2013年全国高考四川卷（文）20题的极坐标和参数方程解法

朱东海

从一点出发的线段和角的问题，首选极坐标或直线的参数方程求解，如2013年高考四川卷（文）20题：

已知圆C的方程为x2+（y-4）2=4，点O是坐标原点.直线l∶y=kx与圆C交于M，N两点.

（Ⅰ）求k的取值范围;

（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2，请将n表示为m的函数.

解 （Ⅰ）将y=kx代入x2+（y-4）2=4，

得（1+k2）x2-8kx+12=0.

由Δ=（-8k）2-4（1+k2）×12>0，得k2>3.

所以k的取值范围是（-∞，-3）∪（3，+∞）.

（Ⅱ）解法一：利用极坐标.

以O为原点，射线Ox为极轴，建立极坐标系，则圆C的方程x2+（y-4）2=4化为：ρ-8ρsinθ+12=0.设M（ρ1，θ），N（ρ2，θ），Q（ρ，θ），因为Δ=64sin2θ-48θ>0，sin2θ>34，所以cos2θ<14，且ρ1+ρ2=8sin2θ，ρ1ρ2=12.

因为2|OQ|2 =1|OM|2+1|ON|2，

所以2ρ2=1ρ21+1ρ22=（ρ1+ρ2）2-2ρ1ρ2（ρ1ρ2）2，

即2ρ2=64sin2θ-24144=8sin2θ-318.

由sin2θ>34得0<ρ2<12，

且8ρ2sin2θ-3ρ2=36.又Q（m，n）是线段MN上的点，

从而Q（m，n）在直线l上，

所以m=ρcosθ，n=ρsinθ，n>0.

而cos2θ<14，0<ρ2<12，

因此0

故n与m的函数关系为

n=15m2+1805（m∈（-3，0）∪（0，3））.

解法二：利用直线的参数方程.

设直线l的参数方程为：

x=tcosθ，

y=tsinθ （t为参数），

代入圆C的方程x2+（y-4）2=4中得

（tcosθ）2+（tsinθ-4）2=4，

整理得t2-8tsinθ+12=0.

设点M、N、Q所对应的参数分别为t1，t2，t，

则t1+t2=8sinθ，t1t2=12，Δ=64sin2θ-48>0.

因为2|OQ|2=2|OM|2+2|ON|2，

所以2t2=1t21+1t22=（t1+t2）2-2t1t2（t1t2）2，

即2t2 =64sin2θ-24144=8sin2θ-318.

由64sin2θ-48>0得sin2θ>34，cos2θ<14，

从而0

又Q（m，n）是线段MN上的点，

从而Q（m，n）在直线l上，所以m=tcosθ，n=tsinθ，n>0.

而cos2θ<14，0

因此0

故n与m的函数关系为

n=15m2+1805（m∈（-3，0）∪（0，3））.