“除数是两位数除法”的教材比较分析

周丽娇

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）颁布后，新教材于今年9月份全面铺开使用。本文即运用内容分析法，对课程改革之前本地区使用的义务教育六年制小学课本（以下统称“大纲教材”）、人教版2003课程标准实验教科书（以下统称“实验教材”）和人教版2013课程标准教科书（以下统称“课标教材”）这三个版本的教材中有关“除数是两位数除法”的内容进行比较分析，探析其编写特点，以便能更好地解读教材，厘清知识编排结构，在梳理中明变革、知传承，深化对教材的认识，这样才能更好地构建自己的课堂教学。

“除数是两位数除法”是小学生学习整数除法的最后阶段，是在学生学习了“一位数乘两位数乘法”“除数是一位数除法”的基础上编排的。

一、体例结构上的变与不变

“除数是两位数除法”课标教材和实验教材都安排在四年级上册，主要内容包括口算除法、笔算除法和商的变化规律，具体按“例题、想一想、做一做、练习、整理和复习”这五大体例来编排，不同的只是例题数和习题数。大纲教材则是将这一内容安排在三年级下册的第3单元，除了编排了除数是整十数的口算除法、除数是两位数的笔算除法外，还编排了连除应用题和连除的一些简便计算。体例上是按“准备题、例题、试一试、做一做、练习、复习”这六大块来编排的。

就体例结构而言，大纲教材比课标、实验教材多了“准备题”和“试一试”，课标、实验教材比大纲教材多了4小题“想一想”，其他基本类同。

（一）关于准备题

课标、实验教材没有编排准备题，而大纲教材则在每个例题前都编排了1～2题的准备题。准备题的编排重视学生已有的学习经验，大多是以原有知识作为新课起点，起铺垫作用。具体内容见表1。

表1：大纲教材中“除数是两位数除法”例题与准备题

例题 准备题

口

算

除

法 例1：

80里面有几个10？

80里面有几个20？

例2：

120÷30=□ 80÷2、60÷3（首位能整除的整十数、整百数除以一位数）

120÷6、240÷8（首位不能整除的整十数、整百数除以一位数）

目的是为了复习整十、整百数除以一位数的口算方法，为学习整十数除整十数、几百几十数做准备

笔

算

除

法 例1：

90÷30=□

例2：

200÷60=□

……□

（除数是整十数的笔算除法） （1）口算：

40÷20

320÷80 笔算除法试商是以口算除法为基础的。此口算题是为例题教学做准备

（2）（ ）里最大能填几？

60×（ ）<200

50×（ ）<310 括号里最大能填几是试商的思考方法，为学习笔算除法作铺垫

例3：

96÷32=□

例4：

143÷41=□

……□

（“四舍”法试商） （1）（ ）里最大能填几？

40×（ ）<92

20×（ ）<171 复习试商和除数是整十数除法的计算方法，为“四舍”法教学作铺垫

（2）

例5：443÷58=

（“五入”法试商） （1）（ ）里最大能填几？

30×（ ）<84

60×（ ）<478 复习除数是两位数除法的试商方法和用“四舍”法取除数接近整十数的试商方法

（2）

例6：

283÷72=□（初商过大需调商） （1）在下面的○里填上>、<或=。

62×6○361

21×7○145

32×8○256

72×5○361

为调商计算做铺垫。因本课的难点是出现初商过大时要调商

（2）289÷72 复习巩固笔算除法的计算方法

例7：392÷48

（初商过小需调商）

（1）（ ）里最大能填几？

58×（ ）<350

37×（ ）<154

49×（ ）<248

68×（ ）<492 为估商作铺垫

（2）382÷48 复习笔算除法的计算方法，为教学例7做准备

例8：

70÷14=□

例9：

209÷26=□

（除数个位是4，5，6的两位数除法） 25×5

14×6

15×7

24×8

25×3

16×9 除数个位是4，5，6的两位数除法，由于不接近整十数，用“四舍五入”法把除数看成接近整十数试商，调商次数较多，比较麻烦。用特殊的“口算试乘”法去试商可提高计算的正确率和速度。而准备题是为本课的“口算试乘”作服务的

例10：

644÷28=□

例11：

3052÷42=□

（除数是两位数除法的计算法则概括）

本课是法则的总结。除数是两位数与除数是一位数的商的最高位的试商方法是完全相同的。准备题是为例题法则总结作铺垫

例12：

3594÷58=□

（验算） 222÷37=6

6×37=□

315÷45=7endprint

7×45=□

14÷3=4……2

4×3○□=14 复习了整除与有余数除法中被除数、除数、商以及除数之间的关系，为例题验算教学做准备。例题教学中就可以让学生根据以上关系自己列式验算，为学生参与教学过程创造条件

例13：

9568÷46=□

（商中间有0的除法） （1）648÷6

817÷4 除数是一位数除法中商中间有0的除法学生已学过，为例题教学作铺垫

（2）判断下面各题的商是几位数。

判断商是几位数，由此可推出除数是两位数除法的估商位数的估商方法，为例题教学做准备

例14：

7920÷33

（商末尾有0的除法） 5040÷8

7200÷6

450÷5 复习除数是一位数，商末尾有0的除法

备注：例15、例16连除应用题，例17连除的简算略

数学是逻辑性很强、系统性严密的学科，每个知识节点间都是前后连贯紧密联系的。即旧知是新知学习的基础，新知又是旧知的顺应、组合和发展。从上表中可看出大纲教材中的“准备题”都是根据知识间的联系、组合而转换、迁移过来的。笔者认为，这些准备题既可为学生的自学、探究学习提供样板，在自学、探究学习中使学生的迁移意识、迁移能力得到培养，又可为年轻教师的课堂教学提供“脚手架”。小学数学教科书是小学数学教学的基本载体，在数学课堂教学中具有不可替代作用，而尤以新教师更甚，新教师相对来说对教材的解读能力、开发能力比较薄弱。如大纲教材中的“例6：283÷72=□（初商过大需调商）”，准备题“（1）在下面的○里填上>、<或=”就是为调商计算作铺垫的；在准备题“（2）289÷72”中，学生计算并说说计算的思考过程后，教师可直接把被除数289改成286，可设计提问：你们准备商几？（因为刚在例4学习了“四舍”法试商，学生一般会说商4）。算一算发现了什么问题，怎么改——这样的过程叫“调商”。又如例13商中间有0的除法，准备题（1）复习了除数是一位数除法中商中间有0的除法，准备题（2）在学生判断商是几位数的练习后，此时教师只要引导学生小结：看被除数的前两位大于（或等于）除数，商的位数比被除数的位数少1位；如果前两位小于除数，商的位数比被除数的位数少2位，这就是“除数是两位数除法”的估商位数方法。最后引入例题教学。如此种种教师都可充分利用准备题中的“例子”来引导学生寻找知识生长点，让学生顺着这个生长点进行自主探究学习，在探究过程中使学生了解知识的来龙去脉，有利于认识构建。同时，于新教师而言，编排中教学方法的渗透，方式上的由浅入深、循序渐进，从具体到抽象，都有利于新教师在新课教学时有所遵循，从而少走弯路。

（二）关于试一试、练一练

在每个例题后，大纲教材安排了“试一试”“练一练”。“试一试”类同于课标、实验教材中的“做一做”，形式单一，多为基础练习。而“练一练”是在“试一试”基础上的提升，内容相对来说较丰富，个中习题都是围绕着本节课的例题编排、服务的。如例5学习“443÷58（“五入”法试商）”在2小题“试一试”后编排了“练一练”，“练一练”中的5道习题都是围绕着例5内容，分别是（1）先说说下面各题的除数可以看作多少试商，再进行计算；（2）（ ）里最大能填几？；（3）（4）是用竖式计算有12小题；（5）算用结合。这5道习题重点是巩固试商方法，并能正确地进行计算，但每题的要求又有所侧重。

大纲教材这种体例编排优点外显。“除数是两位数除法”是比较复杂的计算知识，学生在理解算理、算法的基础上得花费一定的时间和精力——得有适量的练习来掌握计算方法、拓宽计算思路和提高学生的计算技能，而后才能正确、熟练、灵活地计算。教材按“准备题→例题→试一试→练一练”的顺序编排，结构清晰而完整，练习适量。这样的编排方式给了学生一个完整“自学单”，学生可完全借助已掌握的知识技能来对新知的学习产生积极的影响，体现了学生学习的自主性。

（三）关于想一想

课标教材和实验教材在口算除法例题教学后都安排了相应的除法估算，即“想一想：83÷20≈，80÷19≈，122÷30≈，120÷28≈”，这样编排的目的是为估商、试商做准备的。这在大纲教材中是没有的。

应该说，估算能力是计算能力的重要组成部分。在日常学习、生活中，处处有计算，也处处离不开估算。从某种意义上说，估算的应用已大大超过精确计算。教给学生常用的估算方法，培养学生估算意识、估算能力是小学数学教学中一项重要任务。大纲教材中估算是作为“选学内容”，当下的课标教材和刚过去的实验教材都是作为重要的“必学内容”呈现，适时穿插在各个知识节点中。如本单元在编排了口算除法后马上安排了除法估算，其意义显而易见。

（四）关于连除应用题

实验教材连除、连乘应用题集中编排在三年级下册第八单元《解决问题》中，在“除数是两位数除法”之前。如下图所示：

该版本教材立足于情境创设，让学生在生动活泼的内容及生活实际问题中自主收集、理解数学信息，寻找解决问题的方法。课标教材由于3～6年级下册还未面世，具体如何编排不得而知。大纲教材则是将这一内容编排在“除数是两位数除法”之后，共安排了2个例题，介绍了两种解答方法。教材中主要借助线段图帮助学生理解连除应用题的数量关系。

就教材编排顺序来说，笔者认为还是大纲教材比较合理。关于问题解决，《课程标准》中第一学段的教学目标：“能在教师的指导下，从日常生活中发现和提出简单的数学问题……知道同一问题可以有不同的解决的办法。”连除问题很明显就有两种解决办法，如上图的“做一做”可以先从“能装几盒”入手解决问题，也可以先解决“一箱装多少个杯子”，这完全取决于学生观察思考的角度。但如果编排在“除数是两位数除法”之前，很明显对于“一箱能装多少个杯子——960÷48”这一策略，学生在计算上会受到阻碍。曾记得笔者在上个学期教学这类问题时很多学生想到了这种策略，笔者看着学生那种“心有余而力不足”的神情也只能表示无奈。endprint

二、内容数量上的变与不变

笔者就这三套教材在这一单元中所涉及的例题数、习题数（包括纯计算题数、算用结合题数、其他类型习题数）等方面进行了实证分析（具体图示如下），其中不包括连除应用题和连除简算。

由上图可知，近二十年来教材中关乎“除数是两位数除法”的编排线索，其中蕴含着教材建设中一些规律性的东西，也不乏一些经验教训。最明显的编排规律就是除了算用结合外，大纲教材、实验教材、课标教材不管是在例题、计算题和其他习题在数量分布上均呈“U形”发展态势。

培养小学生的计算能力应该是小学数学教学的重要目标之一，是学生今后学习数学的基础。但在课改初期几乎直接颠覆了传统小学计算教学的方法和地位，大肆开展情境教学、问题教学，把解决问题作为计算教学的自然组成部分。最终却弄巧成拙，学生过多地游离在情境之中，反而影响了计算目标达成。片面追求算法多样化也影响了学生计算技能的掌握，而计算能力的削弱势必影响学生的后继学习。任何时候，计算都是需要通过一定量的练习模仿和针对性训练，才能形成必要的计算技能。很欣慰，我们看到了课标教材的理性回归。

（一）例题上的变与不变

笔者对这三套教材中有关“除数是两位数除法的笔算”的部分例题进行整理，具体内容见表2。

表2 “除数是两位数除法的笔算”部分例题

大纲教材 实验教材 课标教材

例1：90÷30（除数是整十数、整除）

例2：200÷60（除数是整十数、被除数的前两位不够除，要看前三位）

例3：96÷32

（“四舍”法试商、整除）

例4：143÷41（“四舍”法试商、有余数）

例5：443÷58（“五入”法试商、有余数）

例6：283÷72（初商过大需调商）

例7：392÷48（初商过小需调商）

例8：70÷14（除数个位是4，5，6的两位数除法）

例9：209÷26（除数个位是4，5，6的两位数除法，有余数除法）

例10：644÷28

例11：3052÷42

（除数是两位数除法的法则）

例12：3594÷58（验算）

例13：9568÷46

（商中间有0的除法）

例14：7920÷33（商末尾有0的除法） 例1：92÷30

（除数是整十数、有余数）

140÷30（除数整十数，被除数的前两位不够除，要看前三位）

例2：84÷21

196÷39（“四舍五入”法试商）

例3：140÷26（除数个位是4，5，6的两位数除法，有余数除法）

例4：576÷18（商是两位数）

930÷31（商的个位写0的问题）

例5：商的变化规律

例1：92÷30（除数是整十数、有余数）

例2：178÷30（除数整十数，被除数前两位不够除，看前三位）

例3：84÷21 、430÷62（“四舍”法试商）

例4：197÷28（“五入”法试商、有余数）

例5：240÷26（灵活试商）

例6：612÷18（商是两位数）

例7：940÷31（商的个位写0的问题

例8：商的变化规律

例9：780÷30（商的变化规律的应用）

例10：840÷50（商的变化规律的应用）

由表2可知，就笔算除法这部分知识大纲教材安排了14个例题，实验教材安排了5个例题，课标教材安排了10个例题。从例题设置上我们可知大纲教材“迈的步子较小”，如“四舍五入”法试商就有5个例题，有“四舍”法试商整除→有余数→“五入”法试商→“四舍”后初商过大需调商→“五入”后初商过小需调商，这样“小步骤、多循环”的编排方式，有利于一些接受能力较差的学生学习。实验教材“迈的步子较大”，从大纲教材的14个例题直接减少到5个例题，留给学生更大的探索和思考空间。这种“冲锋式”的挺进，其教训也是深刻的：例题数减少、配备习题量缩减、课时数递减，直接削弱了学生的计算能力，也影响了学生的后继学习力。笔者曾就“使用实验教材的学生计算能力状况”走访了多所初中、高中。初、高中教师对使用实验教材的学生计算准确率低的情况也深感困惑，这困惑跟教材的设置显然是有一定关系的。再看，课标教材“迈的步子较理性”。课标教材改变了例题的设置，并配置了一定量的练习且增设了课时数，还根据教学实际需要增设了一些例题，如在例8学习了“商的变化规律”后增编了2个例题的规律运用，让学生意识到利用商不变规律不仅可以使口算简便，还可以使笔算简便。这些措施都凸显了教材编排上注重教学重难点层层落实的理性回归，有助于减缓教学的坡度，降低教学的难度，逐步培养、提升学生的计算能力。

（二）练习上的变与不变

1.习题数

笔者曾就大纲教材、实验教材、课标教材中纯计算（口算、笔算）部分进行了统计，大纲教材有134道习题699小题，实验教材有30道习题136小题，课标教材有62道习题493小题。其中大纲教材例题前的“准备题”有16道习题43小题，例题后的“练一练”有43道习题234小题，剔除这两项后剩下有75道习题422小题，这数据表面上看与课标教材的493小题很接近。但由表2的比较中可知，大纲教材的例11～14是两位数除四位数，课标教材是两位数除三位数，从这点上分析，课标教材的习题数比大纲教材还要丰厚。

2.习题形式

课标教材上练习形式多样。如例1、例2教学后安排的“练习十三”安排了12个习题。这些习题都非常注重学生估商、调商、试商能力的培养，如第1题“（ ）里最大能填几？”这是试商的思考方法，为估商作铺垫；第2题“说出各题的商是几，应该写在什么位置”和第4题“先想一想各题的商的位置，再计算”，练习重点是巩固试商方法，并能正确计算；第10题“在○里填上‘>‘<或‘=‘”，是为调商计算作铺垫。如此种种不作一一举隅。笔者认为这一编排形式体现了口算、估算、笔算、简算“四位一体”的自然圆融，提升了学生计算的灵活性。

3.习题内容

课标教材习题内容丰厚而精致，这是笔者对三个版本教材比较后得出的最大的感受。“除数是两位数除法”的试商方法很多，除了教材例题上介绍的“四舍五入”法试商外，还有很经典的“同头无除商八、九”“除数折半商四、五”“高位试、低位调”等。这些都在课标教材的习题编排上作出了很好的诠释。

以下便是课标教材“练习十四“的第10题、第18题，体现了“同头无除商八、九”。

以下是“练习十五”的第4题，体现了“除数折半商四、五”。

以下是“练习十八”的第10题，可用“高位试、低位调”的试商方法去思考。

如第2小题的“3□9÷36”， 高位3与什么数相乘，积大于等于30而小于40，再根据低位上的数与商相乘的积来填方框里的数。笔者认为，课标教材这些充实的学习材料突出了培养学生“四能”的引导过程，也培养了学生的探索能力！

教材的改变显然是顺应了现代教育的需要，教无定法，贵在得法，通过对三个时期、三个版本教材的解读、比较、分析，笔者也从中得悟：善读善悟，在止于至善！此乃教学一道！

（浙江省临海市大洋小学 317000）endprint