思题所解叙己所思——2015年高考数学全国新课标Ⅱ理科第20题的拓展研究

☉黑龙江省牡丹江市第八中学 孔德泉

思题所解叙己所思
——2015年高考数学全国新课标Ⅱ理科第20题的拓展研究

☉黑龙江省牡丹江市第八中学 孔德泉

2015年全国高考刚刚落下帷幕，各省市高考试题凝聚了命题专家的集体智慧，具有权威性、示范性、借鉴性，研究高考试题对于数学教学大有裨益.笔者对一道解析几何题进行深入挖掘，在此与读者分享.

一、高考真题，情境再现

题目（2015年高考数学全国新课标Ⅱ理科第20题）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，直线l与C有两个交点A、B，线段AB的中点为M.

（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；

二、解法研究思路优化

（Ⅰ）解法一：参考标准答案（略）.

解法二：（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆C方程得两式相减，得9（x1-x2）（x1+x2） +（y1-y2）（y1+y2）=0，因为直线l与坐标轴不平行，所以9+，得kl·kOM=-9.

（Ⅱ）解法一：参考标准答案（略）.

从标准答案给出的做法来看，经历两次直线与椭圆联立，如何避免大量计算，不妨采取②③①或者①③②步骤顺序求解，即先表示出点P坐标，代入椭圆C方程减少一次直线与曲线联立，进而验证点P是否存在来判断四边形OAPB能否为平行四边形，调整后得解法二.

解法二：设直线l代入9x2+y2= m2（m＞0），得

评注：解法二用到的条件有：点P在椭圆C上；点M在直线l上，且满足xP=2xM，kl·kOM=-9；若从点M入手，且运用kl·kOM=-9，大大减少了计算量，由此可得解法三.

解法三：设M（x0，y0），由（Ⅰ）知①，若四边形OAPB为平行四边形，由点P（2x0，2y0）在椭圆上得②，由①②得m=4y0+12x0，再代入②化简得所以

评注：对于解法三，根据点P在椭圆上并代入方程的启发，直接从点P入手，运用椭圆的参数方程，设点P坐标，由此得解法四.

解法四：设椭圆上点P的坐标为的中点M的坐标为四边形OAPB为平行四边形，结合第（Ⅰ）问知化简得平方得sin2θ+cos2θ+即整理得即所以

三、演绎推理，结论生成

结论1：已知椭圆过点（b，a）或（-b，-a）的直线l，不过原点O且不平行于坐标轴，若直线l与椭圆C有两个交点A、B，线段AB的中点为M，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB为平行四边形，则直线l的斜率

解析：设椭圆上点P的坐标为（bcosθ，asinθ），OP的中点M的坐标为四边形OAPB为平行四边形，结合第（Ⅰ）问知a，b约分后，同样得（这样的做法易于发现本质），而

结论2：已知椭圆或（b，-a）的直线l，不过原点O且不平行于坐标轴，若直线l与椭圆C有两个交点A、B，线段AB的中点为M，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB为平行四边形，则直线l的斜率

直线l过点（b，a）；（-b，-a）；（-b，a）；（b，-a），仍具有一定的特殊性，替换成平面内任意一点（m，n），四边形OAPB还能为平行四边形吗？对点（m，n）有什么限定，则直线l的斜率kAB可否表示？再次引发我们的思考，笔者悉心研究发现：

解析：得2a2bmcosθ+ 2ab2sinθ=a2b2，即平方得（*）式有解，（4a2m2-a2b2）cos2θ+（4b2n2-a2b2）sin2θ+ 8abmncosθsinθ=0，除以sin2θ，得（4a2m2-a2b2）（与上面推理结论相同），代入求根公式得：所以

四、拓展变式，命题加强

结论4：已知椭圆过椭圆D：上任意一点M（x0，y0）的切线l与C有两个交点A、B，线段AB的中点为M，延长线段OM与椭圆C交于点P，则四边形OAPB为平行四边形.

结论5：过椭圆外的任意一点（m，n）的直线l（不过原点）与椭圆交于A、B两点，线段AB的中点为M，延长线段OM与椭圆C交于点P，有且只有两条过（m，n）的直线l使四边形OAPB为平行四边形.

结论6：已知椭圆直线l（不过原点）与C有两个交点A、B，线段AB的中点为M，延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，则直线l为的切线.

结论7：已知椭圆，直线l（不过原点）与C有两个交点A、B，线段AB的中点为M，延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，当直线l变化时，点M的轨迹方程为

四边形OAPB由平行四边形变式为菱形、正方形，若题目中的条件不发生改变，又会有以下结论：

结论8：直线l（不过原点）与椭圆0）交于A、B两点，线段AB的中点为M，延长OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为菱形，则直线l的方程为x=中点的顶点.

结论9：直线l（不过原点）与椭圆0）交于A、B两点，线段AB的中点为M，延长OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为正方形，直线l的方程为y=的长轴端点，且椭圆C的离心率为

五、求知若渴，学无止境

文中研究的均是焦点在y轴上的椭圆，将以上研究结论中的a、b互换即可得到焦点在x轴上椭圆的相关结论.解析几何作为高中数学不可或缺的一部分，是高考考查中的重头戏，而双曲线、抛物线也是圆锥曲线中的重要成员，双曲线、抛物线中的相关结论期待大家的研究.波利亚有一句脍炙人口的名言：“掌握数学就是意味着善于解题.”只要我们不断地进行研究创新，数学结论将演绎得更加绚丽多姿，数学习题之花将遍野开放.