构造辅助函数法在中学数学中的应用

吴维群

辅助函数，是人们在数学研究和教学的活动中，为了便于解决所探讨的问题，将已掌握的函数经过有限次的四则运算及复合，构造一个新的函数关系.这个新构造出来的函数必须存在于已知的知识体系中，且与所讨论的问题紧密相关又易于研究，以达到转化“矛盾”，进而解决矛盾的目的.在中学数学中构造辅助函数法主要用来证明不等式.

利用函数单调性证明不等式常用的是构造辅助函数的方法.构造辅助函数的方法灵活多变，不同的知识段有着不同的技巧和方法，用函数单调性证明不等式常用以下几种方法.1.用不等式两边“求差”构造辅助函数

例1证明当x>1时，2x>3-1x.

分析利用“求差”法构造辅助函数f（x）=

2x-（3-1x），x>1.则将要证明的结论转化为要证f（x）>0，而f（1）=0.因而只需证明当x>1时，f（x）>f（1）.

证明令f（x）=2x-（3-1x），则f ′（x）=1x-1x2=1x2（xx-1）>0.所以当x>1时，f（x）>f（1），又由于f（1）=0，所以f（x）>f（1）=0，即2x-（3-1x）>0.

故2x>3-1x（x>1）.

2.用不等式两边适当“求商”构造辅助函数

例2当02πx.

分析如果用“求差”构造辅助函数f（x）=2πx-sinx， f ′（x）=2π-cosx，在区间（0，π2）内f（x）的单调性无法判断.利用“求商”构造辅助函数f（x）=sinxx，再根据f（x）在区间（0，π2）的单调性来证明.

证明令f（x）=sinxx，则f ′（x）=cosx（x-tanx）x2（0f（π2）.即sinxx>2π，故sinx>2πx，（0

3.用参数变易法构造辅助函数解题

取一个端点为自变量构造函数，含双字母的不等式，可以考虑以其中一个字母为自变量，另外一个为常数来构造相应函数.

例3已知g（x）=xlnx，0

分析本题是在一个区间上证明不等式，而不等式涉及的变量就是区间的两个端点，因此设辅助函数时把其中的一个端点设为自变量.

证明设F（x）=g（a）+g（x）-2g（a+x2），则

F′（x）=g′（x）-2g′（a+x2）=lnx-lna+x2，

当x=a时F′（x）=0，F（x）取得极小值F（a），所以F（b）>F（a），即0

设G（x）=F（x）-（x-a）ln2，则G′（x）=lnx-ln（a+x），当x>0时，G′（x）<0，G（x）是减函数.G（b）

4.根据不等式两边结构，构造“形似”辅助函数.

例4求证|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

分析不等式两边有相同的形式A1+A，利用“形似”将某个字母换成x，构造辅助函数f（x）=x1+x（x≥0），再利用函数的单调性证明不等式.

证明令f（x）=x1+x（x≥0），显然f（x）在[0，+∞）上连续且可导，因为f ′（x）=1（1+x）2>0，所以f（x）在[0，+∞）上严格单调递增.由于0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），故|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|

辅助函数，是人们在数学研究和教学的活动中，为了便于解决所探讨的问题，将已掌握的函数经过有限次的四则运算及复合，构造一个新的函数关系.这个新构造出来的函数必须存在于已知的知识体系中，且与所讨论的问题紧密相关又易于研究，以达到转化“矛盾”，进而解决矛盾的目的.在中学数学中构造辅助函数法主要用来证明不等式.

利用函数单调性证明不等式常用的是构造辅助函数的方法.构造辅助函数的方法灵活多变，不同的知识段有着不同的技巧和方法，用函数单调性证明不等式常用以下几种方法.1.用不等式两边“求差”构造辅助函数

例1证明当x>1时，2x>3-1x.

分析利用“求差”法构造辅助函数f（x）=

2x-（3-1x），x>1.则将要证明的结论转化为要证f（x）>0，而f（1）=0.因而只需证明当x>1时，f（x）>f（1）.

证明令f（x）=2x-（3-1x），则f ′（x）=1x-1x2=1x2（xx-1）>0.所以当x>1时，f（x）>f（1），又由于f（1）=0，所以f（x）>f（1）=0，即2x-（3-1x）>0.

故2x>3-1x（x>1）.

2.用不等式两边适当“求商”构造辅助函数

例2当02πx.

分析如果用“求差”构造辅助函数f（x）=2πx-sinx， f ′（x）=2π-cosx，在区间（0，π2）内f（x）的单调性无法判断.利用“求商”构造辅助函数f（x）=sinxx，再根据f（x）在区间（0，π2）的单调性来证明.

证明令f（x）=sinxx，则f ′（x）=cosx（x-tanx）x2（0f（π2）.即sinxx>2π，故sinx>2πx，（0

3.用参数变易法构造辅助函数解题

取一个端点为自变量构造函数，含双字母的不等式，可以考虑以其中一个字母为自变量，另外一个为常数来构造相应函数.

例3已知g（x）=xlnx，0

分析本题是在一个区间上证明不等式，而不等式涉及的变量就是区间的两个端点，因此设辅助函数时把其中的一个端点设为自变量.

证明设F（x）=g（a）+g（x）-2g（a+x2），则

F′（x）=g′（x）-2g′（a+x2）=lnx-lna+x2，

当x=a时F′（x）=0，F（x）取得极小值F（a），所以F（b）>F（a），即0

设G（x）=F（x）-（x-a）ln2，则G′（x）=lnx-ln（a+x），当x>0时，G′（x）<0，G（x）是减函数.G（b）

4.根据不等式两边结构，构造“形似”辅助函数.

例4求证|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

分析不等式两边有相同的形式A1+A，利用“形似”将某个字母换成x，构造辅助函数f（x）=x1+x（x≥0），再利用函数的单调性证明不等式.

证明令f（x）=x1+x（x≥0），显然f（x）在[0，+∞）上连续且可导，因为f ′（x）=1（1+x）2>0，所以f（x）在[0，+∞）上严格单调递增.由于0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），故|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|

辅助函数，是人们在数学研究和教学的活动中，为了便于解决所探讨的问题，将已掌握的函数经过有限次的四则运算及复合，构造一个新的函数关系.这个新构造出来的函数必须存在于已知的知识体系中，且与所讨论的问题紧密相关又易于研究，以达到转化“矛盾”，进而解决矛盾的目的.在中学数学中构造辅助函数法主要用来证明不等式.

利用函数单调性证明不等式常用的是构造辅助函数的方法.构造辅助函数的方法灵活多变，不同的知识段有着不同的技巧和方法，用函数单调性证明不等式常用以下几种方法.1.用不等式两边“求差”构造辅助函数

例1证明当x>1时，2x>3-1x.

分析利用“求差”法构造辅助函数f（x）=

2x-（3-1x），x>1.则将要证明的结论转化为要证f（x）>0，而f（1）=0.因而只需证明当x>1时，f（x）>f（1）.

证明令f（x）=2x-（3-1x），则f ′（x）=1x-1x2=1x2（xx-1）>0.所以当x>1时，f（x）>f（1），又由于f（1）=0，所以f（x）>f（1）=0，即2x-（3-1x）>0.

故2x>3-1x（x>1）.

2.用不等式两边适当“求商”构造辅助函数

例2当02πx.

分析如果用“求差”构造辅助函数f（x）=2πx-sinx， f ′（x）=2π-cosx，在区间（0，π2）内f（x）的单调性无法判断.利用“求商”构造辅助函数f（x）=sinxx，再根据f（x）在区间（0，π2）的单调性来证明.

证明令f（x）=sinxx，则f ′（x）=cosx（x-tanx）x2（0f（π2）.即sinxx>2π，故sinx>2πx，（0

3.用参数变易法构造辅助函数解题

取一个端点为自变量构造函数，含双字母的不等式，可以考虑以其中一个字母为自变量，另外一个为常数来构造相应函数.

例3已知g（x）=xlnx，0

分析本题是在一个区间上证明不等式，而不等式涉及的变量就是区间的两个端点，因此设辅助函数时把其中的一个端点设为自变量.

证明设F（x）=g（a）+g（x）-2g（a+x2），则

F′（x）=g′（x）-2g′（a+x2）=lnx-lna+x2，

当x=a时F′（x）=0，F（x）取得极小值F（a），所以F（b）>F（a），即0

设G（x）=F（x）-（x-a）ln2，则G′（x）=lnx-ln（a+x），当x>0时，G′（x）<0，G（x）是减函数.G（b）

4.根据不等式两边结构，构造“形似”辅助函数.

例4求证|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

分析不等式两边有相同的形式A1+A，利用“形似”将某个字母换成x，构造辅助函数f（x）=x1+x（x≥0），再利用函数的单调性证明不等式.

证明令f（x）=x1+x（x≥0），显然f（x）在[0，+∞）上连续且可导，因为f ′（x）=1（1+x）2>0，所以f（x）在[0，+∞）上严格单调递增.由于0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），故|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|