从1到单位“1”，只是换了一个“马甲”？

刘佳　严育洪

【“望”：病例观察】

“分数的意义”是苏教版小学数学五年级的内容。教师出示例1——

师：请大家根据每幅图的意思，用分数表示每幅图中的涂色部分。想一想每个分数各表示什么？在小组内交流。

师（小结）：一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫作单位“1”。

坐在笔者旁边的一个学生嘀咕了一句：“不能就说1吗？干嘛还加个引号加个‘单位？”

教师并未给学生质疑的机会，依旧按照进度揭示分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。

【“问”：病历记录】

课后，笔者询问上课教师：“你觉得这节课难吗？”

上课教师轻松地回答：“不难。因为学生之前已经多次学过分数的初步认识，这节课只是把分数平均分的总数用单位‘1表示，然后用文字概括出分数的意义。其他也没什么新的内容，学生感觉好像是一节复习课，例1中的那些图都是学生以前学过的。”

笔者接着问：“单位‘1与自然数1有区别么？单位‘1的1上为什么要加个引号？”

上课教师胸有成竹地答道：“单位‘1就是整体‘1，并不是真的指1个，所以要加上引号。分数是分出来的数，单位‘1相当于总数、份数、每份数中的总数。”

笔者最后问：“单位‘1与整体‘1有区别么？单位‘1的‘单位一词是否别有用意呢？”

上课教师对这个问题感到奇怪也感到疑惑：“单位‘1与整体‘1应该只是说法不同吧？单位‘1只是一种名称吧？”

笔者又找来那个课中嘀咕的学生问道：“你现在知道为什么叫单位‘1了吗？”

学生答道：“我是这样想的，单位‘1就是1后面可以加上很多单位，例如1个饼、1个圆、1箱苹果……”

……

【“切”：病理诊治】

正如上述课例中那样，虽然在小学阶段分数是学生最难理解的数，但对这节课，许多教师认为并不难，只需要把以前教学的“分数的初步认识”归纳一下，然后引进单位“1”这个新名词概括一下，抽象出分数意义。然而，事实并非如此，课中和课后学生的困惑正是本课教学的难点。

从数系看，分数是自然数系的第一次扩充。虽然学生之前已经学过了“分数的初步认识”，但他们对分数的意义还是相当模糊的，首当其冲地表现为对单位“1”的理解。单位“1”绝非一个新名字那么简单，它直接牵涉到学生对分数意义的理解。在之后的分数学习之路上，学生会越来越发现单位“1”对解题的重要，或许学生可以根据教师教给的快捷方法找到单位“1”，但这更多的是一种机械学习。那么，单位“1”是否如上述教师和学生理解的那样呢？

在教学中，教师大都能在“多个物体组成的整体”中发现单位“1”与自然数1的区别：一个整体的“1”是单位“1”，而整体中的每一个物体的1就是自然数1；许多教师还能这样来区分：用于等分时的“1”是单位“1”，用于数数时的1是自然数1。例如：把一个苹果平均分成4份，这时的1个苹果的“1”是单位“1”，而在数有几个苹果时的“1”是自然数1；把5个苹果平均分成5份，这时的5个苹果作为一个整体的“1”是单位“1”，而5个苹果中的1个苹果（分得的结果）的“1”是自然数1。

根据教材所示的分数份数定义，教师具有“分数是分出来的数”的认识，由“分”就会想到总数、份数、每份数，那么单位“1”是否如上述上课教师所认为的那样等同于总数呢？

华罗庚说：“数起源于数，量起源于量。”对度量维度的研究，可以大大丰富学生对分数的认识。度量（对小学生而言，可能用“测量”更有感觉）需要一个单位，也就是度量需要有一个标准。《辞海》中对“单位”一词解释为：量度中作为记数单元所规定的标准量。引用于分数，这个“度量”单位（实际上是计数时的参照标准。对小学生而言，“度量”这种说法要比“计数”更直观形象）就是单位“1”。由于用单位“1”度量时，有时能整次数量完，这时可以用整数记录次数，有时就不能整次数量完，有剩余现象，这时就需要把剩余部分，再用另一种新的较小度量单位来进行度量和计数，这种与原来的计数既有区别、又有联系的新的计数方法就是分数（这一思路与以前教材曾编排“用米尺测量黑板长度最后剩下的一段不够1米来引出分数”基本相同）。这段论述可以帮助我们认清单位“1”的真实面目：

一是单位“1”与自然数1既有联系又有区别。单位“1”中的“1”是与其他事物比较时的一种表示方法，为了与自然数1相区别，故加上了引号（在教学中，教师可以借助语文中引号“表示特定的称谓”这一作用帮助学生理解）。上述课例，教师所揭示的“一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫作单位‘1”，这种照本宣科无法让学生看到单位“1”与自然数1的区别。

二是单位“1”与整体“1”既有联系又有区别。如上述课例那样，许多教师常常把单位“1”看作整体“1”的数学专用术语，甚至认为整体“1”只指由多个物体组成的一个整体。对此，我们可以思考这样的问题：如果仅仅作为一个整体，何必要单位？只有在计数时才需要考虑单位。也就是说单位“1”指向的是计数，而整体“1”更多指向于这个数本身，更多体现的是一种独立的意义，而不指向于计量或计数的性质，即较少体现出与其他数的关系。换一句话说，就是1个物体独立存在的时候，它更多的是可以看作1个整体（整体“1”），而不是单位“1”；只有当它跟多个物体1，需要计数时才需要“单位”。从“度量”上看，因为度量单位是可以任意确定的，所以单位“1”就不一定只是一个单个物体，它也可以是多个物体组成的一个整体，或是一个单个物体的一个部分。由此可见，上述上课教师所认为的单位“1”等同于总数的想法并不正确。

上述课例中，学生望文生义，虽然把单位“1”的“单位”错误理解成了单位名称，但反映出学生普遍有着学习的警觉性和知识的敏感性。单位“1”的如此深意，该怎样让五年级的学生有所感觉，从而解开心中的疙瘩呢？对此，原《福建教育》数学编辑钟建林建议：第一，让学生知道这里学习的“1”，跟原来的自然数1是有区别的，因为这里的“1”，常常是将特定的对象看作整体，当作1个部分。这些特定的对象，可以是1块饼、1个长方形，也可以是5个人、6个圆，还可以是半个苹果；第二，这样的整体，有时不只1个，可能会有好几个；第三，自然数1，一般具有绝对性，而单位“1”常常具有相对性。endprint

以上三点（特别是后两点）的达成并非一日之功。在具体教学中，教师可以分三步来帮助学生理解——

第一步：用米尺测量黑板长度。此时1米看作“1个单位”（也就是单位“1”），量了3个整次数，那么就得到3个单位“1”，也就是3个1米，记作3米，剩下的不够1米，如果把1米这个单位“1”平均分成10份，剩下的正好是其中的3份，那么就得到了一个新的数（个单位“1”），也就是个1米，记作米。现在的教材呈现的只是最后一段把单位“1”进行“分”的过程，不重视用单位“1”进行“量”的过程，于是让人感觉到似乎“分数是分出来的数”。

第二步：将连续量换成离散量。有6个苹果，如果分别用1个苹果、2个苹果、3个苹果看作单位“1”去“度量”（借用上述活动经验，计数的形象化理解），那么6个苹果就会有这样的6个单位“1”、3个单位“1”、2个单位“1”。用不同的单位“1”去计数，会产生不同结果。前一活动中，单位“1”的量正好对应着一个长度单位，而这一活动中，单位“1”的量没有一个特定的单位名称相匹配（这也就是学生理解此类单位“1”的难点）。

至此，有了前面的铺垫过程，学生清晰地看到了用单位“1”去“量”的过程，也就能大体明白：在分数意义中，把单位“1”平均分是因为不够“量”，平均分成几份是由比较量决定的。这里，学生除了感觉到“分”的过程，也能感觉到“量”的过程，还能隐约感觉到“比”的过程。这样，学生对分数意义才能理解得更深刻。例如对，除了套用教材所写的分数意义：“把7个苹果看作单位‘1。表示把单位‘1平均分成7份，表示这样的6份。”学生还可能会这样理解：“表示用7个苹果组成的单位‘1去度量6个苹果所得到的新的数。”

第三步：为教材再打一个“补丁”，弥补现有教材只出现把一个物体以及几个物体组成的整体看作单位“1”。教师提供如下图的例子进行对比：“同样是半个苹果，为什么表示的结果却不一样？”（因为第一幅图把一个苹果看作单位“1”，第二幅图把半个苹果看作单位“1”）让学生明白单位“1”也可以是一个单个物体的一个部分（以后的学习，学生会遇到有些题目的解答可以根据分数比的定义，确定其中某一部分量为标准——单位“1”，其他的量再与它进行比较，从中找出不同量之间的关系，最终确定相关量的大小）。

（） （1）

如此教学“插曲”，学生对单位“1”的比较标准会有深刻的印象。当然，我们不能急于求成，要允许学生有不严密的理解。

分数的不同定义，也会帮助学生更好地理解单位“1”。张奠宙教授认为，分数定义按人们认识发展的顺序，一般有份数定义、商定义、比定义、公理化定义四种情况（小学分数教学涉及前三种）。教材所示的分数意义属于份数定义，是从分数的“面积模型”（用一个物体或图形的面积表示部分与整体之间的关系）和“集合模型”（用集合中的“子集—全集”来表示分数）的维度来引入分数的。用份数定义引入分数是非常自然的，因此，教材把分数的份数定义作为教学起点，但是不宜过分强调，教师应帮助学生向更抽象的分数定义迁移。连接上述“三步曲”的教学渗透，我们还可以在一年后“比的意义”教学之前再续前缘，通过如下教学活动，强化学生对分数的比定义的感知——

教师出示一条线段，提问：你会表示出这条线段的吗？

学生根据分数的份数定义，“分”出：

生1：1号线段有2号线段的3份那么长，所以1号线段有2号线段的那么长。

教师根据生1的回答在1号线段与2号线段之间连上虚线来帮助学生理解。

生2：我把2号线段看作单位“1”，去“度量”1号这条比较短的线段，结果得到。

教师根据生2的回答借助多媒体演示用2号线段去量1号线段来帮助学生理解。

师：如果我擦去2号线段，1号线段的这3份还能表示吗？

生：不能。没有了2号线段，的“5”不见了。

师：不仅能表示出2号线段平均分的结果，也能表示出1号线段和2号线段这两个量之间的关系。请同学们再思考一下，我们能否把1号线段看作单位“1”呢？

生：可以。我用1号线段作为单位“1”去度量2号线段的长度，发现2号线段有一个1号线段那么长，还多了1号线段长度的，合起来是1。

……

其实，从度量维度研究分数，既有“分”的过程，也有“比”的过程（比较量与标准量的比较），也就暗藏着分数比的定义。在分数意义的“转移”中，学生对单位“1”的认识也会发生一定的“转移”。上述教学，教师有意添加对象，强化了“比”，帮助学生从分数的份数定义中一个对象的“总分关系”中走出来，看到了分数还可以表示两个对象的“彼此关系”，知道了单位“1”不仅可以是“这一个”，还可以是“那一个”，体会到了单位“1”的相对性，消除了学生可能存在的“标准量总是大于比较量”“分数总小于1”等误解。

综上所述，从自然数1到单位“1”，不只是换了一个“马甲”那么简单，其中有很多教学的文章可做。

（江苏省宜兴市环科园实验小学 214200

（江苏省无锡市锡山教师进修学校 214101）

编后语：“概念“既是数学教学本身的教学内容之一，同时，其也是后续相关内容教学和学生学习的重要支架。在实际教学中，为了便于学生理解，教师往往需要对此概念作出通俗或简约化的表述。从学理层面看，尽管有些表述不那么科学和严谨，但这样做，有时似乎对学生理解当时的教学问题确有帮助。但用一种不那么严谨甚至错误的概念表述作为教学支架，不免让人产生两个疑问：一是其合理性何在？二也是更为重要的，数学教学强调思维的过程性，在过程性中培养学生思维的严密性是数学教学的题中应有之义。不少教师尚未对这一问题引起足够的重视，其从一个侧面也反映了自身本体性知识储备或理解的不足，在一定程度上，也制约着自身专业成长的后续发展和教学水平的进一步提高。近年来，这一问题开始引起了部分专家和教师的关注。严育洪老师团队就此类问题进行了专项教学研讨，通过对“分数的意义”一课的教学分析，提出了“从自然数1到单位‘1，不只是换了一个‘马甲那么简单，其中有很多教学的文章可做”的论题。当然，本文在审稿过程中，对于文中表述的一些相关问题也产生了不同的意见。诸如“单位‘1是否可以作为‘度量单位”以及“用单位‘1作为几个苹果组成的整体去‘度量其他不同数量的苹果这个说法是否妥当”等？（为谨慎起见，在文中严老师也特意对“度量”的表述作了补充）对此，严育洪老师本人和本刊热枕期待大家就类似问题展开讨论。endprint