关于丢番图方程|3x-2y|=p

管训贵

(泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300)

关于丢番图方程|3x-2y|=p

管训贵

(泰州学院 数理学院，江苏 泰州 225300)

设p为奇素数，研究了丢番图方程|3x-2y|=p表素数的问题，所用的方法仅限于取有限模。

丢番图方程；素数；正整数解

1 引言及主要结论

丢番图方程|3x-2y|=p(p为奇素数)的求解问题，引起了不少数论爱好者的兴趣。文献[1]证明了p=41，43，53，59，67，71时，此方程均无非负整数解。本文将给出一般性的结论，从而对文献[1]的结论进行推广，所用的知识仅限于整除与同余。

定理1 设p为奇素数，对于丢番图方程

3x-2y=p，

(1)

(Ⅰ)若p≡5(mod12)，则方程(1)除去p=5，x=y=2和p=17，x=4，y=6外，无其他的正整数解；

(Ⅱ)若p≡7(mod8)，则方程(1)除去p=3a-2(2|a)，x=a，y=1和p=3a-4(2|a)，x=a，y=2外，无其他的正整数解，这里a∈N*；

(Ⅲ)若p≡43，59(mod 240)，则方程(1)无正整数解；

(Ⅳ)若p≡67(mod 504)，则方程(1)无正整数解。

定理2 设p为奇素数，对于丢番图方程

2y-3x=p，

(2)

(Ⅰ)若p≡1，3(mod 8)，则方程(2)无正整数解；

(Ⅱ)若p≡53(mod 80)，则方程(2)无正整数解；

(Ⅲ)若p≡71(mod 1008)，则方程(2)无正整数解。

2 关键性引理

引理1[2]方程xy-(x-1)z=1仅有正整数解(x，y，z)=(1，s，t)，(2，1，t)，(r，1，1)和(3，2，3)，这里r，s，t为任意正整数，且r≥3。

引理2[3]设a关于模m的阶是t，则ar≡1(modm)成立的充要条件是t|r。

3 定理的证明

先证定理1，设方程(1)有正整数解(x，y)。

证明 (Ⅰ)对方程(1)模3得(-1)y≡1(mod 3)，故2|y，即y≥2。又模4得(-1)x≡1(mod 4)，故2|x。令x=2x1，y=2y1(x1，y1都是正整数)，代入方程(1)得

(3x1+2y1)(3x1-2y1)=p。

因p为素数，故必有3x1+2y1=p，且3x1-2y1=1。根据引理1，x1=y1=1及x1=2，y1=3。此时p=5或17。

(Ⅱ)y=1时，令x=a，则方程(1)有正整数解x=a，y=1，此时p=3a-2。由3a-2≡7(mod 8)知，3a-2≡1(mod 8)，因3对模8的阶是2，故由引理2知2|(a-2)，即2|a。y=2时，令x=a，则方程(1)有正整数解x=a，y=2，此时p=3a-4。由3a-4≡7(mod 8)知，3a-1≡1(mod 8)，类似可得2|a。y≥3时，对方程(1)模8得3x≡-1(mod 8)，即1，3≡-1(mod 8)，显然不可能，故方程(1)无y≥3的正整数解。

(Ⅲ)情形A。p≡43(mod 240)，对方程(1)模3得2y=3x-p≡-1(mod 3)，故2|y。

若y=1，则3x-2=p，令x=a，则p=3a-2。由3a-2≡43(mod 240)知3a-2≡5(mod 80)，即3a-2≡0(mod 5)。因此方程(1)不可能有正整数解。

若y=3，则3x-8=p，令x=a，则p=3a-8。由3a-8≡43(mod 240)知3a-1≡17(mod 80)，但3a-1≡1，3，9，27(mod 80)。矛盾，也不可能。

若y≥5，对方程(1)模16得3x≡p≡11≡27(mod 16)，即3x-3≡1(mod 16)。又3对模16的阶是4，故由引理2知4|(x-3)。令x=4k+3，对方程(1)模5，并注意34≡1(mod 5)，得2y=3x-p=34k+3-p≡27-3≡-1≡-24(mod 5)，即22(y-4)≡1(mod 5)。因2对模5的阶是4，故由引理2知4|2(y-4)，即2|(y-4)，从而2|y，这与2|y矛盾，故方程(1)无y>3的正整数解。

情形B。p≡59(mod 240)，对方程(1)模3得(-1)y≡1(mod 3)，故2|y。若y=2，则3x-4=p，令x=a，则p=3a-4。由3a-4≡59(mod 240)知3a-2≡7(mod 80)。但3a-2≡1，3，9，27(mod 80)。矛盾，因此方程(1)不可能有正整数解。

设y≥4，对方程(1)模16得3x≡p≡11≡27(mod 16)，即3x-3≡1(mod 16)。又3对模16的阶是4，故由引理2知4|(x-3)。令x=4k+3，对方程(1)模5得2y=3x-p=34k+3-p≡27-4≡-2(mod 5)，即22(y-1)≡1(mod 5)。因2对模5的阶是4，故由引理2知4|2(y-1)，即2|(y-1)，从而2|y，这与2|y矛盾。故方程(1)无y>2的正整数解。

(Ⅳ)因3x>p≥67，故x≥4。对方程(1)模9得-2y≡4(mod 9)，即2y-2=-1(mod 9)，因此22(y-2)≡1(mod 9)，而2对模9的阶是6，故由引理2知6|2(y-2)，即3|(y-2)，且2|(y-2)，从而y≡5(mod 6)。令y=6k+5，对方程(1)模8得3x≡p≡3(mod 8)，故2|x。又对方程(1)模7得3x=2y+p=26k+5+p≡4+4≡1(mod 7)，故必得6|x，这与2|x矛盾。故方程(1)无正整数解。

定理1得证。

下面证明定理2，设方程(2)有正整数解(x，y)。

证明 (Ⅰ)易知，y>x≥1。

情形A。p≡1(mod 8)，若y=2，则x=1，但此时p=1，不合题意，故y≥3。对方程(2)模8得-3x≡1(mod 8)，即-1，-3≡1(mod 8)，显然不可能，故方程(2)无正整数解。

情形B。p≡3(mod 8)，若y=2，则3x=4-p，只有p=3，此时y=0，不合题意。故y≥3，对方程(2)模8得-3x≡3(mod 8)，即-1，-3≡3(mod 8)，显然也不可能，故方程(2)无正整数解。

(Ⅱ)因2y>p≥53，故y≥6。对方程(2)模16得-3x≡5≡-27(mod 16)，即3x-3≡1(mod 16)，因3对模16的阶是4，故由引理2知4|(x-3)。令x=4k+3，对方程(2)模5，并注意34≡1(mod 5)得2y=3x+p=34k+3+p≡27+3≡0(mod 5)，显然不可能，故方程(2)无正整数解。

(Ⅲ)对方程(2)模16得3x≡-7≡9(mod 16)，即3x-2≡1(mod 16)。而3对模16的阶是4，故由引理2知4|(x-3)。令x=4k+2，对方程(2)模9得2y=3x+p=34k+2+p≡8(mod 9)，即2y-3≡1(mod 9)。又2对模9的阶是6，故由引理2知6|(y-3)。令y=6l+3，再对方程(2)模7，并注意26≡1(mod 7)，得3x=2y-p=26l+3-p≡8-1≡0(mod 7)，显然不可能，故方程(2)无正整数解。

定理2得证。

值得一提的是：利用取有限模的方法，还可以解决一类素数底的指数不定方程问题。

定理3 (Ⅰ)不定方程1+5x+13y=19z仅有正整数解(x，y，z)=(1，1，1)；

(Ⅱ)不定方程1+3x+7y=17z仅有正整数解(x，y，z)=(2，1，1)。

证明 (Ⅰ)对原不定方程取模3得(-1)x≡-1(mod 3)，故x≡1(mod 2)；对原不定方程取模5得3y≡(-1)z-1(mod 5)，故z≡1(mod 2)；对原不定方程取模8得(-3)y≡-3(mod 8)，故y≡1(mod 2)。

若y=1，则原不定方程为：

14+5x=19z，

(3)

假定x>1，对(3)式取模25得：

14≡19z(mod 25)。

(4)

因对模25，有191≡19，192≡11，193≡9，194≡21，195≡24，196≡6，197≡14，198≡16，199≡4，1910≡1。故(4)式给出z≡7(mod 10)。

再对(3)式取模11得：

5x≡-1(mod 11)，

(5)

又对模11，有51≡5，52≡3，53≡4，54≡9，55≡1。故知(5)式不成立。于是x=1，此时z=1。即原不定方程有正整数解(x，y，z)=(1，1，1)。

若y>1，对原不定方程取模7知2x-z≡1(mod 7)。因2对7的阶是3，故3|(x-z)。注意到2|(x-z)，有6|(x-z)，即x≡z(mod 6)。对原不定方程取模13知：

1+5x≡6z(mod 13)，

(6)

因5对13的阶是4，6对13的阶是12，并且对模13，有：

51≡5，52≡12，53≡8，54≡1；

61≡6，62≡10，63≡8，64≡9，

65≡2，66≡12，67≡7，68≡3，

69≡5，610≡4，611≡11，612≡1。

故(6)式给出x≡1(mod 4)，z≡1(mod 12)，从而x≡z≡1(mod 12)。由于y>1，故对原不定方程取模169，由1+5x≡19z(mod 169)，依上述证明方法可得x≡45(mod 52)，即x≡45，97，149(mod 156)。但x≡1(mod 12)，故仅有x≡97(mod 156)。再对原不定方程取模157可得矛盾结果，即y>1时原不定方程无正整数解。

综上，原不定方程仅有正整数解(x，y，z)=(1，1，1)。

(Ⅱ)的证明类似于(Ⅰ)的证明，从略。

[1] 周科.关于|3x-2y|表素数的问题[J].广西师范学院学报：自然科学版，2005，22(3)：15-17.

[2] 管训贵.关于Diophantine方程xy-(x±1)z=1[J].唐山学院学报，2011，24(3)：35-36.

[3] 管训贵.初等数论[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2011：206.

(责任编校：夏玉玲)

On the Diophantine Equation |3x-2y|=p

GUAN Xun-gui

(School of Mathematics and Physics，Taizhou College， Taizhou 225300， China)

The author of this paper demonstrates that the diophantine equation |3x-2y|=pdenotes a prime number whenpis set as an odd prime and the method used is limited to finite mode.

diophantine equation； prime； positive integer solution

O156

A

1672-349X(2015)03-0012-02

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.03.004