基于赫尔默特方差分量估计的水准网平差方法研究

龚 率 刘晓华 黄志伟 王洪伟

1 成都市勘察测绘研究院，成都市一环路北三段70号，610081

高差观测值的权决定了水准网内不符值和闭合差的分配原则，对水准网的平差计算和精度评定有重要意义［1－3］。水准网平差的传统定权方法是按水准路线的距离或按测站数定权。按距离定权的前提条件是每km 的高差观测等精度，高差观测的偶然中误差与距离呈正相关关系；按测站数定权的前提是每测站的高差观测精度一致，高差观测的偶然中误差与测站数呈正相关关系［4－5］。但对于起伏变化剧烈的水准网平差，不同测段间每km 或每测站高差观测的精度是否一致是值得商榷的。

本文从高差观测精度与地形起伏大小的关系出发，将高差观测值分类，并分别推导其偶然中误差计算公式，以此确定各类观测值的初始权。然后将赫尔默特方差分量估计法［6］的思想引入水准网平差计算中，以解决各类高差观测值权的匹配问题。

1 高差的分类及定权

1.1 高差的分类

在起伏大的测区每测站高差观测的精度较一致，在起伏小的测区每km 的高差观测精度较一致［6］。本文按地形起伏大小将高差观测值分为两类，首先定义“平均起伏度”K0：

式中，N总表示水准网中包含的测站总数，S总为水准网所有测段路线的距离总和（单位为km）。

同理，对于任意第i测段定义“测段起伏度”Ki：

式中，Ni为第i测段包含的测站数，Si为第i测段的路线长度。

由定义可知，“平均起伏度”K0反映水准网的总体起伏状况，“测段起伏度”Ki则反映特定测段的局部起伏状况。若Ki较大，则认为第i测段起伏较大，高差观测的偶然中误差与测站数的正相关程度大于其与水准路线距离的正相关程度，高差的权应按测站数确定；若Ki较小，则认为第i测段起伏较小，高差观测的偶然中误差与测站数的正相关程度小于其与水准路线距离的正相关程度，高差的权应按测段路线距离确定［2］。以“平均起伏度”K0作为判别值，将水准网的高差观测值分为两类：高差观测误差主要取决于测段包含的测站数，称为“Ki≥K0”类；高差测量误差主要受测段的路线长度影响，称为“Ki＜K0”类。

1.2 高差的分类定权

顾及§1.1高差分类的标准，任意测段i和j的高差权按如下方式确定［5］。

若Ki＜K0，高差的权Pi应按水准路线的距离计算：

若Kj≥K0，高差的权Pj按测站数计算：

其中，μ0为单位权中误差，为每km 高差中数的偶然中误差（单位为mm／km），为每测站高差中数的偶然中误差（单位为mm／站）。和按式（5）计算：

式中，n1为“Ki＜K0”类高差观测值的总数，n2为“Ki≥K0”类高差观测值的总数，di为测段往返测高差误差（单位为mm）。

2 水准网的赫尔默特方差分量估计

2.1 方差分量估计

赫尔默特方差分量估计法是一种较为成熟的验后估计方法［6］，广泛应用于全站仪边角网和三维网的最小二乘平差中。本文将其引入水准网平差计算中，具体过程如下。

1）按前文所述将水准网的高差观测值分为两类，并分别按式（7）定各类高差观测值的初始权。

2）进行预平差计算，并分别求得预平差后“Ki＜K0”类高差观测值改正数的加权平方和与“Ki≥K0”类高差观测值改正数的加权平方和。

3）按式（8）重新确定两类高差观测值的权［6］：

式中，

式中参数的具体含义见文献［6］。

4）根据两类高差观测值的新权，再次进行最小二乘平差，求得它们第一次估计的方差分量和，并按式（9）再次定权：

5）重复步骤2）～4），直至两类高差观测值的验后单位权方差相等为止，即满足。

2.2 水准网方差分量估计的应用前提

验后估计法是一种基于概率统计学原理的算法，在进行水准网的方差分量估计时必须保证高差观测值所组成的样本空间具有统计学意义，即水准网方差估计必须满足如下前提条件：

1）水准网中必须包含大量具有往返测量的高差观测值。

2）高差观测值能构成多个附合水准路线与闭合水准路线，即应存在大量的多余观测量。

3）水准网内测段间地形起伏差异较为明显。

4）水准网中“Ki＜K0”类与“Ki≥K0”类高差观测值的数量差异不能太大。

5）方差分量估计侧重从总体上调整各类观测量的权，同类观测量内部的权比关系受初始权的，影响较大，因此初始权的确定应力求合理。

3 算例分析

为比较本文方法与传统定权方法的差异，采用C＃语言编写水准网平差程序，并选取某高速铁路的二等水准网数据（该测区包含平原和山地两种地形，测段起伏缓陡不一），然后分别采用按距离定权（简称“S”）、按测站数定权（简称“N”）和赫尔默特方差分量估计（简称“Helmert”）等3种方法对算例数据进行平差计算和精度评定。

3.1 高程平差值和高程中误差的比较

3种定权方法高程平差值的差异情况如图1和表1所示。

表1 算例水准网各定权方法的高程平差值差异统计表Tab.1 Different level net weighting method of elevation adjustment value statistics

由图1和表1可知，算例水准网按测站数定权和按路线距离定权的高程平差结果差异特别显著，其平均差异约为0.8 mm，最大差异达1.5 mm。而方差分量估计的结果总体上介于两传统方法之间。

3种定权方法中高程中误差的差异情况如图2和表2所示。

图1 算例水准网各定权方法的高程平差值差异图Fig.1 Different level net weighting method of elevation adjustment value differences

图2 算例水准网各定权方法的高程中误差对比图Fig.2 Different level net weighting method of mean square error of elevation comparative statistics

表2 算例水准网各定权方法的高程中误差对比统计表Tab.2 Different level net weighting method of elevation adjustment value statistics

由图2和表2可知，赫尔默特方差分量估计平差后的高程中误差总体上处于两传统方法平差结果之间，并且方差分量估计平差后的高程中误差总体趋势较两传统方法缓和。

总之，方差分量估计的平差结果总体处于传统定权方法平差结果之间，能在一定程度上中和传统方法定权不准确所致的平差结果差异，较好地反映控制网的实测状况。

3.2 方差一致性检验

方差一致性检验是判定平差随机模型正确性的一个重要依据，是对平差定权方法正误判定的重要依据［8］。本文对3种定权方法的验后单位权方差在显著性水平α＝0.05下进行方差一致性检验，结果如表3所示。

由表3可知，按测站数定权和按水准路线距离定权的两种传统方法均不能通过检验，而方差分量估计的定权方法却能通过检验。由此可以说明，本文所提方法对测段的起伏状况具有良好的适应性，能更为准确地表达各高差观测值的实测精度。

表3 不同定权方法方差一致性检验统计表Tab.3 Different weighting method variance consistency check statistics

4 结 语

水准网平差中，传统的定权方法过度理想化高差观测精度与测站数或路线距离的关系，对整网仅采用按测站数或按路线距离定权，常使地形起伏差异较大的水准网平差不能得到理想的成果。本文提出的基于测段起伏状况分类的赫尔默特方差分量估计法比水准网平差的传统定权方法更能反映整个水准网的实测精度，为复杂地区大型水准控制网的平差计算和精度评定提供更为合理的定权方案，值得进一步深入研究。

［1］周永明，黄立人.定权误差对平差结果的影响［J］.地壳形变与地震，1987，7（1）：35－43（Zhou Yongming，Huang Liren.Influence of the Weight Error of Observations on Adjustment Results［J］.Crustal Deformation and Earthquake，1987，7（1）：35－43）

［2］梁振英.关于水准网平差中权的估算问题的探讨［J］.测绘学报，1983，12（1）：56－66（Liang Zhenying.The Discussion on Weight Estimation in the Adjustment of Leveling Network［J］.Acta Geodetica et Cartographica Sinica，1983，12（1）：56－66）

［3］陈健.水准网平差中权的设定问题［J］.武汉测绘学院学报，1980（2）：12－23（Chen Jian.On the Mode of Weighting in Leveling Nets Adjustment［J］.Journal of Wuhan University of Surveying and Mapping，1980（2）：12－23）

［4］薄志鹏.一等水准测量的实有精度和权的确定［J］.武汉测绘学院学报，1983（2）：1－15（Bo Zhipeng.The Determination of First Order Leveling Measurement of Actual Accuracy and Weighting［J］.Journal of Wuhan University of Surveying and Mapping，1983（2）：1－15）

［5］龚率.工程控制网平差的定权方法研究及其软件研制［D］.成都：西南交通大学，2013（Gong Shuai.Study on Weighting Methods and Software Development in the Adjustment of Engineering Control Network［D］.Chengdu：Southwest Jiaotong University，2013）

［6］崔希璋，於宗俦，陶本藻，等.广义测量平差［M］.武汉：武汉大学出版社，2009（Cui Xizhang，Yu Zongchou，Tao Benzao，et al.Generalized Surveying Adjustment［M］.Wuhan：Wuhan University Press，2009）

［7］武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础［M］.武汉：武汉大学出版社，2009（Subject Group of Surveying Adjustment，School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University.Errors Theory and Fundation of Surveying Adjustment［M］.Wuhan：Wuhan University Press，2009）

［8］刘长建，马高峰.Helmert方差分量估计结果的方差一致性检验 实 质［J］.测绘学院学报，2002，19（2）：96－98（Liu Changjian，Ma Gaofeng.The Essence of Test for Uniform Variance of Variance Component Estimation of Helmert Type［J］.Journal of Institute of Surveying and Mapping，2002，19（2）：96－98）