重视数学活动经验 体验数学“研究”历程

●陈碧芬 (浙江师范大学教师教育学院 浙江金华 321004) ●林 昀 (城南中学 浙江江山 324100)

重视数学活动经验 体验数学“研究”历程

●陈碧芬 (浙江师范大学教师教育学院 浙江金华 321004) ●林 昀 (城南中学 浙江江山 324100)

1 研究背景

2011版《义务教育数学课程标准》在课程目标中明确提出基本活动经验为“四基”之一，这是数学学习的结果之一，是长时间积累后形成的思维模式［1］.建构主义也认为，数学教学应建立在学生已有知识经验基础之上.因此，在数学教学中，不仅要积累学生的数学活动经验，更要让学生的已有数学活动经验在利用过程中得到提升，进而体验数学研究的历程.下面以“分式”(第1课时)为例来说明如何利用数学活动经验使学生体验数学研究过程.

“分式”是继整式概念及四则运算后的学习内容，内容主要包括:分式概念、使分式有意义的条件、分式为0的条件及求分式的值等.其中，分式概念的产生来自于对整式的运算(尤其是除法运算)，使分式有意义的条件可由分数类比得到，后2个可由求代数式的值得到.实际上，这较好地体现了研究数与代数式的主要历程:数或式是在运算的过程中产生和发展的;代数式的研究内容与方法如同数的研究内容与方法:何时代数式及其运算有意义(“分式”第1课时不涉及);对分式的研究如同整式的研究:求值.分式教学的设计正是充分利用学生的数学活动经验，使学生在经历数学知识的发生发展过程中，感悟到数学(代数式)研究的思路与方法.

2 案例及说明

“分式”(第1课时)大致分为5个环节，简要的教学过程及设计意图如下所述.

环节1 利用整式运算引出新知

首先请学生举出已经学过的整式(单项式与多项式)的例子，然后请学生选择其中的2个整式并选择一种运算(+、－、×、÷)，接着要求学生对运算后的代数式进行归类(整式与不是整式)，并说出分类标准.

设计意图 从复习已有知识出发，在整式运算的过程中“自然”产生“分式”这一新概念，这不仅引出了课题，而且使学生体会到分式的产生并不是凭空创造的，而是有据可依的.

环节2 类比形成概念

1)请学生对“不是整式”的这一类代数式命名;

2)请学生概括出“分式”的定义，并与教材中的定义进行比较，找出不同之处;

3)练习:要求学生对一些代数式进行分类，其中对分母是π的情况进行重点说明.

设计意图 “请学生命名”这一活动看似简单，却蕴含着很有价值的数学思维活动.实际上，数学中概念的名称并非总是随意规定的，而是有迹可循的.类比算术中的“整数”与代数中的“整式”，那么类比算术中的“分数”，上述“分母中有字母的代数式”可命名为“分式”.请学生归纳定义，意在重新审视“分式”的产生过程，突出“2个整式相除”这一本质特征，即分式是由整式运算产生的.而后与教材中的定义进行比较，有助于学生用严谨的数学语言描述定义.练习的目的在于使学生能更好地理解概念，并分化整式与分式这2个概念.这一过程，让学生体会到出现新的概念后，应对其进行命名并进行严格的定义，便于日后的交流与进一步研究.

环节3 类比理解概念

1)x可以取任何值吗?

2)当x=2时，分式的值是多少?

3)这个代数式可以取到0吗?

1)使分式有意义的x的取值是多少?

2)当x取何值时，分式为0?

设计意图 例1是最简单的分式类型，学生联想到“分数中的分母不为0”，提出第1个问题;由分式中的字母联想到代数式求值问题提出了第2个问题;特殊值0往往是数学中特别青睐的数，因此从求代数值的逆向思维考虑提出了第3个问题.这一过程展示了代数式的研究实质是研究式子中所含的字母.在整式的研究中主要涉及到的是求代数值，对分式的研究增加了“由于分母中有字母这一特征引起的‘使分式有意义的条件’”的讨论.这既是对原先代数式研究经验的利用，同时也积累了新的经验，并使学生领悟到研究代数式的思路.例2进一步巩固所学知识，例3旨在让学生意识到在解决如第3个问题时还要考虑到第1个问题，将“分式求值”与“使分式有意义的条件”这2个知识点联系起来，表明数学的研究不仅要考虑单个知识点，还应系统地、有联系地考虑相关知识.

环节4 练习升华概念

在这一环节中，教师选择了3个题目:

A.x=1 B.x=2

C.x=1且x=2 D.x=1或x=2

2)构造一个分式，同时满足:当x=3时，该分式的值为0;当x=1时，该分式无意义;当x=2时，该分式的值为4.

3)实际问题:浙教版教材中的例3(追及问题)，特别强调“当a=b时会出现什么情况”.

设计意图 目的是让学生理解与巩固分式的概念及相关知识，尤其是第2)小题分式的构造对学生来说是挑战，但能有效地检验学生对分式相关知识的理解与掌握情况.

环节5 总结感悟

小结:谈谈你的收获和体会?

学生不仅说出了本节课的知识点，并且还指出了分式概念的由来:分式是整式的除法运算得到的;由于分式与分数很像，因此我们要注意分母不为0;又因为分式也是代数式，所以要考虑分式求值.最后教师总结:数是伴随着运算产生的，式也是伴随着运算产生的.

设计意图 总结回顾不仅仅是提纲挈领式对知识点进行概括与归纳，也应帮助、引导学生反思知识的产生发展过程.这有利于学生数学活动经验的升华，尤其是教师最后的概括性总结，一语道破了数与式发展的本质.

3 反思与启示

数学概念产生和发展的途径主要有3条:1)从现实模型直接得来(如点、线、面);2)经过多级抽象概括得来(如函数);3)从数学内部需要产生出来(如零指数幂)［2］.分式概念就是从整式的四则运算中产生出来的，还原数学概念的产生与发展过程，有助于帮助学生理解分式与整式的联系与区别，更有助于帮助学生领悟研究代数式的思路与方法.然而，在这一过程中要“巧设问题”、“自然过渡”，即在数学研究的过程中积累数学活动经验、领悟数学研究的思路与方法.

3.1 在回顾中“自然”产生新知

回顾旧知是教师开始新课之前常用的引入方式，其目的无外乎是进一步巩固昨天所学的知识、引出新知.好的引入应注重知识的联结并巧设契机，使学生体会到新知的“自然”产生过程.本案例中，教师在让学生举例说明单项式、多项式这些整式及其运算的过程中，“自然”地发现有一类式子是以前没有接触过的，从而使学生有学习的欲望、命名的冲动.

实际上，要使新知从旧知中“自然”产生，教师在设计教学时应同时考虑以下几点:1)与新知密切相关的学生已有知识与经验有哪些，这是学习新知的起点.2)新知的历史发展过程，这为新知的教学提供了思路.Tzanakis和Arcavi认为:以知识点历史发展顺序进行教学，可以更好地帮助学生理解新知;通过历史，教师可以更好地意识到“做数学”的创造过程，从而丰富数学素养［3］.3)如何设计从旧知引出新知.根据历史发生原理，个体的认知发展过程与人类知识的发展过程是相似的.因此，教学设计要在尊重知识历史发展的情况下，使学生经历知识发生的关键步骤，而非历史的重现.本案例中，教师让学生经历的关键步骤是由整式的四则运算引出新的式子.

3.2 利用相关活动经验发展新知

分式与整式相比，分母中出现了字母.这一特征决定了分式学习的已有相关经验除整式外还有分数.联想整式的学习经验(求代数值等)与分数的学习经验(分母不等于0等)学习分式的相关知识.

数学活动经验具有过程性，它是在数学活动过程中生成的，也是在数学活动过程中完善、拓展与提升的［4］.因此，在利用相关活动经验时，应让学生经历数学知识活动的全过程.本案例中，概念的命名、定义的概括、分式学习内容的提出等基本上都是在教师适当、适时引导下，由学生自己完成整个过程，即经历了分式学习的每一个环节.

3.3 总结反思数学“研究”历程

为了使学生获得比较完整、深刻的数学活动经验，教师不仅应引导学生积极参与数学活动，还应引导他们反思数学活动、内化数学活动，完成经验的创造、领悟、反思、内化、检验和重新创造［5］.案例中的最后一个环节即是在总结本节课知识要点的同时，回顾反思了分式学习的整个过程，将代数式的研究从整式扩展到了分式，拓展了活动经验，最后提出了数与式发展的一般规律.

数学“研究”历程有助于学生对后继类似知识或相关知识的学习，也有助于对已有知识的理解;它是结果，更是过程.数学活动经验的过程性特征决定了数学研究思路与方法的学习可以借助已有的数学发展历史，让学生在经历数学活动的过程中得以实现.

［1］ 郭玉峰，史宁中.数学基本活动经验:提出、理解与实践［J］.中国教育学刊，2012(4): 42-45.

［2］ 十三院校协编组.中学数学教材教法(总论)［M］.北京:高等教育出版社，1987.

［3］ Tzanakis C，Arcavi A.Integrating History of Mathematics in the Classroom:an Analytic Survey［A］.In:Fauvel J，van Maanen J.History in Mathematics Education［C］.The ICMI Study Dordrecht:Kluwer Academic Publishers，2000:201-240.

［4］ 马文杰，鲍建生.论“数学活动经验”的基本特征［J］.数学通报，2013，52(9):9.

［5］ 仲秀英，宋乃庆.经验学习理论对数学活动经验教学的启示［J］.西南大学学报:社会科学版，2009，35(6):131.