平面向量问题的破解之道

朱贤良

平面向量融数、形于一体，在知识的呈现上，既有代数形式的向量加法、减法、数乘运算以及数量积运算，又有向量加法、减法、数乘运算的几何意义和数量积的坐标运算，表现出形式多样，方法灵活，给高考提供了多渠道的命题视角，成为近十年来每年高考必考的一个热点问题，并在考查力度上有日渐加强、加深、加活之态势.在求解平面向量试题时，要紧抓向量“数”与“形”的特征，让向量不再难.

策略一巧选基底，化繁为简

根据平面向量基本定理，平面内的任一向量p都可以用两个不共线的向量a、b唯一地线性表示为p=xa+yb（x，y∈R）.一般地，选取基底时，首选已知模和夹角的一对向量，实在不行，至少也要是已知夹角的一对向量（至于坐标法，本质上就是找到一对夹角为直角的向量为基底的基底法）.找到基底后，把要求的向量用基底线性表示即可.

例1（苏北四市2014届高三第一次质量检测·13）在平面四边形ABCD中，已知AB=3，DC=2，点E，F分别在边AD，BC上，且AD=3AE，BC=3BF.若向量AB与DC的夹角为60°，则AB·EF的值为 .

解析本题中AB与DC的模与夹角都已知，故可选为基底，关键是将EF表示出来.

图1

如图1，EF=EA+AB+BF=-13AD+AB+13BC=-13（AB+BD）+AB+13BC=23AB+13DC，故AB·EF=AB·（23AB+13DC）=23AB2+13AB·DC=7.

评注选取AB与DC作为基底，充分体现了转化与化归的数学思想，化“未知向量”为“已知向量”，从而使问题的求解思路清晰、明确.

策略二妙构图形，彰显“形”之直观

在进行平面向量运算时，也可以尝试直接构造图形，化难为易，求解直观简洁.

例2（2008年高考浙江卷·理9）已知a，b是

平面向量融数、形于一体，在知识的呈现上，既有代数形式的向量加法、减法、数乘运算以及数量积运算，又有向量加法、减法、数乘运算的几何意义和数量积的坐标运算，表现出形式多样，方法灵活，给高考提供了多渠道的命题视角，成为近十年来每年高考必考的一个热点问题，并在考查力度上有日渐加强、加深、加活之态势.在求解平面向量试题时，要紧抓向量“数”与“形”的特征，让向量不再难.

策略一巧选基底，化繁为简

根据平面向量基本定理，平面内的任一向量p都可以用两个不共线的向量a、b唯一地线性表示为p=xa+yb（x，y∈R）.一般地，选取基底时，首选已知模和夹角的一对向量，实在不行，至少也要是已知夹角的一对向量（至于坐标法，本质上就是找到一对夹角为直角的向量为基底的基底法）.找到基底后，把要求的向量用基底线性表示即可.

例1（苏北四市2014届高三第一次质量检测·13）在平面四边形ABCD中，已知AB=3，DC=2，点E，F分别在边AD，BC上，且AD=3AE，BC=3BF.若向量AB与DC的夹角为60°，则AB·EF的值为 .

解析本题中AB与DC的模与夹角都已知，故可选为基底，关键是将EF表示出来.

图1

如图1，EF=EA+AB+BF=-13AD+AB+13BC=-13（AB+BD）+AB+13BC=23AB+13DC，故AB·EF=AB·（23AB+13DC）=23AB2+13AB·DC=7.

评注选取AB与DC作为基底，充分体现了转化与化归的数学思想，化“未知向量”为“已知向量”，从而使问题的求解思路清晰、明确.

策略二妙构图形，彰显“形”之直观

在进行平面向量运算时，也可以尝试直接构造图形，化难为易，求解直观简洁.

例2（2008年高考浙江卷·理9）已知a，b是

平面向量融数、形于一体，在知识的呈现上，既有代数形式的向量加法、减法、数乘运算以及数量积运算，又有向量加法、减法、数乘运算的几何意义和数量积的坐标运算，表现出形式多样，方法灵活，给高考提供了多渠道的命题视角，成为近十年来每年高考必考的一个热点问题，并在考查力度上有日渐加强、加深、加活之态势.在求解平面向量试题时，要紧抓向量“数”与“形”的特征，让向量不再难.

策略一巧选基底，化繁为简

根据平面向量基本定理，平面内的任一向量p都可以用两个不共线的向量a、b唯一地线性表示为p=xa+yb（x，y∈R）.一般地，选取基底时，首选已知模和夹角的一对向量，实在不行，至少也要是已知夹角的一对向量（至于坐标法，本质上就是找到一对夹角为直角的向量为基底的基底法）.找到基底后，把要求的向量用基底线性表示即可.

例1（苏北四市2014届高三第一次质量检测·13）在平面四边形ABCD中，已知AB=3，DC=2，点E，F分别在边AD，BC上，且AD=3AE，BC=3BF.若向量AB与DC的夹角为60°，则AB·EF的值为 .

解析本题中AB与DC的模与夹角都已知，故可选为基底，关键是将EF表示出来.

图1

如图1，EF=EA+AB+BF=-13AD+AB+13BC=-13（AB+BD）+AB+13BC=23AB+13DC，故AB·EF=AB·（23AB+13DC）=23AB2+13AB·DC=7.

评注选取AB与DC作为基底，充分体现了转化与化归的数学思想，化“未知向量”为“已知向量”，从而使问题的求解思路清晰、明确.

策略二妙构图形，彰显“形”之直观

在进行平面向量运算时，也可以尝试直接构造图形，化难为易，求解直观简洁.

例2（2008年高考浙江卷·理9）已知a，b是