点燃学生“再思考的火种”

张杰

教科书里的数学知识，有着准确的定义、逻辑的演绎、严密的推理，被显性地印在纸上，看起来直观明了，却也因此掩盖了数学发现、创造的真实过程，忽略了数学家繁复曲折的数学思考。因此，数学教师的责任在于返璞归真，在符合教育心理规律的前提下揭示数学本质，还数学本来面目。正因为有这样的认识，在吴正宪老师的数学课堂上，我们总能看到吴老师借助一个个的问题，来激起学生内心深处学习、求知、探索的欲望。正是有了这样的激发，这样的体验，学生探求数学知识本源的愿望呼之欲出。吴老师曾经说过，教师“不仅要让学生知道数学结论，更要带着学生溯本求源去寻根。让学生看到知识背后的知识，还有知识背后的思考”。下面就让我们一起走进吴老师的追本溯源的寻根课堂吧。

一、在体验中“追本”

在课堂教学中，有教师常常习惯性地将成人的观念，披上所谓“知识”的外衣，用标准化答案的方式灌输给学生，剥夺了学生体验与感悟的过程。如有教师在教学“面积单位”一课时偏重于面积的计算和单位的换算，一味强调1平方厘米、1平方分米和1平方米各有多大。此举看似重视了学生空间观念的建立，殊不知却忽视了量的实际意义。试想没有触及学生心灵深处的“知识”，如何能够寻到数学的“根”呢？

同样是“面积单位”一课，在吴老师的课堂上却无时无刻不在开展以学生体验为基础的教学活动，吴老师注重结合实例让学生用自选的单位去测量面积，在不断的矛盾冲突中亲身体验统一面积单位的必要性，为此特别设计了这样一组情节：首先请学生拿出两张面积大小很接近的长方形和正方形彩纸，想办法比较出这两张彩纸谁的面积大？学生接到任务，纷纷投入到了探索活动中。很快，有的学生就发现了用重合、剪拼的方法能够很快地比较出两者的大小，并通过自己的实践找到了问题的答案。

可是，接下来吴老师提出了一个更具挑战性的问题，可谓吊足了学生的胃口：如果是比较两块土地的面积谁大，用刚才的方法还行不行？那你们有什么办法可以比较出土地的大小？在经过一番思考后，有的学生提出可以借用一个物体作标准，先分别测量出两块土地的面积，再进行比较。有了新的想法，于是课堂上便有了学生的第二次操作。每组学生利用学具袋中的学具（若干个长方形、正方形、三角形和圆形的纸片）先分别测量出两张纸的面积，再将测量的结果进行比较。学生在这次拼摆过程中不仅发现了圆与圆之间有缝隙，不能准确测量出图形的面积。还发现了因为各小组选择的测量图形不同，虽然长方形、正方形、三角形都能准确测量出图形的面积，并比较出彩纸的大小，但涉及到大多少这个问题时得到的答案却不一致。

谁大 大多少

通过动手体验，学生们很快得出了这样一个结论：需要选择一个统一的标准，这样才便于交流。选谁好呢？这似乎又成为了摆在学生面前的一个现实问题。不过在这里吴老师并没有刻意为难学生，而是直接告诉大家在人类历史上最终选择的是用正方形作为测量面积的标准，并请同学们思考其中的原因。此时，学生的头脑中会再次呈现刚才的拼摆过程，在回忆中仿佛又进行了一次操作。“三角形拼摆起来太麻烦了，老对不上。”“长方形因为相邻两条边的长度不同，拼摆起来也比较麻烦。”“对，正方形4条边长度相等，特别好拼摆。”……在同学间的相互启迪、交流中，学生发现无论是三角形还是长方形最终都可以转化成正方形，因此，人们选择正方形作为一个统一的标准还是有道理的。

此时看来问题好像解决了，可接下来的一个游戏却使学生刚刚建立起来的认知平衡，又一次被无情的事实击垮了。游戏的内容是这样的：首先请男生闭眼，女生观察并用语言描述自己所看到的A纸的面积相当于几个小正方形的面积？然后交换角色，男生观察并用语言描述自己看到的B纸的面积又相当于几个小正方形的面积？如图：

A B

然后大家都睁开眼，猜一猜哪张彩纸面积大？因为A纸的面积相当于4个小正方形的面积，而B纸的面积相当于16个小正方形的面积，学生想当然地认为B纸面积比A纸面积大。可将两张纸重合比较的结果却是两张纸的面积一样大。是什么影响了测量的准确性？疑问使学生又一次产生了探索的欲望，他们争相陈述着自己的见解，当谜底揭开的那一刻，学生都笑了。笑声中不仅有猜想得到验证后的欣喜，更提醒着他们今后在选择正方形作测量标准的同时还要注意统一它的大小。

那多大合适呢？问题似乎一个接着一个，可以说整堂课自始至终学生都是在操作中体验，在体验中质疑、思考，在体验中发现、创造，在体验中抽象、提升。

下课的铃声响了，尽管学生没能有更多的时间在课堂上做一些有关面积单位的巩固练习题，但他们却在充足的时间内用自己的头脑和双手进行了一次次的实验和探索，亲身经历了数学知识的形成过程，对这堂课的“知识”显然理解得更加透彻，感悟到的也更多了。这难道不比多做几道练习题更有价值吗？

二、在历史中“溯源”

有句话叫作“不懂历史的人没有根”。数学的学习也是一样。追本溯源的数学课堂更应该有意识地引导学生去了解数学之源。以“圆的周长计算”一课为例，当学生通过观察、操作、思考，发现了“圆的周长总是它直径的3倍多一些”这个规律时，通常教师的做法是先肯定学生发现的规律，然后反问：“到底是3倍多多少呢？”由此引出圆周率π。“圆周率是怎样发现的？”由此引导学生翻看课本小资料，讲述祖冲之的故事并对学生进行德育教育：早在1500年前，祖冲之把圆周率算到了3.1415926和3.1415927之间，比外国人早了整整一千年，这是中华民族对世界数学发展的一个巨大贡献，今天，同学们自己动手也发现了这一规律，老师相信同学们当中将来也会有人成为像祖冲之一样伟大的科学家。根据需要，在计算中我们一般保留π的两位小数。

吴老师在教学这一内容时，并没有马上对学生发现的规律予以肯定，而是又提出了新的问题：“用实验的方法得到的数据，受误差的影响会不够精确，那怎么办？到底圆的周长与直径之间存在的这个3倍多一些的关系是变化的还是确定不变的？如果是确定不变的又该怎样得到呢？“这一问题显然难倒了学生。因为事实上这个令人头疼的问题同样曾经困扰了人类数千年！endprint

此时，学生们绞尽脑汁，而吴老师正是利用了学生的这一思维节点，对圆周率的历史进行了介绍：在古代巴比伦、印度、埃及、中国，由于生产生活的需要，人们用实验测量的方法就已经知道，圆的周长与直径之比大约为3。公元前2世纪，中国的《周髀算经》里也出现了“周三径一”的记载。东汉时期官方还明文规定计算圆大小的标准是取周长与直径的比值3，后人称之为“古率”。用这个古率估计圆的面积时，没有太大影响，但以此来制造精细的圆形器皿就不太合适了。为求得圆的周长与直径更精确的比值，人类走过了一条漫长而曲折的道路！

此时，吴老师特别介绍了割圆术，并借助电脑进行了演示。

通过电脑的演示，学生很直观地就能发现正多边形的边数越多越接近圆。

吴老师又提问：此时这个正多边形的周长仍然只是圆的周长的近似值！但却是可以控制的了，可以用计算的方法来代替操作测量的方法了，而且这种方法所能达到的精确程度是操作测量永远无法达到的！我国魏晋时期的数学家刘徽正是用这样一种全新的割圆的思想来研究圆的周长与直径的比值的！这就是著名的——割圆术！后来，我国另一位伟大的数学家祖冲之，继承并发扬了刘徽的思想，他将这个比值精确到3.1415926与3.1415927之间，这是人类历史上第一次将这个比值算得如此精确，并且这个纪录保持了将近一千年而无人超越！再后来，历经中外许多数学家呕心沥血、坚苦卓绝的演算、证明，人们终于认识到：圆的周长（C）与直径（d）的比值，是一个固定不变的数，是一个无限不循环的小数，称之为圆周率，用希腊字母π来表示。当然，人类对圆周率的探索从未停止过，计算机的诞生结束了人类手工计算π的历史，目前最新的世界纪录是：日本科学家利用超级计算机已经将圆周率算到了小数点后上万亿位！

这样一节数学课，除了有数学知识的教学外，还洋溢着浓浓的人文气息。在揭示圆周率时，吴老师没有例行公事一样地推出学生早已熟悉的祖冲之，进行老生常谈的爱民族、爱祖国的教育，而是介绍了刘徽的“割圆术” 。接着谈到祖冲之是站在前人的肩膀上才有了将π值精确到小数点后7位的辉煌成就。在此过程中，学生亲历正多边形逼近圆的过程，体会割圆术中所闪烁的化曲为直、极限等丰富的数学思想内涵，同时经历了圆周率的研究史。吴老师还在看似简单的叙述中渗透了数学文化和数学思想方法，使学生体会到人类对真理和完美的追求正像圆周率的小数位数无穷无尽一样，也是永无止境的。使得学生的心灵徜徉在数学的历史长河里，切身感受着数学的文化价值。

吴老师的课堂向我们展示了数学极富魅力的一面。呈现在学生面前的不再是以往数学课上乏味单一的定理、公式、计算和题海，而是数学的思想、精神和方法。在吴老师的课堂上，我们可以随时随地触觉到数学的源头、数学的精神乃至数学的力量，似乎呈现在我们眼前的不再是一两页薄薄的教材，而是一幅源远流长的数学画卷。吴老师让更多的学生感受到数学虽然从表面上看是枯燥无味的，然而它却有着一种更为隐蔽的、深邃的美，一种感性与理性交融的美，一种彰显人文精神的科学美。

（北京市东城区教育研修学院 100000）endprint