利用函数思想解释数列通项公式求法——以《一类数列通项公式的求法》一课教学为例

刘铁龙(延边第二中学，吉林延吉　133000)



利用函数思想解释数列通项公式求法
——以《一类数列通项公式的求法》一课教学为例

刘铁龙
(延边第二中学，吉林延吉133000)

摘要：在高中数学求数列通项公式的教学中，有些方法教师在教学中只是告诉学生怎么用，但是具体的应用原理学生并不知道。本文利用函数有关知识和函数思想，以它们之间的内在联系为纽带，将函数与数列联系起来，通过函数思想解释了该问题的解题思想，以期使学生从理论和实践上接受和理解新知识。同时通过多种解题方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握问题的解法，从中领会到推导过程中所蕰含的数学思想。

关键词：函数思想通项公式递推关系待定系数法

一、利用函数思想解释数列通项公式求法的重要性

通过数列的学习，我们知道数列是关于正整数n的函数。因此对于数列问题的研究可以充分利用函数有关知识，以它们之间的内在联系为纽带，架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列的相关问题。在近几年的高考中，求数列的通项公式是高考重点考查的内容，在教学中教师应该引导学生在探讨基本数列-----等差数列和等比数列通项公式的基础上，注重这两个数列通项公式的推导过程，从中得到启发，去研究一些本身既不是等差数列，又不是等比数列的数列，利用一些数学思想，去研究它们的通项公式。其中应注重体现体现化归思想在数列中的具体应用。化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；正因为函数与数列之间的内在联系，教师在教学中应体现化归思想，将函数知识转化为数列知识，利用函数思想解释数列的一些问题。培养学生“观察、分析、提出问题和解决问题的能力”，

二、利用函数思想解释数列通项公式求法能够达到的教学目的

(1)知识与技能：根据数列的递推关系，利用待定系数法求数列的通项公式。

(2)过程与方法：熟练掌握数列的知识网络结构及相关关系，掌握数列通项公式的求法。

(3)情感态度与价值观：

①通过对数列的通项公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；从而激发学生的学习兴趣，培养良好的学习品质。

②通过对数列递推公式问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

通过利用函数思想解释数列通项公式求法的教学使学生能够更好的用联系的观点看待研究对象。培养了学生勇于探索的精神。理解待定系数法求数列的通项公式方法的含义。

三、利用函数思想解释数列通项公式求法的过程

1.创境设疑，引导探究

提出问题（1）等差数列和等比数列的通项公式？

（2）等差数列和等比数列的通项公式的推导过程？

（3）我们学习了几种求数列通项公式的方法？

学生1：回答问题1、2（略）。

学生2：回答问题3（略）。

教师：两位同学回答得很全面，对于具有等差性和等比性的数列，我们可以通过基本量a1和d或a1和q就可以求出它们的通项公式。但是在数列的研究中，我们还会涉及到另一种数列：比如“已知某数列{an}的首项a1=1，且an=2an-1+ 1(n≥2)”，对上面数列{an}的分析，我们发现它既不是等差数列，又不是等比数列，因此它不能用等差数列或等比数列性质来解决。这就需要我们探讨一种新的解决方法，这节课我们就来研究这个问题。

教师：我们看问题（2）：已知数列{an}的首项a1=1，且an=2an-1+1(n≥2)，求此数列{an}的通项公式．根据前面所学知识，哪位同学谈谈你的想法？

学生3：根据递推关系：an=2an-1+1，可以将数列{an}的前几项写出来，进行猜想，从中可以发现规律。

教师：这个想法很好，大家试一试，看看有何规律?

学生动笔进行计算。通过计算学生得到数列{an}的前几项：1,3,7,15,31,63,127,……教师：我们得到数列{an}的前几项：1,3,7,15,3 1,63,127,……，那么我们应该怎么处理才会把数列{an}变成我们学过的数列形式呢？

学生3：如果将数列{an}的每一项都加上1，就变为2,4,8,16,32,64,128,……,就可以得到一个首项为2、公比为2的等比数列。令bn=an+ 1，即构造出等比数列{bn }，可以先求{bn }的通项，再求{an}的通项公式。

教师：学生3的思路非常正确，通过学生3的思路的启发，哪位同学能具体解一下？学生4：将an=2an-1+1两边同时加1，得到an+1 =2(an-1+1).构造出等比数列{ an+1}，从而使问题得到解决。

教师：学生4回答得很好。如果将an=2an-1 +1变为：an=5an-1+2.如何解决呢？我们应该得到一个什么样的等比数列呢？

这时绝大部分学生仿照上题的解法,开始进行猜想，有的在等式的两端同时加上1,有的同时加上2,也有的同时加上3,…….结果,大部分学生的亲身实践活动未获成功.虽然有的学生经过验证想到两边加上0.5，但只是猜想验证出来的，依然不知规律所在。

大家顺利地完成了问题，但是为什么加感到疑惑。

生4:老师,怎样才能想到在递推关系的两边都加上0.5的?怎样才能看出来？

教师:这个问题提得好，下面我们来解决这个问题。

教师提出问题（3）：如何求直线y=5x+2与直线y=x的交点坐标是什么？

师:如果我们可以将an=5an-1+2.与函数y=5 x+2等价转化后，由问题2的启发我们能否理解为什么要加？

大部分同学表现出恍然大悟的表情，为后面的教学打下了基础。

教师:通过刚才的学习，利用函数与数列之间的内在联系，我们理解了an=2an-1+1和an=5an-

的来源。受到这个问题的启发，如何解决：已知数列{an}的首项a1=1，且an=3an-1+2(n≥2)，求通项公。

教师:生6的解答非常正确，这种方法也叫做待定系数法。

大部分学生对生6的解释感到合理、正确。

教师:通过上面的学习我们能否将问题一般化，即对于数列{an}，满足,(m¹1)(n≥2),我们如何求它的通项公式？

使问题得到解决。

教师:通过这几名学生的分析，我们通过函数

教师:学生8的解法是一种非常美妙的解法，学生8发现数列{an}的另一个特点：从第二项起，每一项和前一项的差构成等比数列，从而使问题得到解决。

2.学生巩固练习，练习题(略)。

3.老师结合学生作答进行评讲（略），最后小结。

在多年的教学中，每当讲到则、这部分知识时，基本都是教师直接讲题型和方法，学生只是被动地接受了方法，但不知所以然。因此在这节课中，笔者利用了函数思想，将函数与数列进行了联系，通过函数思想解释了该问题的解题思想，，使学生从理论和实践上接受和理解了新知识。同时本节课通过多种解题方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了问题的解法，学生从中深刻地领会到推导过程中所蕰含的数学思想，培养了学生作为主体主动地有目的地学习的能力。

教师在教学中要充分发挥学生的主观能动性，让学生展示自己的观点，也有助于提高课堂的气氛。在师生互动过程中教师要创设一个个问题情境，让学生带着问题去思考。同时教师要鼓励每个学生都参与到问题的讨论中，鼓励他们发表自己的见解。分析他们的闪光点，进行表扬和鼓励，使他们树立起学习数学的信心，让他们感受到数学的美。要注重激发学生的潜能，引发学生积极思考，在思考过程中提炼数学思想、解题策略，进一步提高学生观察、分析、解决问题的能力。

收稿日期：2015—03—06

文章编号：1673-4564（2015）02—0120—03

文献标识码：A

中图分类号：G633.6