利用导数处理不等式恒成立问题的策略和方法——从2015年高考山东卷第21题谈起

☉湖北大学附属中学 秦 俭

利用导数处理不等式恒成立问题的策略和方法
——从2015年高考山东卷第21题谈起

☉湖北大学附属中学 秦 俭

不等式恒成立问题是函数与不等式综合问题的重要内容，也是体现导数工具性的重要应用，常见方法就是结合函数转化为求函数最值，但是如何构造函数进行不等式等价转化也是解决问题的关键，笔者结合2015年山东高考第21题谈谈这类问题常用的解决方法.

一、合理讨论参数

不等式恒成立问题往往与函数的最值有密切联系，而求函数最值与函数的增减性有关，所以往往需要对参数进行合理讨论函数单调性.

例1（2015年山东高考第21题）设函数f（x）=ln（x+ 1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；

（2）若∀x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范围.

解析：（1）略.

②a<0，令g（x）=2ax2+ax+1-a，Δ=9a2-8a，此时Δ>0，令此时x2>0，函数f（x）在（0，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减，不合题意，舍去.

综上所述：0≤a≤1.

二、参变分离

对于含有参数的不等式恒成立问题，难点往往在于参数与自变量的相互变化、相互影响，这个时候可以考虑能否将参数分离出来，从而将不等式恒成立问题等价转化为函数的最值问题.

例2已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-3，若对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围.

解析：本题只需证明不等式2xlnx≥-x2+ax-3对一切x∈（0，+∞）恒成立，若构造函数则对参数分类很麻烦，此时可以将参数a分离，不等式等价变形为a≤x+2lnx+令函数则只需a≤h（x）min，又h′（x）=则函数h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，因此h（x）min=h（1）=4，所以a≤4.

三、构造函数

在处理不等式恒成立问题时，如果分离变量可能导致函数求导比较困难，可以合理构造函数，从而将不等式恒成立问题转化为函数最值问题.

例3（2015年湖北八校联考）已知函数f（x）=lnxmx2，g（x）mx2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x），若关于x的不等式F（x）≤mx-1恒成立，求整数m的最小值.

解法一：令1，所以G′（x）

当m≤0时，因为x>0，所以G′（x）>0.所以G（x）在（0，+∞）上是递增函数.又因为所以关于x的不等式G（x）≤mx-1不能恒成立.

所以整数m的最小值为2.

评注：本例通过合理构造函数，将不等式恒成立问题等价转化为求函数最值，思路清晰自然，但本例也可以尝试用分离变量方法.

解法二：由F（x）≤mx-1恒成立，得mx-1在（0，+∞）上恒成立.

所以h（x）max=h（x0）

四、等价转化

例4（2015年浙江模拟）已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+ t）ex，t∈R.若存在实数t∈［0，2］，使对任意的x∈［1，m］，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值.

解析：不等式f（x）≤x，即（x3-6x2+3x+t）ex≤x，即t≤xe-x-x3+6x2-3x.

转化为存在实数t∈［0，2］，使对任意的x∈［1，m］，不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立.

即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈［1，m］上恒成立.

即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈［1，m］上恒成立.

设φ（x）=e-x-x2+6x-3，则φ′（x）=-e-x-2x+6.

设r（x）=φ′（x）=-e-x-2x+6，则r′（x）=e-x-2.

因为1≤x≤m，有r′（x）<0，故r（x）在区间［1，m］上是减函数.

r（1）=4-e-1>0，r（2）=2-e-2>0，r（3）=-e-3<0，故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ′（x0）=0.

当1≤x0，当x>x0时，有φ′（x）<0.

从而y=φ（x）在区间［1，x0］上递增，在区间［x0，+∞）上递减.

又φ（1）=e-1+4>0，φ（2）=e-2+5>0，φ（3）=e-3+6>0，φ（4）=e-4+5>0，φ（5）=e-5+2>0，φ（6）=e-6-3<0.所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）>0；当x≥6时，恒有φ（x）<0.

故使命题成立的正整数m的最大值为5.

评注：本题中参数和变量比较多，如何准确理解题意是最重要的，即将已知不等式等价转化为不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈［1，m］上恒成立是本题关键.本题题干叙述简洁，设问方式灵活，综合应用了利用导数研究函数单调性，结合函数的零点知识，从抽象到具体，很好地体现了导数在研究函数问题时的工具性.

总之，在解决这类问题时，要使解题方法更加灵活多样，思路更加清楚和合理，就必须在解题方法上多思考，多总结，加强对这类问题的总结与反思，不断提高自身综合能力和水平，促进自身综合素质的不断提高.