供了理论基础，对保险人规避风险，稳健经营具有重要指导意义。本文提出的这一方法还可推广至其它风险过程，如可以考虑带红利分配，税收等情况下的风险过程，同时，这一方法也可用于网络通信，供应链、存储论等相关领域。

[1]Asmussen S.Stationary Distributions Via First Passage Times[J].In Advances in Queueing:Theory,Methods,and Open Problems,ed.Dshalalow[M].CRC Press,Boca Raton,FL,1995.

[2]Ramaswami V.Matrix Analytic Methods for Stochastic Fluid flows.Proceedings of The 16th International Teletraffic Congress[J].Edinburgh,1999,(7-11).

[3]Bean N G,O’Reilly M M,Taylor P G.Algorithms for The Laplace-Stieltjes Trans Forms of first Return Probabilities for Stochastic Fluid Flows[J].Methodology and Computing in Applied Probability 2008,10(3).

[4]Badescu A L,Breuer L.et al.Risk Processes Analyzed As Fluid Queues[J].Scand.Actuar,2005,15(1).

[5]Badescu A L,David L.Applications of Fluid Flow Matrix Analytic Methods in Ruin Theory A Review[J].Rev.R.Acad.Cerie A.Mat.2009,103(2).

[6]Ramaswami V.Passage Times in Fluid Models with Application to Risk Processes[J].Methodol.Comput.Appl.Probab,2006,8(4).

[7]Nigel G,Bean-Małgorzata M,O'Reilly.A Stochastic Two-Dimensional Fluid Model[J],Stochastic Models,2013,29(1).

[8]Latouche G,Ramaswami V.Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling[M].Sayam:Phladelphia,1999．

[9]Abate J,Whitt W.Numerical Inversion of Laplace Transforms of Probability Distributions[J].ORSA Journal on Numerical Merhods and Computer Applications,1995,7(1).