数学审美能力的培养

郑烈平(福建省寿宁县第四中学 355500)

数学审美能力的培养

郑烈平(福建省寿宁县第四中学 355500)

让学生获得对数学美的鉴赏能力，应是数学教育与教学的根本任务之一。这对于学生对数学的爱好与兴趣的培养，发展创造性思维能力都有深远的影响。根据本人多年的数学教学实践经验，结合美学的有关理论提出初步认识，探讨在数学教学中培养审美能力的途径。

一、从学科的基本结构中鉴赏数学的美

直觉思维出于对思维对象整体的认识，数学之美虽也表现在数学对象的外表，例如美妙的曲线，对称的方程，但总的说来，数学之美是深深地蕴藏在数学对象的相互联系之中，数学方法的共通之中。数学理论的高度抽象性、逻辑性、应用广泛性和美学中的统一、简单、和谐的准则正相吻合，数学的基本结构成为数学美的源泉。例如，曾使罗素产生过初恋般感情的欧氏几何，它的美强烈地表现于它的逻辑结构上，而这正是欧氏几何的学科特点。这种美感出于对欧氏几何结构的深刻理解。在数学教学中，教师应该从学科的基本结构出发，引导学生鉴赏数学内在的美。例如，为了突出平面几何的这种逻辑美，就应该在入门教学中采取程序化的教学方法，在不同场合提出相同的问题，以引起学生相似的思维活动，利用“选择-探索”的探索程式和三段论的推理模式，形成强烈的节奏和旋律，使学生得到美的感受。

数学的美还表现在数学结构的统一中。正如恩格斯所说，数学中充满了辩证法。如平面几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线定理，都可以统一于圆幂定理。解析几何中的椭圆、抛物线、双曲线都统一于圆锥曲线。在极限概念建立之后，这种转化与统一就在更高的层次上进行了，如有限与无限、曲线与直线、切线与割线的转化。认识了它们之间的统一性，也就抓住了数学中的美点。

为了突出数学的基本结构，我们应当强调数学概念间的内在联系，而在提示出这种联系的，就会发现数学结构的和谐美。例如乘幂运算法则am·an=am+n，三角变换的积化差公式cos a cosβ=［cos(a+β)+cos(a-β)］以及复数的乘法运算公式(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=cos(θ1+ θ2)+isin(θ1+θ2)得到(cosθ+isinθ)n=cosθ+isinθ。在此基础上，我们有欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，终于实现了乘幂运算与三角变换的统一。显然，这样的教学在突出基本结构、挖掘数学概念内在联系的同时，一定会加深学生对数学的理解，并得到美的享受。

从形式多样的解题方法中指出统一的解题思想，就如同在复杂音乐作品中指出它的主旋律，使初学者更好地发现美的存在。当然，与此同时，学科的基础结构也就得到体现。例如在立体几何的解题方法中，化归是主要的指导思想，占据主导地位。空间问题化归为两点间的距离，几何体的体积公式的推导也是通过逐步化归完成的，在教学中应突出这种主导思想。事实证明，在数学教学中，坚持突出学科的基本结构，就可以达到使审美过程与理解过程统一起来的效果。

二、在发现活动中突出数学审美过程

既然数学审美活动是直觉思维的一种重要形式，那么在发现活动中突出数学审美过程，就成为发展数学能力的基本途径之一。

科学发现活动往往开始于对现有知识结构美的缺陷的认识。例如，非欧几何的研究源于对欧氏第五公设的怀疑(因为它不“简单”)，射影几何源于对直线交点的追究(因为它不“对称”)，在数学教学中可以让学生分析现在的知识结构，发现它的美中不足之处，提出课题。如在引进对数概念时，可以考虑等式ab=N所定义的几种运算:已知a、b求N(乘方)，已知N、b求a(开方)从对称性角度考虑，我们自然要研究已知N、a和b的运算。这样就从原有知识结构不对称的缺陷开始，完成了提出课题的任务。

在数学教学中，我们经常用推广、特殊化、类比、逆向联想等方法来提出课题。从前面的分析已经看到:在这些方法的背后，存在着美学因素的潜在影响。使用这些方法提出课题，不仅具有认识上的价值，而且具有美学的价值。

在科学发现过程中，科学家是通过自己的美学直觉来确定突破方向、选择方案、作出评价的。同样，在数学的探索过程中(探求结论、方法、途径)也可以适当地发挥美的直觉作用。

例1:求前n个自然数的和。由公式S1(n)=1+ 2+3+……+n=n(n+1)自然要问S2(n)=12+ 22+32+……+n2=?可以列举前几项，希望从中找了规律:当n=1，2，3，4，5，6……时，S1(n)分别为1，3，6，10，15，21……S2(n)分别为1，5，14，30，55，91……可以看出，S2(n)的前几个值发现不了什么联系。那么S2(n)/S1(n)是否有规律可循呢?事实上当n=1，2，3……时，S2(n)/S1(n)分别为3/3，5/ 3，7/3，9/3，11/3……我们找到了“规律”，猜想S2(n)/S1(n)=(2n+1)/3，所以有S2(n)=n(n+1)(2n+ 1)，数学归纳法将帮助我们证明这个结果。

在寻求解题途径时，美感直觉可能会给我们帮助，但这种直觉的产生往往是偶然的甚至是无从解释的，在数学教学过程中，则要尽力地为它的出现安排好必要的阶梯。

例2:已知平面上有直线L及其同侧的两点A、B，在直线L上求一点，使从X看A、B所张的视角最大。

分析:设想X点从L的左方无穷远处沿直线运动到右方无穷远处，则视角∠AXB经历了由无穷小增大到某一值后又减小到无穷小的过程。这表明，变化过程从总体上看是对称的，但在某一点处必使∠AXB达到最大值。

设想在点X1处∠AX1B达不到最大值，那么由上面对于对称性的认识，则可在点的另一方有点X2，使∠AX1B=∠AX2B，易知这时A、X1、X2、B共圆。因此，可以猜想，只有当过A、B的圆与L相切时，切点才可能是所求的点X，这样，通过想象利用问题的对称找到了解答，剩下的对上面结论作逻辑证明。

数学之美还表现在奇异。培根说:“美在于独特而令人惊异。”奇异与和谐是对立的统一，数学中出人意料的反例与巧妙的解题方法都令人叫绝，表现出奇异的美，闪耀着智慧之光。作为发现后的思考，应该对这些解题过程反复玩味，在欣赏奇异美的同时，竭力挖掘隐藏在技巧后面的思想。

一位数学家在电车上给某教授出了一道题:甲、乙两人相对而行，距离为一百里。甲每小时走六里，乙每小时走四里，总有一个时候会碰面。一只狗每小时走十里，同甲一起出发，碰到乙后向甲方走，碰到甲后又向乙方走，直到甲乙两人相会为止，问此狗一共走了多少里?下车时，教授得到了正确答案:10×10= 100，狗跑了一百里。

某教授是怎样找到答案的呢?原来他避开了分段计算狗所跑路程的计算方法，而抓住了问题中的不变量:狗不断地跑，其速度不变，直到甲乙两相会为止，从而抓住了问题的本质。在欣赏这一解法的同时，又令人想起了小高斯所完成的天才计算:1+2+3+4+……+100= 5050。事实上，利用这种思想方法可以给出不少问题的简捷解法。

从这里可以看出，在看来奇特的解法后面隐藏着具有一般意义的思想，这正是值得我们在完成解题过程后仔细玩味的。

德国学者布雷希特认为，科学美在于“困难的克服”。在发现活动中，在解题过程中突出审美能力的培养是完全可能的。

［1］丛书惠.中学数学解题教学与数学美［J］.沈阳师范大学出版社'2006.

［2］沈虹.数学美育教学初探［J］.教育与职业'中华职业教育出版社'2008.

(责编赵建荣)