判定有限群可解性的一种方法

崔雪晴 陈仁霞

（中原工学院理学院，河南 郑州450000）

可解群是一类常见的群，在Galois方程论等方面有重要的应用．判定有限群的可解性是一个常见的问题．以下给出一种方法，把判定有限群G的可解性的问题转化成寻找G的三个指数互素的可解子群的问题．如果能够找到三个子群，指数互素，且可解，那么G是可解的．这样就把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性．而阶数较低的群相对容易研究．首先看定义和几个引理．

定义 1 设 G 为任意群．a，b∈G，令[a，b]=a-1b-1ab，称为元素 a，b 的换位子．令 G′=〈[a,b]｜a，b∈G〉，称为 G 的换位子群．归纳定义 G 的 n 阶换位子群：

G(0)=G，G(n)=(G(n-1))′，n≥1．

称群G为可解群，如果存在正整数k使G(k)=1．

下面的引理1给出了几个关于换位子群的结论．

（2）对 n 用归纳法．当 n=1 时，∀h1,h2∈H，

引理2 设有限群G≠1为可解群，则存在p-群M≠1且M ．

证明 取G的极小正规子群M(即：1≠M ，∀N ，N⊆M，则N=1或 M)．∀HcharM，由 M 知，H ．由M 的极小性知，H=1或 M．故M为特征单群．有限特征单群是同构单群的直积．[1]设 M=M1×…×Ms，其中 Mi(i=1，．．，s)是同构的单群．因为 M≤G，所以 M(n)≤G(n)，n≥1，由 G(k)=1 可得 M(k)=1．由引理 1（1），

下面的引理3研究了有限群子群指数互素的情形．

引理4 若K G，且K和G/K都是可解的，则G是可解的．[3]

证明 令 ν 是 G 到 G/K 上的自然同态，则 ν(G′)=(ν(G))′．假设 ν(G(i))=(ν(G))(i)，则 ν(G(i+1))=ν((G(i))′)=(ν(G(i)))′=((ν(G))(i))′=(ν(G))(i+1)．于是 ν(G(i))=(ν(G))(i)，i≥1．又 ν是满同态，从而 ν(G(i))=(G/K)(i)，i≥1．因此，由 G/K 可解知，存在 k≥1使 ν(G(k))=1．于是 G(k)⊆K．由 K 可解知，存在 l≥1 使 K(l)=1．于是 G(k+l)⊆K(l)=1，从而G是可解的．

定理1 设有限群G有三个可解子群H1，H2，H3， 且指数 G∶H1，G∶H2， G∶H3两两互素，则G是可解的．

证明 对G 用归纳法．G =1显然成立．假设对小于G 成立．下证对G 成立．

断言 H1≠1，否则(假如，则 G=H2可解)，与互素矛盾．断言成立．又 H1可解，由引理2，存在 p-群 M≠1 且 M H1．因为，所以p至多整除中的一个．不妨设．但由于，于是p G ，又 G =H2G∶H2，故p H2．设 P是 H2的 Sylow p-子群．由于，于是 G∶P ，故P是G的Sylow p-子群．由Sylow定理，任二Sylow p-子群共轭，任一p-子群含于一Sylow p-子群．存在g∈G， 使M≤Pg≤Hg2． 由 G∶Hg2=G∶H2知， G∶H1与 G∶Hg2互素， 由引理3，G=H1Hg2．∀x∈G，x=x1x2，x1∈H1，x2∈Hg2． 由 M H1，M≤H2g知，Mx=Mx1x2=Mx2≤Hg2． 令 N=〈Mx｜x∈G〉，于是 N≤Hg，1≠N G．H可解 对某正整数 k，H(k)=1，由引理 1（2），(Hg)(k)

22，22=(H(2k))g=1，故 Hg2可解．从而 N 可解．由引理 1（3），(H2N/N)(k)=H(2k)N/N=1，故H2N/N可解．同理 H1N/N，H3N/N可解．又 G/N∶H1N/N =G/N ·(H1∩N N )/(H1N ) G∶H1．同 理 G/N∶H2N/N G∶H2，G/N∶H3N/N G∶H3．故 G/N∶H1N/N ， G/N∶H2N/N ， G/N∶H3N/N 两两互素，又 G/N ＜G ，由归纳假设，G/N可解，由引理4，G可解．

以上给出了一种判定有限群可解性的方法，把判定阶数较高的群的可解性的问题转化成了判定阶数较低的群的可解性．

［1］崔雪晴,何建营．有限特征单群结构[J]．科教导刊,2014,11(1):198-199．

［2］徐明曜．有限群导引上册[M]．2 版.北京:科学出版社,1999:6-7．

［3］Nathan Jacobson．Basic Algebra I[M]．San Francisco：W.H.Freeman and Company，1974:239．