摭谈数学“合作学习”四要素——由郑毓信先生的“数学教育改革十五诫之三”引发的思考

☉浙江省湖州市第二中学 俞昕

摭谈数学“合作学习”四要素
——由郑毓信先生的“数学教育改革十五诫之三”引发的思考

☉浙江省湖州市第二中学 俞昕

郑毓信先生的“数学教育改革十五诫”［1］诫条之三：数学教学不应只讲“合作学习”，但却完全不提个人的独立思考，也不关心所说的“合作学习”究竟产生了怎样的效果.张奠宙先生认为：数学不同于其他学科，需要进行逻辑化、符号化、数量化，其过程必定经历独立的、个性化的思考，因此，在“合作”之前必须先“独立”.陈省身先生认为：数学是自己思考的产物.首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好的效果.我们数学教育工作者面临的一个重要任务是：弄清楚什么是好的“合作学习”所应满足的基本要求，进而，数学教学在这一方面又具有哪些特殊性？

虽然世界各国学者对小组合作学习的概念表述不相同，但是其内涵是一致的.（1）小组合作学习是一种教学活动，它是以小组为基本单位来组织教学的；（2）小组合作学习是同伴之间互助互学的合作；（3）小组合作学习既强调小组的团体成绩，也重视小组中个人的表现；（4）小组合作学习是学生在教师指导下开展的一种学习活动，活动目的是达成教师课前预设的教学目标.从以上表述至少可以看出，在合作学习中，要注重个人的自主探究活动，同时也不能完全离开教师的指导作用.还要考虑数学学科内容的特殊性，并不是所有数学内容都适合合作学习，即使是适合进行合作学习的内容，也要根据实际情况选择不同的合作学习方式.

一、合作学习应有适宜的内容

数学中并不是所有的内容都适合小组合作，有两种数学内容可以考虑采用合作学习.

其一是开放性问题.比如y=x、y=x2、y=x3、y=ex、y=lnx都是我们非常熟悉的函数，试尝试利用以上基本初等函数配合加减乘除（可以添加常数），构造一个新的函数，并分析你所构造出来的函数的单调性.例如：判断函数y=ex-x-1的单调性，并求出单调区间.将全班学生进行同组异质、异组同质的分组，并提出要求：（1）每组挑选几个函数，不需要都用上；（2）为了方便计算，y=ex和y=lnx尽量不要同时使用；（3）前后4人一组，展开讨论，自编自答，拿出成果.合作一：学生给出了“加减类型”“乘法类型”“除法类型”；合作二：改进自己设计的问题，不直白地设问单调性，让题目形式丰富多样，再尝试解答；合作三：在题目中加入参数，设计问题并展示，小组成员间可以相互解答.（以上案例选自湖州市导学案评比优秀作品）

其二是容易引起争议的问题.有时一个新的数学概念的产生往往伴随着争议，比如离心率的概念.先用几何画板画一些椭圆（显示随着a、b取值的改变，椭圆形状的变化），椭圆的扁圆程度可以用什么量来刻画？让学生合作学习，提出不同的表示方案，有些学生认为用ab表示，有些学生认为用表示等，在争论中最后达成统一：用表示.数学中有很多易错题，怎样减小解这些问题时的出错率，让学生一劳永逸？可以考虑合作学习的方式.如问题：若函数f（2x）是偶函数，则函数f（2x+1）的对称轴是什么？诸如此类的问题，变式可以给出很多.此类问题是学生比较容易出错的，让学生通过合作学习的方式进行辩论，表达自己的观点，让同组的同学根据抛出的观点进行深入细致的分析论证，真理在辩论中越辨越明.

二、合作学习应以自主探究为前提

在这里我们将“自主探究”理解成“独立思考”.合作学习中最令人担心的事就是合作学习活动沦为少数几个尖子生的包场，而多数学生的数学思维没有启动，因此合作学习一定要以自主探究、独立思考为前提.只有让学生在充分思考之后带着问题进行合作学习，才能发挥合作学习的功效.有两种方式可以兼顾自主探究与合作学习.

其一是将合作学习的内容运用问题串的形式进行细化，用问题引领全体学生进行思考与探究.这种方式适合于课堂当场布置合作学习的任务.笔者在一次聆听章建跃博士讲座时，对一个关于“复数概念引入”的案例记忆犹新，后来笔者在自己的教学实践中将其改变成一个以问题引领的合作学习模式，课后特意访谈了数学中等生和学困生，结果显示效果较好.问题1：1545年，数学家Cardan在《重要的艺术》（1545）中出了这么一个题目：把10分为两部分，使其乘积为40.他按照自己的习惯，设其中一部分为x，列出方程x（10-x）=40.但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐慌.你知道这是为什么吗？问题2：根据你的已有经验，你认为怎么办就可以解决Cardan的问题？提示：在正数范围内，方程x+2=0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似地，在有理数范围内，x2=2有解吗？我们又是怎样让它有解的？问题3：为了使负数能够开方，你觉得应该引进一个什么样的新数？这个新数应该服从什么规则？问题4：根据大家的想法，假设我们引进了一个新的“数”i，它服从i2=-1，我们希望i能与实数一起进行加、减、乘、除等运算，这样，你觉得会产生哪些类型的“新数”？追问：（1）这些“新数”能用一种统一的形式表示吗？（2）如果把实数与i进行加、乘后得到的“数”的集合记作C，那么实数集与集合C有什么关系？

其二是教师可以专门开设一些数学探究的课程，教师课前先将需要探究的预备内容以导学案方式呈现给学生，让学生有充分的时间进行自主探究、独立思考，然后在课堂上进行合作学习，将自己的探究成果进行展示，小组成员之间互助、纠错、评价，最后各小组将各自的成果进行汇总展示.比如开设一堂有关导数应用的探究课程，可以布置以下的探究任务.“课中合作学习”部分的内容要求学生课前结合前面复习的内容先自主探究、独立思考，然后在课中进行合作学习，而后面“课中自主解决”部分的内容要求学生在合作学习的基础上尝试独立思考，自主解决，以巩固合作学习的效果.

以下案例是在一次师徒结对活动中开设的合作学习研讨课.

【基础梳理】（略）.

【自主测评】（略）.

【自学质疑】问题1：回顾总结研究二次函数最值时该注意哪些方面.

问题2：在一般的函数中，解决最值问题时该注意哪些方面？

问题3：在函数中出现参数时该如何处理？

【课中合作学习】已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3.

（1）求函数f（x）的最小值.

变式1：求函数f（x）在［t，t+2］（t＞0）上的最小值.

变式2：若函数f（x）在（t，t+2）（t＞0）上无最小值，求t的取值范围.

（2）若∀x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围.

变式2：若∀s、t∈（0，+∞），2f（s）≥g（t）恒成立，求实数a的取值范围.

变式3：若∃s、t∈（0，+∞），使得2f（s）≤g（t）成立，求实数a的取值范围.

【课中自主解决】已知函数f（x）=x2-x-1，g（x）=x3-x2-5x+m.

（1）∀x∈［-2，2］，都有f（x）≤g（x）成立，求实数m的取值范围.

（2）∃x∈［-2，2］，使得f（x）≤g（x）成立，求实数m的取值范围.

（3）∀x1、x2∈［-2，2］，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数m的取值范围.

（4）∃x1、x2∈［-2，2］，使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围.

（5）若∀x1∈［-2，2］，∃x2∈［-2，2］，使得f（x1）= g（x2）成立，求实数m的取值范围.

三、合理选择不同的合作学习方式

笔者认为合作学习可以有两种不同的方式：一种是课内合作学习，一种是课外合作学习.课内合作学习以上已经讨论的比较多了，这里不再赘述，下面谈谈课外合作学习.课外合作学习往往受到冷遇或不重视，其实课堂时间很有限，有些内容不可能在课堂上充分的让学生合作学习，所以可以将合作学习延伸到课前与课后.一些带有研究性学习色彩的数学内容，比如“‘杨辉三角’中的一些秘密”“探究斐波那契数列”“割圆术”等都可以布置给学生进行课前的合作学习.文献5中，针对“割圆术”，教师布置给学生在课前进行了很好的合作学习（选择一个方向收集资料，并进行资料的整理、汇总与学习），然后在课堂上每个小组都派代表进行了展示活动，有了课前合作学习的铺垫，课堂上教师预设的教学内容能够顺利的进行与完成.

而有时课后的合作学习也能引发学生探究数学的兴趣.比如在学习完“几类不同增长的函数模型”之后，教师布置课后合作学习任务：以小组为单位，完成题为《我对_____问题的函数模型学习》的论文，可探究的模型（供参考）：折纸模型、SARS病毒、澳大利亚兔子爆炸、摩尔定理、人口增长、太湖蓝藻、GDP增长、天文学应用、银行复利等.论文应包含：（1）问题背景相关知识；（2）问题相关数据；（3）如何选择函数模型；（4）对函数模型在实际问题中运用的体会；（5）注名作者、参考书籍、出版社.

四、合作学习需要教师必要的指导与评价

合作学习的主要目的是加强生生之间的交流与互动，但也必须加强师生之间的交流.对于课内合作学习的一种不可取的做法是教师布置完小组合作任务后，便游离于学生小组合作活动之外，此时教师没有看到小组合作中出现的问题.实际上，学生进行小组合作时，给教师赋予了更多的责任，他不仅仅要关注学生知识掌握的情况，而且还要关注各个小组合作进展的情况，并进行适当的协调.在学生合作时，教师要从“至高无上”的讲台走到学生中间来，充当学生学习的合作者、引导者、协调者、巡视者等多种角色，及时获取学生讨论的信息，捕捉学生思维的火花，为有效调控教学做好充分准备.合作学习结束后，教师应组织学生进行全班交流，让学生反馈合作学习的信息，并根据学生反馈的信息进行有效的指导.教师要对小组合作讨论进行质的分析，引导学生进行深层次的思考，这样才能使得合作学习的教学更具有实效性.

至于课外的合作学习，虽然教师不能直接接触学生，但也可以通过各种方式对合作学习进行监督与指导.若是课前的合作学习，教师一定要向学生明确要求，并布置明确的任务，以便在课堂上检查学生合作学习的效果.若是课后的合作学习，教师需要求学生在限定时间内递交合作学习的成果，为下阶段学习做好铺垫，或作为评价学生数学学习的依据之一.

小组合作学习的一个重要的特征是以小组的成就作为总的评价标准，小组的成就主要表现在两方面：一个是评价学生学业方面的进步；另一个方面是评价小组工作和合作的情况.教师在进行小组合作开始，就首先要明确小组评价的标准，评价的标准根据小组合作的任务不同而不同，但是一个非常重要的前提就是所表述的要求越具体越好，这样可以使学生明确要达到的目标.教师可以将学生合作学习的成果、教师对学生的评价、同组或异组成员之间的评价收录到学生的“过程作品集”中，笔者在文6中详细论述了多元智能理论下如何利用“过程作品集”评价学生的数学学习.“过程作品集”为我们提供了一个宽广的评价视野，它可以展现学生在合作学习中的智能强项，让学生在合作学习中发挥自己的优势智能.

1.郑毓信.数学教育改革十五诫［J］.数学教育学报，2014（3）.

2.綦春霞.数学教学形式的改革之一——小组合作学习［J］.数学教育学报，2005（3）.

3.刘丹.情境学习在数学课堂中的案例分析——情境创设与合作交流真的那么重要吗［J］.数学教育学报，2006（3）.

4.陶兆龙.课堂教学中学生数学活动的引导［J］.数学通报，2014（7）.

5.俞昕.以“割圆术”为例刍议数学选修课教学［J］.中学数学（上），2014（8）.

6.俞昕.悠悠迷所留，酒中有深味——《多元智能新视野》开拓数学教学“新视野”［J］.中小学数学，2013（11）.