浅谈数学期望与经济决策的关系及其应用

刘迪佳

（渤海大学数理学院，辽宁 锦州 121000）

0 引言

任何一个学科或领域的发展都离不开数学这一重要工具的支持。改革开放以来，我国经济取得了高速发展，社会各个领域都取得了长足进步。在此过程中，数学在经济领域的地位越来越重要，所发挥出的作用也愈来愈大。在经济活动中，能够作出科学而高效的决策，与数学是密不可分的，这其中数学期望值就发挥出了重要的作用。基于此，本文即对数学期望值与经济决策的关系作一简单分析，并从实际例子出发，阐述了数学期望在经济决策中的应用过程。

1 数学期望的概念

概率论是数学的重要组成部分，它通过对事物的数量关系进行分析来掌握事物的变化规律。数学期望是概率论中的概念，又称均值或数学期望值。在概率论中，通过求解随机变量分布函数，来从统计上描述随机变量的变化特征。如离散型随机变量的期望值为每次试验中随机变量的出现概率及其结果的综合。数学期望反映的是随机变量的数学特征，它代表的是随机变量在总体取值中的平均水平。根据随机变量的取值规律，数学期望分为了连续性和离散型两种。

1.1 连续型

如果随机变量X的分布函数F（x）可表示成一个非负可积函数f（x）的积分，则称X为连续型随机变量。若随机变量X的概率密度为函数F（x），且有 绝对收敛，则将这个积分值称为X的数学期望。

1.2 离散型

如果随机变量的取值是有限个或至多可列个值，则这个变量称为离散型随机变量。若离散型随机变量X的取值为xi时的概率为pi，且其积的和是绝对收敛的，那么这个随机变量的数学期望即为E（X）=。

如果对象是随机变量函数，即随机变量是ε，为离散型随机变量，η=g（ε）为随机变量函数，且为连续实函数，其概率值的分布为p（ε=xi）=pi（i=1，2，3......），若存在绝对收敛级数 ，则将这个级数成为随机变量函数 η =g（ε）的数学期望，记为 。

2 数学期望与经济决策的关系

2.1 数学期望为经济决策提供了工具

作为经济活动主体的企业，在其从事的各项经济活动的过程中，常常需要企业管理者在各类条件和选择中作出决策，对于一些简单问题，仅仅需要企业管理者凭借经验或企业的经营情况来确定决策。

但在面对一些复杂的情况时，却需要企业管理者基于大量的数据来进行缜密的分析和研究后作出决策，而数学期望则可以为企业的管理者提供数学分析的工具，来帮助企业计算数据进而得出答案，帮助管理者作出相应的决策。

2.2 数学期望提高了经济决策的效率

企业管理者在管理企业的过程中，大多数时候所面对的是复杂的问题，需要管理者对企业的宏观经营情况和微观情况进行了解和把握，不仅需要耗费大量的时间，而且也需要管理者投入较多的精力去思考和判断，这就使得在一些决策确定后已经耽误了市场先机，使企业陷入被动。

而将数学期望的方法引入到企业的决策中来，则能够通过数学计算，甚至计算机辅助工具，高效地得出数学运算结果，进而帮助企业管理者确定方案，极大地提高了决策的效率。

2.3 数学期望促进了经济决策的科学性

知识来源于人类的实践活动，是人类对事物规律的科学认识，而反过来通过在实践中运用知识，又能能动地改造客观的世界，对于数学学科来说，其最大的价值就是运用事物的规律来帮助人们提高实践活动的科学性。

在现实生活中，企业管理者常常是在感性思考和分析的基础上作出决策，这就使得一些决策在执行的时候，往往出现很多的不合理性，由此导致决策失误，影响企业的正常运营，而将数学期望的方法引入到决策的过程之中，则可以使企业管理者基于严谨的数学运算的基础上，得出科学、准确的结果，进而依据计算结果做出相应的决策，大大地实现了科学决策、理性决策。

3 数学期望在经济决策中的应用步骤

将数学期望在经济决策中的应用通常需要经过以下几个步骤：

第一，确定要决策的目标。将需要分析得出的目标结果选定，进而综合各方面的因素，在相关条件的约束下，选定出多种可行的备选方案。

第二，分析因素，计算概率。对各个备选方案中可能对目标结果产生影响的可控性因素和不可控因素进行全面分析，将不可控因素进行罗列，而后通过数学方法来计算各种不可控因素的出现概率。

第三，预测收益值。在得出各个不可控人为因素概率的基础上，运用统计方法来预测各个备选方案在实际的环境中可能取得的收益值，并将收益值和相应的概率进行对应、列表，进而得出基于预测收益值和概率值的直观收益矩阵表。

第四，计算期望，确定最佳方案。以直观的收益矩阵表为数据基础，运用数学期望的计算公式分别计算各方案的期望收益值，进而通过比较计算得出的结果来确定最佳的决策方案，并在经济活动中依照最佳的决策方案执行。

4 数学期望在经济决策中应用的案例

在实际的经济活动中，数学期望值与经济决策有着诸多联系，如上文所述，数学期望值的求解不仅为经济决策提供了方法和参考的工具，更提高了经济决策的效率、促进了经济决策的科学性。例如在帮助企业制定最佳的产品生产计划、辅助超市确定最优的货品进货数量、计算企业的最大化利润等等问题中，数学期望的方法发挥出了重要的作用。下面即通过实际的例子来阐述数学期望值在经济决策中的运用。

4.1 数学期望在企业选择最佳生产量中的应用

在生产类型企业之中，企业经过市场调查和分析后，一般会作出多种生产方案和计划，进而依据市场需求的未来趋势和客户订单量确定企业自身的产品生产量。企业能否科学准确地确定最优的生产方案，将直接关系着企业的生产成本和经营收益。因此，企业管理者常常利用数学期望的方法来分析不同的生产方案，依据数学计算结果来比较各个方案的收益或损失，进而确定最佳生产量的方案。

例如：在某运动鞋生产企业中，企业管理者为了确定企业在未来5年内各个款式运动鞋的生产数量，以便及早地安排生产线和材料供给，企业管理者根据过去的销售统计资料，以及企业对于未来市场的预测，得出未来企业的运动鞋实现销量上涨、销量稳定、销量下滑的概率分别为0.3、0.5、0.2。如果企业将生产量分为大批量（500万双）、中等批量（400万双）、小批量（300万双）3个批量进行投产，则每种批量在未来5年的销量走势的益损值分别为：大批量（18、12、-4）；中等批量（10、15、10）；小批量（6、8、8）。 试问企业该选择哪种生产方案？

分析求解过程：在这个案例中，对于每个生产批量总的益损值我们未知，但可以通过求解数学期望的方法求得，为此，可以设大批量、中等批量和小批量的益损值分别为x1，x2，x3，则其数学期望分别为：E（x1）=10.6，E（x2）=12.5，E（x3）=7.4，通过对三种生产批量的期望值进行比较可以得出，企业选择中批量进行投产最为科学。

4.2 数学期望在超市确定最优库存量中的应用

某超市在国庆期间要上架一款进口的应季水果，现该款水果的进货价为65元/kg，超市的售价为70元/kg，根据超市的销售规则，如果该款水果供大于求，则容易导致水果过期，需要及时削价20%进行处理；如果该款水果销售出现供不应求现象，则超市将会被处以10元/kg的罚款。现已知消费者对于该款水果的购买需求量为X，其在[20000，80000]这一区间服从均匀分布，试问，在国庆期间，超市应该如何确定该款水果的库存量，以实现销售利润的最大化？

分析求解过程：从该案例可以得知，求解的对象为超市对于该款水果的库存量，可以设库存量为M，消费则的需求量为X，则超市的利润函数为：

需求量X的密度函数为：

由此可得期望利润为：

由此，当超市的该款水果库存量为57500kg时，超市将获得最大期望利润。

5 结语

数学期望的方法在经济决策中还有很多的应用，随着经济的发展，越来越多的经济活动将需要借助数学工具来求解最优化的结果，但需要注意的是，通过数学期望的方法来求得的结果应当作为企业管理者进行决策的一项参考，在实际的经济活动中，企业管理者仍应当综合考虑市场竞争、政策变化等多种因素，只有在辩证且全面地权衡利弊之后，才能作出有利于企业发展的决策。

［1］熊建华.概率论在几个经济生活问题上的应用[J].价值工程,2014(35).

［2］拉穷.数学期望在经济学中的简便应用[J].价值工程,2014(35).

［3］姚明方.数学在经济预测及决策中的重要性及其运用[J].才智,2014(25).