个数乘个数，结果怎么会等于种数？

庄治新+++严育洪

【“望”：病例观察】

“事物搭配的规律”是苏教版教材四年级下册的内容。教材例1的情境图是木偶搭配帽子——

师：小明就要过生日了，妈妈要送他一件礼物，小明来到玩具柜台旁，（出示挂图）小明要买一个木偶，再配一个帽子。像这样一个木偶配一个帽子，我们就叫搭配。柜台上有三种不同颜色的木偶和两种不同颜色的帽子，小明在思考买什么颜色的木偶配什么颜色的帽子好看，请同学们给他提些建议好吗？

师：刚才几个同学的主意都不错，那同学们能不能有序而又不重复地把所有的搭配方法都找出来，让小明自己去选择呢？请同学们拿出老师事先发给你们的木偶和帽子的图片，动手搭配一下。

反馈汇报时有两种搭配思路：A.先选帽子再配木偶;B.先选木偶再配帽子。

……

师：把木偶增加到4个，一共有多少种不同的搭配方法呢？8个、50个呢？

师：如果帽子增加到3个，又有多少种搭配方法呢？5个、100个呢？

教师根据学生的回答完成表格：

木偶个数 帽子个数 搭配种数

3 2 6

4 2 8

8 2 16

50 2 100

3 5 15

3 100 300

师：观察表格中数据，木偶的个数和帽子的个数与有多少种搭配方法之间有什么关系呢？

生：木偶个数×帽子个数=搭配种数。

师：这就是搭配的规律。

……

在练习环节，教师出示题目“如果木偶和帽子一共有12种搭配方法，那么你知道可能有多少个木偶和帽子吗？”一位学生答道：“6+6=12，……”教师未等她说完，便指着板书提醒这位学生：“木偶个数×帽子个数=搭配种数，应该从乘法上想。”谁知这位学生甚是困惑地问道：“个数乘个数，结果怎么会等于种数啊？”

【“问”：病历记录】

我们暂且不论学生“个数乘个数，结果怎么会等于种数？”这一困惑，它涉及的是教师的教法问题。笔者更多地是对这位学生“6+6=12”的回答产生好奇，隐约感觉到它的背后可能有着没有说出来的“故事”，很想知道她的答案到底是怎么来的，真的是教师所认为的对该问题尚未理解吗？

课后一问才知道，这位学生的“6+6=12”如果说完整应该是“6种+6种=12种”，于是，笔者接着追问：“如果是这样，那有多少个木偶和帽子呢？”她说出了课上没来得及说出的最终答案：“可以是2个木偶、6个帽子，也可以是6个木偶、2个帽子”。原来她是会做题的，只是不理解“个数乘个数，结果怎么会等于种数？”这一知识在形式上的矛盾，这一问题其实也就是知识的本质问题，她隐约感觉到了，只是教师没感觉到而已。

【“切”：病理诊治】

我们常说“有理走遍天下”，知识学习同样如此。学生懂“道理”，知识才会学得深刻，学得牢固，而要让学生成为得道之人，教师就必须懂得讲“道理”。上述课例中，学生的质疑“个数乘个数，结果怎么会等于种数啊？”道出了学生对知识理解的不深刻，分析教学过程，我们可以发现，学生的一知半解是因为教师教学的浅尝辄止，没有挖到知识的本质。

从教学结果上看，学生似乎根据相关条件的数据特点顺利地找到了搭配的规律——“木偶个数×帽子个数=搭配种数”，教师也似乎圆满地完成了教学任务。然而，整个教学过程，规律的得出，学生更多的是从数据的特点上找出来的，或者说是把数据“搭配”出来的，从中发现搭配的种数恰好等于木偶个数与帽子个数的乘积，并在众多例子中得到了证实。

在此值得一提的是，课中这些例子都处于同一情境中，缺乏普遍性。规律的发现与概括需要“大数据”，一是指观察素材数量足够多，二是指观察素材范围足够广，能够体现事物的多样性，所以，理想的教学是，增加其他情景，例如配衣、配餐、配人等。如教材中的“想想做做”（如下图）中线路搭配问题所呈现的就是一种很好的素材，我们可以从多方面、多角度地归纳出“一种事物个数×另一种事物个数=搭配种数”这一更抽象的规律，这样规律的得出更完整，也更可信。

不过，这些素材虽然更多地会从生活情景引入，一旦成为数学研究材料，就应该区别于生活，避免受到非数学本质因素的干扰。例如上述课例中，教师说了这么一句话——“小明在思考买什么颜色的木偶配什么颜色的帽子好看，请同学们给他提些建议好吗？”其中“好看”问题就很容易让学生陷于生活的泥潭中，对此纠缠不清。此处，教师应把问题直接指向“有多少种搭配方法”这一数学问题比较妥当。

固然，本课的教学是要让学生发现数据背后隐藏的规律，从而找到一种容易操作的数学公式，便于学生运用规律去解决问题。但在得出这一算法之前，我们是否要让学生知道其中真正的算理呢？答案是肯定的，因为算法要建立在算理之上。以2个木偶与3个帽子搭配为例，如果从木偶出发，1个木偶与帽子就有3种搭配方法，那么2个木偶就有“3种+3种=6种”搭配方法，如果从帽子出发，1个帽子与木偶就有2种搭配方法，那么3个帽子就有“2种+2种+2种=6种”搭配方法，它们都可以统一用“3×2=6（种）”这一乘法算式表示。换一句话说，搭配规律的得出需要建立在“搭”与“配”的基础动作上（配合搭配动作，我们的语言可以采用“谁‘搭谁‘配成一种”这样的表述方式），也就是不仅要让学生从数据上找规律，还要让学生从活动中找规律。

教师在教学过程中如果能够从知识的本质出发，讲清上述规律中蕴含的道理，这样的教学才是建立在知识意义上的教学。在教学过程中，教师应该把算理清楚地反映出来，不能轻描淡写，我们可以把表示思路的算式补在搭配种数之前（如下表），这样就把算理固定下来，然后指导学生去寻找数据中的规律，从而发现一种简捷的解决问题的数学模型。此时，学生对“木偶个数×帽子个数=搭配种数”的理解就不会产生异议。由此可见，本课“找规律”的教学，不仅要指导学生找到知识形式上的规律，还要指导学生找到知识本质上的规律，不仅让学生找到了知识的精髓，而且事先找到了知识的精神。endprint

木偶个数 帽子个数 搭配种数

3 2 3+3

2+2+2 3×2 6

4 2 4+4

2+2+2+2 4×2 8

…… …… …… …… ……

上述课例中，那位学生“6+6=12”的回答，虽然没有一下子点到答案，但恰恰点到了知识的精神所在，也就是算理，教师不应该被表象所迷惑，误认为错。此时，教师应该耐心听学生把话说完，这样才能知道事情的真相，之后再去引导学生根据所表达的意思，把“6+6=12”转化成“2×6=12”。

上述课中，之所以学生会有此一问——“个数乘个数，结果怎么会等于种数？”还得感谢这一教材的特殊性——算法与算理不“搭配”，搭配规律的算法可以“跳过”算理，直接看事物个数就可以算出结果，正是最终在形式上算法与算理的“脱离”状态让学生在不知情的情况下触景生情，产生困惑并反映了出来，促使教师反思教学中存在的问题。

在教学中，教师把操作的目的大多定位在为了找出结果——“一共有多少种搭配方法？”至于指导学生有序搭配，也只是为了让学生能够更正确、更快速地得到搭配的结果，也就是说操作方法的有序性只是为了操作行为的有效性而为之。

虽然操作的有序性也是教师需要教会学生的一种思考方法，但在“讲道理”的知识教学中，操作的如此定位还没有实现价值的最大化。我们应该看到，有序搭配还可以让学生更容易得出反映算理“2个3种”或“3个2种”的算式“3×2”，如果教师能够看到这一操作活动所蕴藏的深意，那么学生对规律意义的深刻理解就容易水到渠成。换一句话说，教师不应该只追求“配”的结果，也应该注重“搭”的过程，从而使算法与算理能够无缝“搭配”。此时的操作就不再是为操作而操作，而是为意义而操作。

总之，学生的学习要深刻，教师的教学就要深入。教学之道不仅仅只是让学生知道走向知识的道路，还要让学生知道知识中蕴藏着的道理。学生得道了，对知识的掌握也就能够得心应手。

另外，教学之道还要让学生知道知识学习的道路，还要掌握对知识的学法。本课属于找规律的教学，那么学生就应该知道找规律的一般方法，其中以少见多、以小见大是研究问题的常规思路。由此，教师一开始就可以抛出“大数据”——成百上千个木偶搭配成百上千个帽子这样的“大问题”，让学生无从下手，自觉想到从简单问题开始研究，看一看有没有规律可循，如果有规律，是怎样的规律，从而解决问题。如果基于这样真实的科学研究设计本课，那么就能够更好地实现学生的自主学习，教学起点和教学行程都可以让学生自己确定，例如学生会从最简单的一一搭配、一二搭配、一三搭配等问题开始，发现没有研究的价值，接着就会主动增加到二二搭配、二三搭配、二四搭配以及三三搭配、三四搭配、三五搭配等，从纵横两个方向对研究素材进行不断拓展，当研究素材足够多，达到学生“满足”为止，学生就会自动转入知识的抽象概括程序，从而总结出规律。

（江苏省无锡市坊前实验小学 214111

江苏省无锡市锡山教师进修学校 214101）endprint