基于分位数回归的均值-VaR组合投资决策分析

蒋翠侠，刘玉叶，周莹莹

(1. 合肥工业大学 管理学院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工业大学 过程优化与智能决策教育部重点实验室，安徽 合肥 230009)

基于分位数回归的均值-VaR组合投资决策分析

蒋翠侠1,2，刘玉叶1，周莹莹1

(1. 合肥工业大学 管理学院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工业大学 过程优化与智能决策教育部重点实验室，安徽 合肥 230009)

建立在均值—方差分析框架下的组合投资决策，需要较强的正态分布假设，难以准确刻画与分散非对称与极端尾部风险。为此，文章考虑均值-VaR模型，将模型求解过程转化为一个分位数回归问题，给出了均值-VaR模型求解新算法。使用沪深300指数中的60只成分股进行了实证研究，验证了算法的有效性，并将基于分位数回归的均值-VaR模型与均值—方差模型进行了对比，发现前者能够很好地分散尾部风险。

分位数回归；组合投资；均值-VaR模型；均值—方差模型

一、引 言

美国经济学家Markowitz(1952)[1]发现通过组合投资可以有效降低风险，从而构建了均值—方差模型的分析框架，标志着现代组合投资理论的开端。在此基础上，组合投资决策理论与方法研究取得了巨大进展，为分散化投资降低金融风险提供了决策依据。均值—方差模型主要通过二次规划方法进行求解，可以实现：在给定期望收益条件下，投资风险最小化；或者给定风险条件下，投资收益最大化。然而，均值—方差分析框架是建立在正态性假设条件下，以均值表示期望收益、以方差表示风险，仅仅考虑了金融资产的前二阶矩特征。蒋翠侠等(2007)[2]指出，当金融资产收益不服从正态分布时，金融市场存在高阶矩风险，且风险具有时变特征，因而需要考虑更高阶矩或者需要研究其尾部风险。在这种情形下均值—方差分析框架就难以为继了。

无疑，均值-VaR模型为此提供了一个选择。G30集团于1993年发布了《衍生产品的实践和规则》的报告，提出以VaR作为金融风险测度指标，作为方差风险测度的替代。VaR是指金融资产或者组合投资在持有时期内，在一定概率水平下所面临的最大损失，综合反映了市场整体风险，迅速成为当时金融界测量市场风险的主流方法。1994年4月，国际清算银行巴塞尔银行监管委员会将VaR作为风险度量的标准，并依此计提风险准备金。Alexander(2002)[3]比较了均值-VaR与均值—方差模型，验证了均值-VaR组合投资选择标准与效用最大化的一致性。Consigli(2002)[4]研究了厚尾分布情况下均值- VaR 组合投资模型。许启发(2008)[5]研究了动态VaR风险条件下的组合投资决策问题。许启发等(2014)[6]研究了多期VaR风险测度问题。徐金菊(2013)[7]验证了基于分位数回归的多期VaR和多期CVaR风险测度的效果。张鹏(2014)[8]将VaR风险度量方法拓展到多阶段投资组合优化,提出了完全市场情况下多阶段均值-VaR投资组合模型。虽然均值-VaR模型能够很好地分散尾部风险，但其求解过程主要涉及凸规划问题，影响和制约了其推广应用价值。

回归分析在统计学中已有悠久的历史，为广大用户熟知并掌握。如果可以将组合投资决策模型的求解过程转化为一个回归分析问题，则不仅可以方便地得到模型的最优解，而且能够为广大用户所接受。众所周知，均值—方差模型可以转化为一个均值回归分析。在这一思想指引下，Basset等(2004)[9]对此开展了研究工作，基于Choquet期望效用理论提出了悲观风险测度方法，并在分位数回归框架下讨论了悲观风险测度的组合投资决策问题，并通过数值模拟验证了其有效性。

根据统计学的观点，VaR就是收益分布的一个特定分位数。一个自然的问题在于，能否将一个均值-VaR模型转化为一个分位数回归？本文对此开展研究，主要包括：第一，论证了VaR与分位数之间的等价关系——置信水平100(1-α)%下VaR恰为收益序列分布函数的α分位数的相反数；第二，建立了均值-VaR模型，将其求解转化为一个分位数回归问题，给出其求解算法；第三，从沪深300指数中选取60只成分股票，将基于分位数回归的均值-VaR模型与均值—方差模型进行了实证比较，发现前者能够更加有效地分散尾部风险。

二、模型和方法

1.VaR与分位数

VaR是指在一定的概率水平下，投资者在持有期内持有资产所承担的最大损失。令Lt表示持有期为t的金融资产的损失，则收益表示为rt=-Lt，在给定概率水平100(1-α)%下，VaR定义为：

VαR1-α(Lt)=inf{x|p(L≥x)≤α} =inf{x|p(-r≥x)≤α} =-sup{-x|p(r≤-x)≤α} =-sup{x*|p(r≤x*)≤α} =-Qr(α)

(1)

式(1)中，inf{}表示下确界，sup{}表示上确界。由式(1)可知，在给定概率水平100(1-α)%下，VaR为收益序列的α分位数的相反数。

2.均值-VaR模型与分位数回归

均值回归框架下的均值—方差模型，只能在平均水平上考虑组合投资的分布情况。由于大多数金融资产都表现出特殊的统计特征，如尖峰厚尾，不服从正态分布等，需要更加细致地考虑其尾部风险特征，分位数回归为此提供一个基本工具(见许启发等(2011)[10]的研究结果)。为细致刻画组合投资的整个分布情况，特别是收益分布的尾部风险特征，本文主要建立分位数回归框架下的均值-VaR模型，进行组合投资决策。

考虑由n个金融资产X=(X1,X2,…,Xn)′经过组合投资方案π，得到一个组合投资Y=X′π。

收益序列{yt}t=1,2,…,T建立线性分位数回归模型为：

(2)

式(2)中，xit,i=1,2,…,n为解释变量，τ(0<τ<1)为分位点；α(τ)为截距项，β(τ)=(β1(τ),β2(τ),…,βn(τ))′为τ分位点处的回归系数向量，随分位点而变化，表现出异质性。收益序列的第τ分位数，可以通过简单的优化求解，最小化目标函数：

(3)

式(3)中，ρ为分段线性损失函数，定义为ρτ(u)=u(τ-I(u<0))，I(·)为指示函数。

则投资组合的VaR可以表示为一个优化问题：

(4)

式(4)中，ρ为分段线性损失函数，定义为ρτ(u)=u(τ-I(u<0))，I(·)为指示函数。因为Rogers (1968)[11]已经证明，上述优化问题的解ξ就是随机变量Y的τ分位数。

由此，可以考虑期望收益给定的条件下VaR风险最小化，建立拉格朗日目标优化问题：

(5)

式(5)中，λ代表风险厌恶参数，λ越大，表示投资者风险厌恶程度越高；μ(Y)表示组合投资Y的均值水平。将组合投资权重之和设定为1，即I′π=1，则上述问题可以转化为有条件求极值问题：

s.t. μ(XTπ)=μ0

ITπ=1

(6)

式(6)中，优化的目标为VaR风险，约束条件为给定收益μ0。因此，这是一个典型的均值-VaR模型。接下来，给出其分位数回归求解算法。

如果将第1个资产视为基准，将关系代入式(6)，则可以得到式(6)的样本对应：

(7)

式(7)中，π为权重，且π(β)=(1-β2-β3-…-βn,β2,β3,…,βn)T。可以看出，式(7)是一个标准分位数回归问题，其中：x1t为响应变量，(x1t-x2t,x1t-x3t,…,x1t-xpt)为解释变量，ξ为截距项。通过分位数回归，一方面可以得到最优组合投资权重π(β),另一方面可以得到最小VaR风险ξ。

三、实证研究

1.数据选取与统计分析

本文选取沪深300指数中的60只成分股票，以其日收益率为研究对象，主要包括中兴通讯、华侨城A和TCL集团等，数据区间为2008年1月1日到2014年10月31日，剔除节假日和非同步交易日，样本容量为 N=1759，数据来源于雅虎财经网站。

表1给出了部分成分股日对数收益率(rt=100×(lnpt-lnpt-1))的描述性统计和J-B检验结果，可以看出，大多数股票的均值都是负的，且均值和标准差之间存在较大差异，如：华东医药的平均收益最高，其标准差并非最大；中联重科的均值最小，其标准差却较大。这说明收益与标准差之间并非完全对应，与金融市场上投资回报之间的“高收益、高风险”或“低收益、低风险”这些经典规律相违背。表1中的偏度与超额峰度的统计结果表明，大多数股票都呈现左偏特征，并且所有指数的超额峰度都大于0，存在极端收益状态。这些特征表明，收益序列都不符合正态分布假设，这一结果由J-B检验得到了加强。为此，需要使用分位数回归方法揭示收益序列的动态规律，一方面，避免对分布特征的假定；另一方面，能够揭示收益序列的异质性。

注：(1)J-B检验是由Jarque-Bera提出的，用于检验随机变量是否服从正态分布；(2)***、**、*分别表示在0.1%、1%和5%水平下显著；(3)超额峰度值是在R3.0.1软件中使用moments包中skewness函数计算的结果，其取值满足：超额峰度=峰度-3，大于0就表明具有高峰特征，意味着有极大可能性取得极端值.

2.组合投资分析

根据均值-VaR模型构建的组合投资，使用分位数回归方法计算期望收益固定条件下，收益序列低尾分布的风险，并与均值—方差模型下的组合投资进行比较，主要包括尾部风险和绩效比较、有效前沿比较以及风险的分布密度比较。

(1)最小风险组合投资

悲观投资者的投资心理是宁愿取得较小收益，也不愿承担较大风险。因此，本文在计算组合投资的风险时，赋予较低的分位点以较大的权重，赋予较高的分位点以较小的权重，共提出了四种参数选择方案，以比较均值—方差模型和均值-VaR模型构建的组合投资的风险和绩效。方案分配结果见表2。为便于比较，每一种方案之间都存在一定的关联性：方案二是在方案一的基础上增加了一个参数；方案二和方案三的权重相同，但方案三选取了更加极端的分位点，强调了极端风险的存在；方案三和方案四的分位点相同，但方案四赋予不同分位点的权重差异更大，更加符合投资者的投资心理。在每一方案下，计算出组合投资的标准差、VaR、Sharp比率(ShR)与Sortino比率(SoR)，结果见表3。对两种方法进行比较，就风险而言，与均值—方差模型相比，均值-VaR模型构建的组合投资的标准差较大，但VaR较小，符合悲观组合投资构建原理。就绩效而言，均值—方差模型和均值-VaR模型构建的组合投资的ShR比率和SoR比率相差不大，由此说明，在获得相同绩效的条件下，本文提出的均值-VaR方法能使投资者承担较小的尾部风险，因而更加有效。对均值-VaR方法下的四种参数选择方案结果进行比较，越考虑极端收益分布，且赋予的权重越大，其标准差越小，VaR越大，说明未考虑尾部风险的均值—方差模型已不能指导组合投资决策，而本文所用的均值-VaR模型更具有代表性。

注：(1)ShR率是比由Sharp(1966, 1994)[12,13]提出的，其值等于期望收益除以标准差；(2)SoR比率是由Sortino等(1991,1994)[14,15]提出的，其值等于期望收益除以下行风险.

以上结论也可以从组合投资收益序列尾部分布密度函数中得出。图1报告了基于均值回归的均值—方差模型(实线)与基于分位数回归的均值-VaR模型(虚线)所得组合投资收益的核密度估计。图1中，横轴代表收益，负的收益即为损失，纵轴为概率密度。由于VaR为收益序列下尾分布的相反，我们比较图1中收益分布的尾部特征，发现虚线在实线的下方，表明基于分位数回归的均值-VaR模型取得较大风险的可能性小于基于均值回归的均值—方差模型，从而有效地分散了尾部风险。

(2)组合投资有效前沿

基于均值回归的均值—方差模型的有效前沿描绘了相同的预期收益率条件下，风险最小的组合投资或者风险相同的条件下，预期收益率最大的组合投资。同样地，本文计算了基于分位数回归的均值-VaR模型的有效前沿。将期望对数收益设定在(-0.001,0.002)的范围内，得到两个模型的收益—标准差有效前沿和收益-VaR有效前沿，分别如图2和图3所示。

由图2可知，基于分位数回归的均值-VaR模型的有效前沿在基于均值回归的均值—方差模型有效前沿的右侧，表明相同的期望收益率条件下，前者所得组合投资的标准差高于后者。然而，方差风险存在诸多缺点，如不能区分负收益和正收益，将其都视为风险，不符合理性人假设。考虑VaR风险，则更符合实际要求。图3中，基于分位数回归的均值-VaR模型的参数选择方案一，其有效前沿在基于均值回归的均值—方差模型有效前沿的左侧，意味着：相同的期望收益率条件下，前者所得组合投资的VaR低于后者。

综合上述信息，基于分位数回归的均值-VaR模型能够更好地分散VaR风险，更加适合于尾部风险管理。

(3)风险值核密度估计

这里从另外一个角度分析组合投资效果，考虑风险值(包括标准差和VaR)的核密度估计结果。给定期望收益范围(-0.001,0.002)，分别使用基于分位数回归的均值-VaR模型与基于均值回归的均值—方差模型进行组合投资选择，计算其标准差风险与VaR风险，并给出风险值的核密度估计，分别见图4和图5。

由图4可知，就标准差风险而言，基于分位数回归的均值-VaR模型所得风险值核密度曲线在基于均值回归的均值—方差模型的右侧，表明前者的标准差风险大于后者。由图5可知，就VaR风险而言，基于分位数回归的均值-VaR模型所得风险值核密度曲线在基于均值回归的均值—方差模型的左侧，表明前者的VaR风险值小于后者。这一结果与有效前沿所得的结论相一致，进一步说明，本文提出的基于分位数回归的均值-VaR模型能够很好地分散尾部风险。

四、结 论

本文基于分位数回归给出了均值-VaR模型组合投资决策方法，主要贡献在于将均值-VaR模型的求解过程转化为一个分位数回归问题，从而避免复杂的凸规划求解，有利于均值-VaR模型的推广与应用。

通过实证研究，检验了本文提出方法的有效性。在与经典的均值—方差组合投资决策模型比较过程中，充分考虑了不同参数选择方案的影响。实证结果表明：第一，通过风险和绩效的比较，基于分位数回归的均值-VaR模型能使投资者承担较小的尾部风险，同时绩效与均值—方差模型下的组合投资相差不大；第二，通过尾部特征、有效前沿与风险值核密度估计等的比较，发现基于分位数回归的均值-VaR组合投资能够更好地分散VaR风险，适合尾部风险管理。

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责任编校：裴媛慧，孙咏梅

Mean-VaR Portfolio Through Quantile Regression Approach

JIANG Cui-xia1,2,LIU Yu-ye1,ZHOU Ying-ying1

(1.School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China;2. Key Laboratory of Process Optimization and Intelligent Decision-making, Ministry of Education, Hefei 230009, China)

The traditional mean-variance portfolio selection model need a rigorous normal distribution assumption. It is difficult to accurately describe and diversify the asymmetric and extreme tail risk of financial assets. So far, we consider the mean-VaR model and propose a new algorithm for its solution through quantile regression approach. For illustration, we use 60 stocks in Shanghai and Shenzhen 300 index. The performance of the mean-VaR model based on quantile regression is superior to the traditional mean-variance model.

Quantile Regression; Portfolio selection; mean-VaR model; mean-variance model

2014-11-20

国家自然科学基金资助项目(71071087)；教育部人文社会科学研究规划基金资助项目(14YJA790015)；安徽省哲学社会科学规划基金资助项目(AHSKY2014D103)；合肥工业大学产业转移与创新发展研究中心招标项目(SK2014A073)

蒋翠侠，女，安徽砀山人，副教授，硕士生导师，研究方向为数量经济理论与方法、金融计量、金融风险管理。

F830.59

B

1007-9734(2015)01-0028-06